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2022年中考数学一轮复习第二十六讲圆的有关计算专题训练
2022年中考数学一轮复习第二十六讲圆的有关计算专题训练
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第26讲圆的有关计算考纲要求命题趋势1.会计算圆的弧长和扇形的面积.2.会计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积.3.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系. 能运用弧长公式、扇形面积公式进行相关的计算,会借助分割与转化的方法探求阴影部分的面积是中考的热点,利用圆的面积公式、周长公式、弧长公式、扇形的面积公式求圆锥的侧面积和全面积是中考考查的重点,常以选择题、填空题的形式出现.知识梳理一、弧长、扇形面积的计算1.如果弧长为l,圆心角的度数为n°,圆的半径为r,那么弧长的计算公式为l=__________.2.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形.若扇形的圆心角为n°,所在圆半径为r,弧长为l,面积为S,则S=__________或S=lr;扇形的周长=2r+l.二、圆柱和圆锥1.圆柱的侧面展开图是__________,这个矩形的长等于圆柱的底面圆的__________,宽等于圆柱的__________.如果圆柱的底面半径是r,则S侧=2πrh,S全=2πr2+2πrh.2.圆锥的轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形.圆锥的侧面展开图是一个__________,扇形的弧长等于圆锥的底面圆的__________,扇形的半径等于圆锥的__________.因此圆锥的侧面积:S侧=l·2πr=πrl(l为母线长,r为底面圆半径);圆锥的全面积:S全=S侧+S底=πrl+πr2.三、正多边形和圆1.正多边形:各边__________、各角__________的多边形叫做正多边形.2.多边形的外接圆:经过多边形__________的圆叫做多边形的外接圆,这个多边形叫做圆的内接多边形.3.正多边形的__________的圆心叫做正多边形的中心,__________的半径叫做正多边形的半径.4.中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距.5.正多边形每一边所对的__________的圆心角叫做正多边形的中心角,正n边形的每个中心角都等于__________.温馨提示(1)正多边形的各边、各角都相等.(2)正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心.(3)边数为偶数的正多边形是中心对称图形,它的中心是对称中心.(4)边数相同的正多边形相似.它们周长的比,边心距的比,半径的比都等于相似比,面积的比等于相似比的平方.四、不规则图形面积的计算10\n求与圆有关的不规则图形的面积时,最基本的思想就是转化思想,即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积.常用的方法有:1.直接用公式求解.2.将所求面积分割后,利用规则图形的面积相互加减求解.3.将阴影中某些图形等积变形后移位,重组成规则图形求解.4.将所求面积分割后,利用旋转将部分阴影图形移位后,组成规则图形求解.5.将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分,用整体和差法求解.自主测试1.已知圆柱的底面半径为2cm,高为5cm,则圆柱的侧面积是( )A.20cm2B.20πcm2C.10πcm2D.5πcm22.如图,一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆,则该圆锥的底面半径是( )A.1B.C.D.3.已知扇形的圆心角为150°,它所对应的弧长为20πcm,则此扇形的半径是__________cm,面积是__________cm2.(结果保留π)4.如图,已知AB是⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为E,∠AOC=60°,OC=2.(1)求OE和CD的长;(2)求图中阴影部分的面积.考点一、弧长、扇形的面积【例1】如图,在△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,AC=4cm,将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A′B′C′的位置,且A,C,B′三点在同一条直线上,则点A所经过的最短路线的长为( )A.4cmB.8cmC.