【2022版中考12年】浙江省湖州市2002-2022年中考数学试题分类解析 专题 05 数量和位置变化

浙江省湖州市2022-2022年中考数学试题分类解析专题05数量和位置变化一、选择题1.（2022年浙江湖州3分）当x＝0时，函数的值是【】A．1B．0C．3D．－12.（2022年浙江湖州3分）函数中，自变量x的取值范围是【】A．x≠3B．x≥3C．x＞3D．x≤33.（2022年浙江湖州3分）小王于上午8时从甲地出发去相距50千米的乙地．下图中，折线OABC是表示小王离开甲地的时间t（时）与路程S（千米）之间的函数关系的图象．根据图象给出的信息，下列判断中，错误的是【】A．小王11时到达乙地B．小王在途中停了半小时C．与8：00－9：30相比，小王在10：00－11：00前进的速度较慢D．出发后1小时，小王走的路程少于25千米39\n4.（2022年浙江湖州3分）函数中，自变量x的取值范围是【】A、x≠2B、x≤－2C、x≠－2D、x≥－25.（2022年浙江湖州3分）已知二次函数（－1≤b≤1），当b从－1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动。下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是【】A、先往左上方移动，再往左下方移动;B、先往左下方移动，再往左上方移动;C、先往右上方移动，再往右下方移动;D、先往右下方移动，再往右上方移动39\n6.（2022年浙江湖州3分）将直线y＝2x向右平移2个单位所得的直线的解析式是【】。A、y＝2x＋2B、y＝2x－2C、y＝2(x－2)D、y＝2(x＋2)7.（2022年浙江湖州3分）解放军某部接到上级命令，乘车前往四川地震灾区抗震救灾．前进一段路程后，由于道路受阻，汽车无法通行，部队通过短暂休整后决定步行前往．若部队离开驻地的时间为t（小时），离开驻地的距离为S（千米），则能反映S与t之间函数关系的大致图象是【】A．B．C．D．39\n8.（2022年浙江湖州3分）已知点A的坐标为（a，b），O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA1，则点A1的坐标为【】A．（－a，b）B．（a，－b）C．（－b，a）D．（b，－a）【答案】C。【考点】旋转的性质，点的坐标，全等三角形的判定和性质。【分析】如图，在坐标平面第一象限内作点A（a，b），逆时针方向旋转90°后A1应与A分别位于y轴的两侧，在x轴的同侧，横坐标符号相反，纵坐标符号相同．作AM⊥x轴于M，A′N⊥x轴于N点，在Rt△OAM和Rt△A1ON中，OA=OA1，∠AOM=∠A1ON，∴△OAM≌△A1ON（AAS）。∴A1N=OM=a，ON=AM=b。∴A1的坐标为（－b，a）。同样可考虑第二、三、四象限的情形，得到同样结论。故选C。9.（2022年浙江湖州3分）如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到O点的距离为S，则S关于t的函数图象大致为【】A．　B．.C．　D．39\n10.（2022年浙江湖州3分）已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？【】A．6B．7C．8D．9∴过D（3，0），（4，0）的抛物线可以为。可以验证，它能经过8个格点：（0，6），（1，3），（2，1），（3，0），（4，0），（5，39\n11.（2022年浙江湖州3分）如图，已知A、B是反比例函数y＝(k＞0，x＞0)图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C．过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形OMPN的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为【】A．B．C．D．39\n12.（2022年浙江湖州3分）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是【】A．16B．15C．14D．13二、填空题1.（2022年浙江湖州3分）函数中，自变量x的取值范围是▲．39\n2.（2022年浙江湖州3分）在平面直角坐标系中，点（3，－5）在第▲象限。【答案】四。【考点】平面直角坐标系中各象限点的特征。【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）。故点（3，－5）位于第四象限。3.（2022年浙江湖州4分）在平面直角坐标系中，已知P1的坐标为(1，0)，将其绕着原点按逆时针方向旋转30°得到点P2，延长OP2到点P3，使OP3＝2OP2，再将点P3绕着原点按逆时针方向旋转30°得到P4，延长OP4到点P5，使OP5＝2OP4，如此继续下去，则点P2022的坐标是▲。指数符合一次递推式的特征：后一数比前一数多12。设指数m与点的次序n的关系式为，将（18，8），（42，20）代入，得：39\n，解得。∴。4.（2022年浙江湖州4分）如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=－x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是　▲　．【分析】首先，需要找出点B运动的路径（或轨迹），其次，才是求出路径长。由题意可知，OM=，点N在直线y=－x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，∴ON=。如图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（起点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn．39\n现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）：如图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，B0Bi。∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）。综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为。三、解答题1.（2022年浙江湖州12分）如图，已知P、A、B是x轴上的三点，点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（3，0），且PA：AB=1：2，以AB为直径画⊙M交y轴的正半轴于点C．（1）求证：PC是⊙M的切线；（2）在x轴上是否存在这样的点Q，使得直线QC与过A、C、B三点的抛物线只有一个交点？