【中考12年】浙江省温州市2001-2022年中考数学试题分类解析 专题12 押轴题

2022-2022年浙江温州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题12：押轴题一、选择题1.（2022年浙江温州3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则tanA的值是【】A．B．C．D．【答案】A。【考点】锐角三角函数定义。【分析】根据正切函数定义，得tanA=。故选A。2.（2022年浙江温州4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠C＝60°，BD平分∠ABC，如果这个梯形的周长为30，则AB的长是【】A．4B．5C．6D．7【答案】C。【考点】等腰梯形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，含30度角直角三角形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定。【分析】∵在梯形ABCD中，AB＝DC，∠C＝60°，∴∠ABC＝60°。∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝30°。∴∠BDC＝90°。设AB＝DC＝x，则BC=2x。∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB。∴∠ABD＝∠ADB。∴AD=AB=x。∵梯形的周长为30，∴AD＋BC＋AB＋DC=30，即5x=30，x=6。故选C。3.（2022年浙江温州4分）如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于【】A．140°B．110°C．120°D．130°52\n【答案】D。【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质。【分析】设点D是优弧上一点，连接AD，CD。∵∠AOC=100°，∴∠AEC=∠AOC=50°。∴∠ABC=180°－∠AEC=130°。故选D。4.（2022年浙江温州4分）甲、乙、丙三位同学进行立定跳远比赛，每人轮流跳一次称为一轮，每轮按名次从高到低分别得3分、2分、1分(没有并列名次)，他们一共进行了五轮比赛，结果甲共得14分；乙第一轮得3分，第二轮得1分，且总分最低。那么丙得到的分数是【】(A)8分(B)9分(C)10分(D)11分【答案】B。【考点】推理与论证。【分析】∵甲得了14分，14除以3等于4余2，∴说明甲得了4个3分，一个2分。∵乙得了一个3分，第二轮是1分，∴可确定的甲、乙、丙的得分为：甲：①2分，②3分，③3分，④3分，⑤3分；（不妨设）乙：①3分，②1分；丙：①1分，②2分。∴乙、丙的后三轮比赛得分待定，由于乙的得分最低，因此丙的得分情况必为：丙：①1分，②2分，③2分，④2分，⑤2分。∴丙的总得分为1+2+2+2+2=9分。故选B。5.（2022年浙江温州4分）两圆的半径分别是2cm和3cm，它们的圆心距为5cm，则这两圆的位置关系是【】A、相离B、外切C、相交D、内切【答案】B。52\n【考点】两圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，　　　　∵两圆的半径分别是2cm和3cm，它们的圆心距为5cm，∴2cm＋3cm＝5cm。　　　　∴这两圆的位置关系是外切。故选B。6.2022年浙江温州4分）晓晓根据下表，作了三个推测：x1lO100100010000…32.12．Ol2.0012.0001…①(x>0)的值随着x的增大越来越小；②(x>0)的值有可能等于2；③(x>0)的值随着x的增大越来越接近于2．则推测正确的有【】A.0个B.1个C．2个D.3个【答案】C。【考点】分式的混合运算，反比例函数的性质。【分析】∵。∴根据反比例函数的性质，在x>0时，着x的增大越来越小。∴(x>0)的值随着x的增大越来越小。推测①正确。又∵的值不为0，∴(x>0)的值有不可能等于2。推测②错误。又∵的值随着x的增大越来越接近于0，∴(x>0)的值随着x的增大越来越接近于2。推测③正确。∴推测正确的有①③2个。故选C。7.（2022年浙江温州4分）如图，在中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E，F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是【】52\nA.6B.12　C.24D.30【答案】A。【考点】等腰三角形的性质，勾股定理。【分析】根据等腰三角形轴对称的性质，△CEF与△BEF全等，从而图中阴影部分的面积等于△ABD的面积。根据等腰三角形三线合一的性质，由BC＝6，得BD=3。在Rt△ABD中根据勾股定理，得AD=4。∴阴影部分的面积=△ABD的面积=。故选A。8.