πcmD.πcm解析:点A所经过的最短路线是以点C为圆心、CA10\n为半径的一段弧线,运用弧长公式计算求解.求解过程如下:∵∠B=90°,∠A=30°,A,C,B′三点在同一条直线上,∴∠ACA′=120°.又AC=4,∴的长l==π(cm).故选D.答案:D方法总结当已知半径r和圆心角的度数求扇形面积时,应选用S扇=,当已知半径r和弧长求扇形的面积时,应选用公式S扇=lr,当已知半径r和圆心角的度数求弧长时,应选用公式l=.触类旁通1如图,一扇形纸扇完全打开后,外侧两根竹条AB和AC的夹角为120°,AB长为9,贴纸部分的宽BD为6,则贴纸部分面积(贴纸部分为两面)是( )A.24πB.36πC.48πD.72π考点二、圆柱和圆锥【例2】一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆,则该圆锥的全面积是( )A.5πB.4πC.3πD.2π解析:侧面积是:×π×22=2π.底面的周长是2π.则底面圆半径是1,面积是π.则该圆锥的全面积是:2π+π=3π.故选C.答案:C方法总结圆锥的侧面展开图是扇形,半圆的面积就是圆锥的侧面积,根据半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长,即可求得圆锥底面圆的半径,进而求得面积和全面积,正确理解圆锥的底面的周长等于展开图中扇形的弧长是解题的关键.触类旁通2如图,把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形,用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面(衔接处无缝隙且不重叠),则圆锥底面半径是______cm.考点三、阴影面积的计算【例3】如图,AB是⊙O的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,弦DF与半径OB相交于点P,连接EF,EO,若DE=2,∠DPA=45°.10\n(1)求⊙O的半径;(2)求图中阴影部分的面积.解:(1)∵直径AB⊥DE,∴CE=DE=.∵DE平分AO,∴CO=AO=OE.又∵∠OCE=90°,∴∠CEO=30°.在Rt△COE中,OE===2.∴⊙O的半径为2.(2)连接OF,如图所示.在Rt△DCP中,∵∠DPC=45°,∴∠D=90°-45°=45°.∴∠EOF=2∠D=90°.∵S扇形OEF=×π×22=π,S△OEF=×OE×OF=×2×2=2.∴S阴影=S扇形OEF-S△OEF=π-2.方法总结阴影面积的计算方法很多,灵活性强,常采用转化的数学思想:(1)将所求面积分割后,利用规则图形的面积相互加减求解.(2)将阴影中某些图形等积变形后移位,重组成规则图形求解.(3)将所求面积分割后,利用旋转将部分阴影图形移位后,组成规则图形求解.(4)将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分,用整体和差法求解.1.(2022浙江舟山)已知一个圆锥的底面半径为3cm,母线长为10cm,则这个圆锥的侧面积为( )10\nA.15πcm2B.30πcm2C.60πcm2D.3cm22.(2022浙江衢州)用圆心角为120°,半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示),则这个纸帽的高是( )A.cmB.3cmC.4cmD.4cm3.(2022四川南充)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是( )A.120°B.180°C.240°D.300°4.(2022山东临沂)如图,AB是⊙O的直径,点E为BC的中点,AB=4,∠BED=120°,则图中阴影部分的面积之和为( )(第4题图)A.1B.C.D.25.(2022四川成都)一个几何体由圆锥和圆柱组成,其尺寸如图所示,则该几何体的全面积(即表面积)为__________.(结果保留π)(第5题图)6.(2022湖南长沙)在半径为1cm的圆中,圆心角为120°的扇形的弧长是__________cm.7.(2022四川乐山)如图,△ABC内接于⊙O,直径BD交AC于E,过O作FG⊥AB,交AC于F,交AB于H,交⊙O于G.10\n(第7题图)(1)求证:OF·DE=OE·2OH;(2)若⊙O的半径为12,且OE:OF:OD=2:3:6,求阴影部分的面积.(结果保留根号)1.如图,⊙O半径是1,A,B,C是圆周上的三点,∠BAC=36°,则劣弧的长为( )A.B.C.D.2.已知圆锥底面圆的半径为6cm,高为8cm,则圆锥的侧面积为( ).A.48cm2B.48πcm2C.120πcm2D.60πcm23.