高考数学总复习 2-7一次函数、二次函数及复合函数 新人教B版
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2-7一次函数、二次函数及复合函数基础巩固强化1.(文)(2012·辽宁大连24中期中)若函数y=的定义域为R,则实数m的取值范围是( )A.(0,]B.(0,)C.[0,]D.[0,)[答案] D[解析] ①当m=0时,y==-,定义域为R;②当m≠0时,若函数y=的定义域为R,则∀x∈R,mx2+4mx+3≠0.由mx2+4mx+3≠0⇒⇒0<m<.综上①②得0≤m<,故选D.(理)(2012·北京朝阳区期中)已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),其图象上两点的横坐标x1、x2满足x1<x2,且x1+x2=1-a,则有( )A.f(x1)>f(x2)B.f(x1)=f(x2)C.f(x1)<f(x2)D.f(x1)、f(x2)的大小不确定[答案] C[解析] f(x1)-f(x2)=(ax+2ax1+4)-(ax+2ax2+4)=a(x1-x2)(x1+x2+2).又x1<x2,且x1+x2=1-a,∴a(x1-x2)·(x1+x2+2)=a(x1-x2)(1-a+2)=a(3-a)(x1-x2)<0,即f(x1)-f(x2)<0,故选C.2.(文)函数f(x)=ax2+bx+c与其导函数f′(x)在同一坐标系内的图象可能是( )10\n[答案] C[解析] 若二次函数f(x)的图象开口向上,则导函数f′(x)为增函数,排除A;同理由f(x)图象开口向下,导函数f′(x)为减函数,排除D;又f(x)单调增时,f′(x)在相应区间内恒有f′(x)≥0,排除B,故选C.(理)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是( )[答案] D[解析] 若a<0,则只能是A或B选项,A中-<0,∴b<0,从而c>0,与A图不符;B中->0,∴b>0,∴c<0,与B图不符.若a10\n>0,则抛物线开口向上,只能是C或D选项,当b>0时,有c>0与C、D图不符,当b<0时,有c<0,此时->0,f(0)=c<0,故选D.3.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a的取值范围为( )A.a<-1B.a>1C.-1<a<1D.0≤a<1[答案] B[解析] 令f(x)=2ax2-x-1,当a=0时显然不适合题意.∵f(0)=-1<0 f(1)=2a-2∴由f(1)>0得a>1,又当f(1)=0,即a=1时,2x2-x-1=0两根x1=1,x2=-不合题意,故选B.4.已知命题p:关于x的函数y=x2-3ax+4在[1,+∞)上是增函数,命题q:函数y=(2a-1)x为减函数,若“p且q”为真命题,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,]B.(0,)C.(,]D.(,1)[答案] C[解析] 命题p等价于≤1,即a≤.命题q:由函数y=(2a-1)x为减函数得:0<2a-1<1,即<a<1.因为“p且q”为真命题,所以p和q均为真命题,所以<a≤,因此选C.5.已知方程|x|-ax-1=0仅有一个负根,则a的取值范围是( )A.a<1B.a≤1C.a>1D.a≥1[答案] D[解析] 数形结合判断.10\n6.(文)(2011·福建文,8)已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于( )A.-3B.-1C.1D.3[答案] A[解析] ∵f(1)=21=2,∴由f(a)+f(1)=0知 f(a)=-2.当a>0时 2a=-2不成立.当a<0时a+1=-2,a=-3.(理)已知函数f(x)=则不等式f(x)≥x2的解集是( )A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-2,1]D.[-1,2][答案] A[解析] 依题意得或⇒-1≤x≤0或0<x≤1⇒-1≤x≤1,故选A.[点评] 可取特值检验,如x=-2,2可排除B、C、D.7.(文)设函数f(x)=x2+(2a-1)x+4,若x1<x2,x1+x2=0时,有f(x1)>f(x2),则实数a的取值范围是________.[答案] a<[解析] 由题意得>0,得a<.(理)已知关于x的函数f(x)=x2-2x-3,若f(x1)=f(x2)(x1≠x2),则f(x1+x2)等于________.