（2022年浙江温州4分）以OA为斜边作等腰直角三角形OAB，再以OB为斜边在△OAB外侧作等腰直角三角形OBC，如此继续，得到8个等腰直角三角形（如图），则图中△OAB与△OHJ的面积比值是【　　】（A）32（B）64（C）128（D）256【答案】D。【考点】等腰直角三角形的性质。【分析】由已知，知相邻两个等腰直角三角形中大的是小的的2倍，因此，△OAB与△OHJ的面积比值是28=256。故选D。9.（2022年浙江温州4分）一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是【】A．第4张B．第5张C.第6张D．第7张52\n【答案】C。【考点】一元一次方程的应用（几何问题），正方形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】设是第n个，则它的上边所在三角形的底边高是22.5－3n，底边是3，由三角形的相似性可知，，解得n=6。故选C。10.（2022年浙江温州4分）用若干根相同的火柴棒首尾顺次相接围成一个梯形(提供的火柴棒全部用完)，下列根数的火柴棒不能围成梯形的是【】．A．5B．6C．7D．8【答案】B。【考点】探索规律题（图形的变化类）。【分析】如图，5，7，8根火柴棒能围成梯形：对于6根火柴棒，如果上底是2根，下底最少为3根，还有1根不能构成两腰，不可能；如果上底为1根，下底若为3根，那么两腰和上底的和为3，等于了底边，因此不行；如果上底为1根，下底为2根，一个腰为1根，一个腰为2根，由此得到的图形是铮形，不能形成上下底平行，因此不可能。故选B。11.（2022年浙江温州4分）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是【】52\nA、3B、4C、D、【答案】C。【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，切线的性质，勾股定理。【分析】如图，延长FO交AB于点G，∵根据折叠对称可以知道OF⊥CD，∴OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点。结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径。先求出半径，然后求出正方形的边长：在等腰直角三角形DEH中，DE=2，EH=DH==AE，所以AD=AE+DE=。故选C。12.（2022年浙江温州4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B.已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点.连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是【】A.一直增大B.一直减小C.先减小后增大D.先增大后减小【答案】C。【考点】双动点问题。52\n【分析】如图所示，连接CM，∵M是AB的中点，∴S△ACM=S△BCM=S△ABC，开始时，S△MPQ=S△ACM=S△ABC；由于P，Q两点同时出发，并同时到达终点，从而点P到达AC的中点时，点Q也到达BC的中点，此时，S△MPQ=S△ABC；结束时，S△MPQ=S△BCM=S△ABC。△MPQ的面积大小变化情况是：先减小后增大。故选C。二、填空题1.（2022年浙江温州3分）有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为59mm和39mm两种不同规格的小铜管（要求没有余料），每锯一次损耗1mm的铜管料，为了使铜管料的损耗最少，应分别锯成59mm的小铜管▲段，39mm的小铜管▲段．2.（2022年浙江温州5分）52\n如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝1，C是线段AB的中点，CD∥OA，交弧AB于点D，则CD＝▲【答案】。【考点】平行线的性质，勾股定理，三角形中位线定理。【分析】延长DC，交OB于点E，∵CD∥OA，∠AOB=90°，∴∠DEO=∠AOB=90°。∵OD=OA=1，C是线段AB中点，∴CE是△AOB的中位线。∴OE=EB=CE=。根据勾股定理得：DE=，∴。3.（2022年浙江温州5分）希望中学收到了王老师捐赠的足球，篮球，排球共20个，其总价值为330元．这三种球的价格分别是足球每个60元，篮球每个30元，排球每个10元，那么其中排球有　　▲　个．【答案】15。【考点】解三元方程组。【分析】设有足球x个，篮球y个，排球z个，则②-①得出，5x＋2y=13，即。又∵x，y，z都是正整数，∴x=1，y=4。由此可得z=15。所以，排球有15个。4.（2022年浙江温州5分）已知矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，按如图放置在直线AP上，然后不滑52\n动地转动，当它转动一周时(A→A′)，顶点A所经过的路线长等于▲。【答案】。【考点】旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，扇形弧长。