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）画⊙N，使得圆心N在x轴的负半轴上，⊙N与⊙M外切、且与直线PC相切于D．问将过A、C、B三点的抛物线平移后能否同时经过P、D、A三点，为什么？39\n【答案】解：（1）证明：连接MC，（2）存在。为y=kx+b，则，解得。39\n∴满足条件的Q点存在，坐标为（，0）。（3）连接DN，作DH⊥PN，垂足为H，设⊙N的半径为r，∵ND⊥PC，∴ND∥MC。∴△PDN∽△PCM。∴，即，解得r=。∵，∴。∴NH=。∴。∴点D的坐标为（－2，）。39\n2.（2022年浙江湖州12分）如图，已知直角坐标系内的梯形AOBC（O为原点），AC∥OB，OC⊥BC，AC，OB的长是关于x的方程的两个根，且S△AOC：S△BOC=1：5。（1）填空：OC=________，k=________；（2）求经过O，C，B三点的抛物线的解析式；（3）AC与抛物线的另一个交点为D，动点P，Q分别从O，D同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点P沿OB由O→B运动，点Q沿DC由D→C运动，过点Q作QM⊥CD交BC于点M，连结PM，设动点运动时间为t秒，请你探索：当t为何值时，△PMB是直角三角形。【答案】解：（1），4。（2）由（1）得关于x的方程为：，解得。∴AC=1，OB=5。∴。39\n。（3）∵直线AC：y=2，直线AC与抛物线交于点C，D，∴由解得：x1=1，x2=4。∴CD=3。延长QM交x轴于点N，①若MP⊥OB，则四边形AOPQ是矩形，∴AQ=OP，∴4－t=t，解得：t=2。②若PM⊥BM，则，∵，∴。∴，解得：∴t1=－1（舍去），。综上所述，当t=2秒或秒时，△PMB是直角三角形。∵S△AOC：S△BOC=1：5，∴，即OB=5AC。∴OB=5，AC=1．k+2=AC+OB=6。∴k=4。在直角三角形ACO中，根据OA=2，AC=1即可根据勾股定理求得OC=5。39\n（2）可根据O，C，B三点的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式。②如果PM⊥BM，可延长QM交OB于N，则MN⊥OB，如果过C作OB的垂线设垂足为E，那么NE=CD－QD，可用含t的式子表示出NE的长，进而可表示出BN，NP的长，然后根据MN∥CE，依据平行线分线段成比例定理可得出MN：OC=BN：BE，可求出MN的长，在直角三角形BPM中由于MN⊥PB，可根据射影定理得出关于t的方程，从而求出t的值。综上所述可求得符合条件的t的值。3.（2022年浙江湖州12分）已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。（1）填空：∠PCB=____度，P点坐标为（，）；（2）若P，A两点在抛物线上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。39\n（3）假设存在这样的点M，使得四边形MCAP的面积最大。∵△ACP面积为定值，∴要使四边形MCAP的面积最大，只需使△PCM的面积最大。过点M作MF⊥x轴分别交CP、CB和x轴于E、N和F，过点P作PG⊥x轴交CB于G。39\n为。∴点P的坐标为（）。（2）由P、A两点的坐标，根据待定系数法即可求出b，c的值和抛物线的解析式；C点的坐标已知，代入函数的解析式，就可以判断是否在函数的图象上。（3）过点M作MF⊥x轴分别交CP、CB和x轴于E、N和F，过点P作PG⊥x轴交CB于G，根据和，四边形MCAP的面积就可以表示成OF的函数，利用二次函数的性质，就可以求出最值。4.（2022年浙江湖州10分）如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）。（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=____时，△PAB的周长最短；39\n（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=____时，四边形ABDC的周长最短；（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m=____,n=___（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由。设点B（4，－1）关于x轴的对称点是E，其坐标为（4，1），设直线AE的解析式为，把A（2，－3），E（4，1）代入得：，解得。∴直线AE的解析式为。令y=0得x=。∴p=。（2）B向左平移3个单位得F(1,－1)，FBDC是平行四边形，AB+BD+DC+CA=AB+FC+3+AC，AB是定长，所以FC+AC最短。39\n过A点作AG⊥x轴于点G，且延长AG，取EG=AG，那么E（2，3），取点F（1，－1），连接EF，设直线EF的解析式为，∴E（－2，－3），F（4，1）。∴同上可求直线EF的解析式为：。5.（2022年浙江湖州10分）在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A(2，4)，B(4，2)。C是第一象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形。（1）填空：C点的坐标是，△ABC的面积是；（2）将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，连结AB1、BA1，试判断四边形AB1A1B是何种特殊四边形，请说明理由；（3）请探究：在x轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍。若存在，请直接写出点P的坐标(不必写出解答过程)；若不存在，请说明理由。39\n【分析】（1）此点应在AB的垂直平分线上，在第一象限，腰长又是无理数，只有是点（1，1）。当P在O右边时，△BOP的面积应为2，高为2，所以底边长为2，此时P坐标为（2，0）。故点P的坐标为（2，0），（－1，0）。6.（2022年浙江湖州12分）如图，P是射线y＝x(x＞0)上的一动点，以P为圆心的圆与y轴相切于C点，与x轴的正半轴交于A、B两点。（1）若⊙P的半径为5，则P点坐标是(，)；A点坐标是(，)；以P为顶点，且经过A点的抛物线的解析式是；39\n（2）在（1）的条件下，上述抛物线是否经过点C关于原点的对称点D，请说明理由；（3）试问：是否存在这样的直线l，当P在运动过程中，经过A、B、C三点的抛物线的顶点都在直线l上？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由。39\n∵PA=PC=m，PQ=，∴AQ=。∴A（，0)，B（，0），C（0，39\n）。设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为，将C（0，）代入解析式，得：，解得：。