[答案] -3[解析] ∵二次函数f(x)=x2-2x-3中,a=1,b=-2,c=-3,∴由f(x1)=f(x2)得,=-=1,10\n所以x1+x2=2,则f(x1+x2)=f(2)=-3.8.已知函数f(x)=若f[f(x)]=2,则x的取值范围是________.[答案] {x|-1≤x≤1或x=2}[解析] 若x∈[-1,1],则有f(x)=2∉[-1,1],∴f(2)=2,∴-1≤x≤1时,x是方程f[f(x)]=2的解.若x∉[-1,1],则f(x)=x∉[-1,1],∴f[f(x)]=x,此时若f[f(x)]=2,则有x=2,∴x=2是方程f[f(x)]=2的解.9.(2012·上海)已知y=f(x)是奇函数.若g(x)=f(x)+2且g(1)=1,则g(-1)=________.[答案] 3[解析] 本题考查了奇函数的定义及函数值的求法.∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1),∵g(1)=f(1)+2 ①,g(-1)=f(-1)+2 ②,∴①+②得g(1)+g(-1)=4,∴g(-1)=4-g(1)=3.[点评] 抓住已知条件f(x)的奇函数是解决本题的关键.10.若函数y=lg(3-4x+x2)的定义域为M.当x∈M时,求f(x)=2x+2-3×4x的最值及相应的x的值.[解析] 要使函数y=lg(3-4x+x2)有意义,应有3-4x+x2>0,解得x<1或x>3,∴M={x<1或x>3}.f(x)=2x+2-3×4x=4×2x-3×(2x)2,令2x=t,∵x<1或x>3,∴t>8或0<t<2.∴y=4t-3t2=-3(t-)2+(t>8或0<t<2),由二次函数性质可知,当0<t<2时,f(x)∈(-4,];当t>8时,f(x)∈(-∞,-160);当2x=t=,即x=log2时,y=.综上可知,当x=log2时,f(x)取到最大值为,无最小值.能力拓展提升11.(2012·浙江宁波模拟)函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),且f(x10\n+1)为奇函数,当x>1时,f(x)=2x2-12x+16,则直线y=2与函数f(x)图象的所有交点的横坐标之和是( )A.1 B.2 C.4 D.5[答案] D[解析] 该函数图象与直线y=2有三个交点(x1,2),(x2,2),(x3,2),x1=-1,x2+x3=6(其中(x2,2),(x3,2)关于直线x=3对称),则横坐标之和为5.12.(文)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”.那么函数的解析式为y=2x2+1,值域为{5,19,1}的“孪生函数”共有( )A.4个B.6个C.8个D.9个[答案] D[解析] 由2x2+1=1得x=0;由2x2+1=5得x=±,由2x2+1=19得x=±3,要使函数的值域为{5,19,1},则上述三类x的值都要至少有一个,因此x=0必须有,x=±可以有一个,也可以有2个,共有三种情形,对于它的每一种情形,都对应x=±3的三种情形,即定义域可以是{0,,3},{0,,-3},{0,,3,-3},{0,-,3},{0,-,-3},{0,-,3,-3},{0,,-,3},{0,,-,-3},{0,,-,3,-3}共9种,故选D.(理)已知f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b),并且α、β是方程f(x)=0的两个根(α<β10\n),则实数a、b、α、β的大小关系可能是( )A.α<a<b<βB.a<α<β<bC.a<α<b<βD.α<a<β<b[答案] A[解析] 设g(x)=(x-a)(x-b),则f(x)=g(x)-2,分别作出这两个函数的图象,如图所示,可得α<a<b<β,故选A.13.函数f(x)=(a+1)x+2a在[-1,1]上的值有正有负,则实数a的取值范围是________.[答案] (-,1)[解析] 由条件知,f(-1)·f(1)<0,∴(a-1)(3a+1)<0,∴-<a<1.14.(2011·江南十校联考)已知函数f(x)的自变量的取值区间为A,若其值域也为A,则称区间A为f(x)的保值区间.函数f(x)=x2的形如[n,+∞)(n∈(0,+∞))的保值区间是________.[答案] [1,+∞)[解析] 因为f(x)=x2在[n,+∞)(n∈(0,+∞))上单调递增,所以f(x)在[n,+∞)上的值域为[f(n),+∞),若[n,+∞)是f(x)的保值区间,则f(n)=n2=n,解得n=1.15.