【分析】如图，根据题意，顶点A所经过的路线长三条弧长的和：以点B为圆心，AB=4长为半径，角度为900的弧，弧长为；以点G为圆心，EG=5长为半径，角度为900的弧，弧长为；以点H为圆心，HF=3长为半径，角度为900的弧，弧长为。∴顶点A所经过的路线长等于。5.（2022年浙江温州5分）在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝▲。【答案】4。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】观察发现，S1和S2之间的两个三角形可以由AAS证明全等，则S1+S2即直角三角形的两条直角边的平方和，根据勾股定理，得S1+S2=1。同理S3+S4=3。∴S1＋S2＋S3＋S4=1+3=4。6.（2022年浙江温州5分）如图，在直线m上摆故着三个正三角形:△ABC、△HFG、△DCE,已知BC=CE，52\nF、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1,S2,S3,若S1+S3=10，则S2=▲.【答案】4。【考点】等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质。【分析】根据正三角形的性质，∠ABC=∠HFG=∠DCE=60°，∴AB∥HF∥DC∥GN。如图，设AC与FH交于P，CD与HG交于Q，∴△PFC、△QCG和△NGE是正三角形。∵F、G分别是BC、CE的中点，∴BF=MF=AC=BC，CP=PF=AB=BC。∴CP=MF，CQ=BC，QG=GC=CQ=AB。∴S1=S，S3=2S。∵S1+S3=10，∴S+2S=10。∴S=4。16.7.（2022年浙江温州5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和。现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如下正方形：52\n再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④.相应矩形的周长如下表所示：序号①②③④周长6101626若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是　▲　。【答案】466。【考点】探索规律题（图形的变化类）。【分析】根据题意：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和。依次可推得这列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，故序号为⑩的矩形周长是466。8.（2022年浙江温州5分）如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为　　▲　　．【答案】10.5。52\n9.（2022年浙江温州5分）如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙O的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA恰好与⊙O相切于点A′(△EFA′与⊙0除切点外无重叠部分)，延长FA′交CD边于点G，则A′G的长是▲【答案】。【考点】折叠的性质，正方形的性质，勾股定理。【分析】如图，过点O作OH⊥AB与H，设AF为x，则根据折叠的性质，A’F也为x。∵半径是2，即OA′=2，∴FO=2+x，FH=，HO=8÷2=4。∴在Rt△FHO中，由勾股定理，得。52\n∴,解得。∴OA’=.∴根据正方形的对称性，得OG=OA’=。∴A′G=。10.（2022年浙江温州5分）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边_PQ上，那么△PQR的周长等于▲．【答案】。【考点】全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】在直角△ABC中，根据三角函数即可求得AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长，在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、QP的长，就可求出△PQR的周长：延长BA交QR于点M，连接AR，AP。∵AC=GC，BC=FC，∠ACB=∠GCF，∴△ABC≌△GFC（SAS）。∴∠CGF=∠BAC=30°。∴∠HGQ=60°。∵∠HAC=∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAH=180°。又AD∥QR，∴∠RHA+∠DAH=180°。∴∠RHA=∠BAC=30°。∴∠QHG=60°。∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°。∴△QHG是等边三角形。∴。