∴经过A，B，C三点的抛物线的解析式为。∵∵P点在射线上，∴P点的纵坐标为3。∴P（5，3）。连接PA，过P作PM⊥BA于M，则AP=5，PM=3，设以P为顶点，经过A点的抛物线的解析式为，39\n7.（2022年浙江湖州10分）如图甲，在等腰直角三角形OAB中，∠OAB=90°，B点在第一象限，A点坐标为（1，0）．△OCD与△OAB关于y轴对称．（1）求经过D，O，B三点的抛物线的解析式；（2）若将△OAB向上平移k（k＞0）个单位至△O′A′B（如图乙），则经过D，O，B′三点的抛物线的对称轴在y轴的．（填“左侧”或“右侧”）（3）在（2）的条件下，设过D，O，B′三点的抛物线的对称轴为直线x=m．求当k为何值时，|m|=．【答案】解：（1）∵∠OAB=90°，∴OA=AB。∴B点坐标为（1，1）。∵由题意可知：经过D，O，B三点的抛物线的顶点是原点，∴可设所求抛物线的解析式为。∵B（1，1）在抛物线上，∴，a=1。39\n∴，解得。∴抛物线解析式为。∵抛物线对称轴必在y轴的左侧，∴m＜0。∵，∴。∴，解得k=4。∴当k=4时，。8.（2022年浙江湖州12分）已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数（k＞0）的图象与AC边交于点E．（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；（2）记，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？39\n（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．39\n过点E作EN⊥OB，垂足为N，由题意得：EN=AO=3，EM=EC=，MF=CF=，∵∠EMN+∠FMB=∠FMB+∠MFB=90°，∴∠EMN=∠MFB。又∵∠ENM=∠MBF=90°，∴△EMN∽△MFB。∴，即。∴。∵，∴。解得。∴。∴存在符合条件的点F，它的坐标为（4，）。9.（2022年浙江湖州10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：39\n分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．（1）连接PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形．（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD。当圆心P在线段OB上时，作PE⊥CD于E。∵△PCD为正三角形，∴DE=CD=，PD=3，∴PE=。∴k=，39\n10.（2022年浙江湖州12分）已知抛物线（a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N．（1）试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标；（2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；（3）在抛物线（a＜0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由．39\n将N′的坐标当点P在y轴的右侧时，若APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分，39\n（2）根据折叠的性质不难得出N与N′正好关于y轴对称，因此，由于N′在抛物线上，因此将N′的坐标代入抛物线的解析式中即可得出a的值，也就能确定N，C的坐标。求四边形ADCN的面积，可分成△ANC和△ADC两部分来求．已经求得了A，C，N的坐标，可求出AC的长以及N，D到y轴的距离．也就能求出△ANC和△ADC的面积，进而可求出四边形ADCN的面积。39\n11.（2022年浙江湖州12分）如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）连结EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值．过G作GH⊥AB，垂足为H，39\n则AH＝BH＝1，GH＝－2＝。∵EA⊥AB，GH⊥AB，∴EA∥GH。∴GH是△BEA的中位线。∴EA＝3GH＝。过B作BM⊥OC，垂足为M，则MB＝OA＝AB。∵∠EBF＝∠ABM＝90°，∴∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF。∴Rt△EBA≌Rt△FBM（AAS）。∴FM＝EA＝。【考点】二次函数综合题，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。39\n12.（2022年浙江湖州12分）如图1，已知菱形ABCD的边长为，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（-，3），抛物线y=ax2+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜3）①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）39\n∴39\n（III）∠DAF≠90°，此时t不存在。②画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出t的取值范围：如图3所示，依题意作出旋转后的三角形△FE′C′，过C′作MN⊥x轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N。39\n13.（2022年浙江湖州12分）如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．（1）若OA=10，求反比例函数解析式；（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．根据题意得：可得：k=48。∴反比例函数解析式：（x＞0）。（2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，∵sin∠AOB=，∴AH=a，OH=a。39\n∴。∵S△AOF=12，∴S平行四边形AOBC=24。∵F为BC的中点，∴S△OBF=6。。（3）存在三种情况：当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，分别为：P1（，），P2（－，）；当∠PAO=90°时，P3（，）；39\n（3）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P1，P2；当∠PAO=90°时，求出P3；当∠POA=90°时，求出P4即可。39