(2011·辽宁沈阳模拟)二次函数f(x)=ax2+bx+1(a>0),设f(x)=x的两个实根为x1、x2.(1)如果b=2且|x2-x1|=2,求a的值;(2)如果x1<2<x2<4,设函数f(x)图象的对称轴为x=x0,求证:x0>-1.10\n[解析] (1)当b=2时,f(x)=ax2+2x+1(a>0),方程f(x)=x为ax2+x+1=0.|x2-x1|=2⇒(x2-x1)2=4⇒(x1+x2)2-4x1x2=4.由韦达定理可知,x1+x2=-,x1x2=.代入上式可得4a2+4a-1=0,解得a=,a=(舍去).(2)证明:∵ax2+(b-1)x+1=0(a>0)的两根满足x1<2<x2<4,设g(x)=ax2+(b-1)x+1,∴即⇒∴2a-b>0.又∵函数f(x)的对称轴为x=x0,∴x0=->-1.16.(文)(2012·成都诊断)已知二次函数f(x)=x2+2bx+c(b、c∈R).(1)若f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤1},求实数b、c的值;(2)若f(x)满足f(1)=0,且关于x的方程f(x)+x+b=0的两个实数根分别在区间(-3,-2)、(0,1)内,求实数b的取值范围.[解析] (1)由题意可知,x1、x2是方程f(x)=0的两个根.由韦达定理得,即∴b=0,c=-1.(2)由题知,f(1)=1+2b+c=0,∴c=-1-2b.记g(x)=f(x)+x+b=x2+(2b+1)x+b+c=x2+(2b+1)x-b-1,则⇒<b<,即b的取值范围为(,).(理)已知二次函数f(x)的二项式系数为a(a≠0),且不等式f(x)<2x的解集为(-1,2).(1)若方程f(x)+3a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式;(2)若函数f(x)的最大值不大于-3a,且函数G(x)=f(x)-x3-ax2-x在R上为减函数,求实数a的取值范围.[解析] 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵f(x)<2x的解集为(-1,2),10\n∴ax2+(b-2)x+c<0的解集为(-1,2),∴a>0,且方程ax2+(b-2)x+c=0的两根为-1和2,∴⇒∴f(x)=ax2+(2-a)x-2a(a>0).(1)∵方程f(x)+3a=0有两个相等的实根,即ax2+(2-a)x+a=0有两个相等的实根,∴Δ=(2-a)2-4a2=0⇒3a2+4a-4=0,∴a=-2或a=.∵a>0,∴a=,∴f(x)=x2+x-.(2)根据题意得f(x)=ax2+(2-a)x-2a=a(x+)2+.∵a>0,∴f(x)的最小值为,则≤-3a.∴3a2+4a-4≤0,解得-2≤a≤.∵a>0,∴0<a≤.①又G(x)=f(x)-x3-ax2-x=-x3+(-a)x-2a,∵G(x)在R上为减函数,∴G′(x)=-x2+-a≤0恒成立,即a≥-x2在R上恒成立.∵-x2≤,∴a≥.②由①②可得≤a≤.1.(2012·杭州高中第一次月考)下图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是( )10\nA.(,)B.(1,2)C.(,1)D.(2,3)[答案] C[解析] ∵0<-<1,∴-2<a<0,又f(0)=b∈(0,1),f(1)=1+a+b=0,∴a<-1,∴-2<a<-1,f′(x)=2x+a.又g(x)=lnx+2x+a.∵g()=ln+1+a<0,g(1)=a+2>0,即g()g(1)<0,∴g(x)的零点所在区间为(,1).2.已知函数f(x)=x2+2x+3在[m,0]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是________.[答案] [-2,-1][解析] f(x)=x2+2x+3=(x+1)2+2,对称轴x=-1,开口向上,f(-1)=2,∴m≤-1.又f(0)=f(-2)=3,∴m≥-2,故m∈[-2,-1].3.若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间[1,2]上是单调函数,则a的取值范围是______________.[答案] a≤-1或a≥0[解析] 由于f(x)在[1,2]上是单调函数且开口向上,所以只需对称轴x=1-a≤1或x=1-a≥2,所以a≤-1或a≥0.10
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