∴QH=HA=HG=AC=。52\n在Rt△HMA中，。在Rt△AMR中，MR=AD=AB=4．∴。∴QP=2QR=，PR=QR•。∴△PQR的周长等于RP+QP+QR=。11.（2022年浙江温州5分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是　▲　．【答案】。【考点】勾股定理的应用。【分析】根据图形的特征得出线段之间的关系，从而利用勾股定理求出各边之间的关系，得出答案：∵图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，∴CG=NG，CF=DG=NF。∴S1=（CG+DG）2=CG2+DG2+2CG•DG=GF2+2CG•DG，S2=GF2，S3=（NG﹣NF）2=NG2+NF2﹣2NG•NF。∴S1+S2+S3=10=GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF=3GF2。∴S2的值是：。12.（201年2浙江温州5分）如图，已知动点A在函数(x>o)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点Ｅ，使AE=AC.直线DE分别交x轴，y轴于点P,Q.当QE：DP=4:9时，图中的阴影部分的面积等于▲_.52\n【答案】。【考点】反比例函数综合题，曲线上坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥y轴于点F。∵A在函数(x>o)的图象上，∴设A（t，），则AD=AB=DG=，AE=AC=EF=t。在Rt△ADE中，由勾股定理，得。∵△EFQ∽△DAE，∴QE：DE=EF：AD。∴QE=。∵△ADE∽△GPD，∴DE：PD=AE：DG。∴DP=。又∵QE：DP=4：9，∴。解得。∴图中阴影部分的面积=。三、解答题1.（2022年浙江温州12分）如图，在正方形ABCD中，AD=8，点E是边CD上（不包括端点）的动点，AE的中垂线FG分别交AD，AE，BC于点F，H，K交AB的延长线于点G．52\n（1）设DE=m，，用含m的代数式表示t；（2）当t=时，求BG的长．【答案】解：（1）过点H作MN∥CD交AD，BC于M，N，则四边形ABNM是矩形，∴MN=AB=AD。∵FG是AE的中垂线，∴H为AE的中点。∴MH=DE=m，HN=8－m。∵AM∥BC，∴，即。（2）过点H作HT⊥AB于T，当t=时，，解得m=4，即DE=4。在Rt△ADE中，由勾股定理得，。∴AH=AE=。∵AF∥HT∥BK，∴。∵AB=8，∴AT=2，BT=6。在Rt△AHG中，HT⊥AG，∴△AHT∽△HGT，∴，即。在Rt△AHT中，。52\n∴。∴BG=TG－BT=8－6=2。【考点】动点问题，正方形的性质，线段垂直平分线的性质，平行的性质，勾股定理，相似三角形的性质。【分析】（1）过点H作MN∥CD交AD，BC于M，N，根据矩形的性质及平行线的性质可得到FH：HK=HM：HN，从而可用含m的代数式表示t。（2）过点H作HT⊥AB于T，根据正方形的性质及平行线的性质可求得BG的长。2.（2022年浙江温州12分）如图，点A在⊙O外，射线AO与⊙O交于F、G两点，点H在⊙O上，弧FH=弧GH，点D是弧FH上一个动点（不运动至F），BD是⊙O的直径，连接AB，交⊙O于点C，连接CD，交AO于点E，且OA=，OF=1，设AC=x，AB=y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若DE=2CE，求证：AD是⊙O的切线；（3）当DE，DC的长是方程的两根时，求sin∠DAB的值．【答案】解：（1）∵OF=OG=1，∴AG=OA＋OG=，AF=OA－OF=。∵AG•AF=AB•AC，即，∴。∴y关于x的函数关系式为：。（2）证明：延长DC至点M，使得EC=CM，连接BM。∵DE=2CE=CE+CM，∴DE=EM。∵OD=OB，∴OE∥BM。∴AG∥BM。∴∠OAB=∠ABM。∵∠ACE=∠BCM且CE=CM，52\n∴△ACE≌△BCM（AAS）。∴AC=BC。∵∠BCD=90°，∴∠ACD=∠BCD。∵AC=BC，DC=DC，∴△ACD≌△BCD（SAS）。∴AD=BD。∵OF=1，∴BD=2OF=2，OD=OF=1。∴AD=2。∵OA=，AD=2，OD=1，∴OA2=OD2+AD2。∴△AOD是直角三角形。∴∠ADO=90°。∴AD是圆O的切线。（3）∵DE，DC的长是方程的两根，∴。又∵，∴，即。又∵∠EDO=∠BDC，∴△EDO∽△BDC。∴∠DOE=∠DCB=900。∴D、H重合。由勾股定理，得。由圆的对称性，得。由（1）得。∴由勾股定理，得。∴sin∠DAB=。52\n3.（2022年浙江温州12分）欣欣日用品零售商店，从某公司批发部每月按销售合同以批发单价每把8元购进雨伞（数量至少为100把），欣欣商店根据销售记录，这种雨伞以零售单价每把为14元出售时，月销售量为100把，如果零售单价每降价0．1元，月销售量就要增加5把．