如图,圆柱的底面周长为6cm,AC是底面圆的直径,高BC=6cm,点P是母线BC上一点且PC=BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是( )A.cmB.5cmC.3cmD.7cm4.如图,如果从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的高为( )10\nA.6cmB.3cmC.8cmD.5cm5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=CB=4,分别以A,B,C为圆心,以AC为半径画弧,三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是__________.6.如图,⊙A,⊙B,⊙C两两不相交,且半径都是2cm,则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是__________cm2.(第6题图)7.如图,AB为半圆O的直径,C,D,E,F是的五等分点,P是AB上的任意一点.若AB=4,则图中阴影部分的面积为__________.(第7题图)8.如图,AB是⊙O的直径,弦BC=5,∠BOC=50°,OE⊥AC,垂足为E.(1)求OE的长;(2)求劣弧AC的长(结果精确到0.1).参考答案导学必备知识10\n自主测试1.B 2.C 3.24 240π4.解:(1)在△OCE中,∵∠CEO=90°,∠EOC=60°,OC=2,∴OE=OC=1,∴CE=OC=,∵OA⊥CD,∴CE=DE,∴CD=2.(2)∵S△ABC=AB·CE=×4×=2,∴S阴影=π×22-2=2π-2.探究考点方法触类旁通1.C S=×2=×2=48π.触类旁通2.4 因为扇形的弧长为×2×12π=8π,即底面周长为8π,则底面半径为=4(cm).品鉴经典考题1.B 因为底面半径为3cm,则周长为6πcm,所以圆锥的侧面积为6π×10÷2=30π(cm2).2.C 由题意知l==4π(cm),圆锥的底面半径为4π÷2π=2(cm),∴这个圆锥形纸帽的高为=4(cm).故选C.3.B 设圆锥的底面半径为r,母线为R,圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为n,则扇形的面积为×2πr×R=πrR.由题意得πrR=2πr2,nπR2÷360=πrR,则R=2r,所以n=180°.4.C 如图,连接AE.∵AB是直径,∴∠AEB=90°.又∵∠BED=120°,∴∠AED=30°,∴∠AOD=2∠AED=60°.∵OA=OD,∴△AOD是等边三角形,∴∠OAD=60°.∵点E为BC的中点,∠AEC=90°,∴AB=AC,∴△ABC是等边三角形.由△AOD,△ABC是等边三角形知△DEC,△BOE,△DOE也是等边三角形,10\n∴和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积,∴阴影部分的面积=S△EDC=×2×=.故选C.5.68π 圆锥的母线长是=5,圆锥的侧面积是×8π×5=20π,圆柱的侧面积是8π×4=32π,几何体的下底面面积是π×42=16π,则该几何体的全面积(即表面积)为20π+32π+16π=68π.故答案是68π.6.π 扇形的弧长l==π(cm).7.(1)证明:∵BD是直径,∴∠DAB=90°.∵FG⊥AB,∴DA∥FO,∴∠EOF=∠EDA,∠EFO=∠EAD,∴△FOE∽△ADE,∴=,即OF·DE=OE·AD.∵O是BD的中点,DA∥OH,∴AD=2OH,∴OF·DE=OE·2OH.(2)解:∵⊙O的半径为12,且OE:OF:OD=2:3:6,∴OE=4,ED=8,OF=6,代入(1)结论得OH=6,AD=12.在Rt△OBH中,OB=2OH,∴∠BOH=60°,∴BH=BO·sin60°=12×=6,∴S阴影=S扇形GOB-S△OHB=-×6×6=24π-18.研习预测试题1.B 2.D 3.B4.B 留下的扇形的弧长为×2×π×9=12π,所以围成一个圆锥的底面圆的周长为12π.则底面圆的半径为12π=2πr,所以r=6.而圆锥的母线长为9,所以由勾股定理,得到圆锥的高为=3(cm).5.8-2π 6.2π 7.π8.解:(1)∵OE⊥AC,垂足为E,∴AE=EC.∵AO=BO,∴OE=BC=2.5.(2)∠A=∠BOC=25°,10\n在Rt△AOE中,sinA=,∴OA=.∵∠AOC=180°-50°=130°,∴劣弧AC的长=≈13.4.10
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中考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 21:26:51
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