现在该公司的批发部为了扩大这种雨伞的销售量，给零售商制定如下优惠措施：如果零售商每月从批发部购进雨伞的数量超过100把，其超过100把的部份每把按原批发单价九五折(即95%）付费，但零售单价每把不能低于10元．欣欣日用品零售商店应将这种雨伞的零售单价定为每把多少元出售时，才能使这种雨伞的月销售利润最大？最大月销售利润是多少元？（销售利润＝销售款额－进货款额）【答案】解：设降价x元时利润最大，利润为y元，根据题意得：（其中0≤x≤4），化简，得 。∵且，0＜2.2＜4，∴当x=2.2时，y有最大值，最大值为842。∴14－x=14-－2.2=11.8。答：欣欣日用品零售商店应将这种雨伞的零售单价定为每把11.8元出售时，才能使这种雨伞52\n的月销售利润最大，最大月销售利润是842元。【考点】二次函数的应用，二次函数的的最值。【分析】先设出降价x元时利润最大，利润为y元，再找出等量关系列出式子，解出x与y的值即可求出结果。4.（2022年浙江温州14分）如图，正方形ABCD中，AB＝l，BC为⊙O的直径，设AD边上有一动点P（不运动至A、D），BP交⊙O于点F，CF的延长线交AB于点E，连结PE．（1）设BP＝x，CF＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当CF＝2EF时，求BP的长；（3）是否存在点P，使ΔAEP∽ΔBEC（其对应关系只能是A—B，E－E，P－C）？如果存在，试求出AP的长；如果不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵BC为⊙O的直径，∴∠BFC=90°。∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=1，∠ABC=∠A=90°。∴AB是⊙O的切线，∴∠ABP=∠FCB。∴△ABP∽△FCB。∴。∵BP=x，CF=y，∴，即。又∵AD＜AP＜BD，∴。∴y与x之间的函数关系式为：（）。（2）∵∠ABC=90°，BF⊥EC，∴BC2=CF•EC.∵CF=2EF，∴CF•CF=1。∴CF=。∴BP=。52\n（3）存在.∵∠A=∠ABC=90°，∠ABP=∠BCE，AB=BC，∴△ABP≌△BCE。∴AP=BE。若△AEP∽△BEC，需。设AP=a，则BE=AP=a，AE=1－a，∴,即，解得：a=或a=（舍去）。∴AP=。【考点】动点问题，正方形的性质，切线的判定和性质，圆周角定理，全等、相似三角形的判定和性质，射影定理，【分析】（1）由BC为⊙O的直径与四边形ACD是正方形，即可求得AB=BC=1，∠ABC=∠A=90°，则可证得△ABP∽△FCB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得y与x之间的函数关系式。（2）由射影定理，可得BC2=CF•EC，又由CF=2EF，即可求得CF的长，由（1）求得BP的长。（3）由△ABP≌△BCE可得：AP=BE，由△AEP∽△BEC，即可得比例式，设AP=a，则BE=AP=a，AE=1－a，解方程即可求得AP的长。5.（2022年浙江温州12分）已知△ABC(如图)，∠B=∠C=30°。请设计三种不同的分法，将△ABC分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形．请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数(或记号)，并在各种分法的空格线上填空。(画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法)注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．分法一：分割后所得的四个三角形中△≌△，Rt△∽Rt△分法二：分割后所得的四个三角形中△≌△，Rt△∽Rt△分法三：52\n分割后所得的四个三角形中△≌△，Rt△∽Rt△【答案】解：分法一：分割后所得的四个三角形中△AEF≌△CEF，Rt△ABD∽Rt△EAD。分法二：分割后所得的四个三角形中△DEF≌△CEF，Rt△ABD∽Rt△DAF。分法三：分割后所得的四个三角形中△AEF≌△DEF，Rt△ABD∽Rt△DAF。【考点】作图（复杂作图），开放型，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等、相似三角形的判定。【分析】还有以下分法，答案不唯一：52\n6.（2022年浙江温州14分）如图1，点A在⊙O外，射线AO交⊙O于F，C两点，点H在⊙O上，=2．D是上的一个动点(不运动至F，H)，BD是⊙O的直径，连结AB，交⊙O于点C，CD交OF于点E．且AO=BD=2．(1)设AC=x，AB=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当AD与⊙O相切时(如图2)，求tanB的值；(3)当DE=DO时(如图3)，求EF的长．【答案】解：（1）∵BD=2，∴OF=OG=1。又∵AO=2，∴AF=AO－OF=2－1=1，AG=AO＋OG=2＋1=3。由切割线定理的推论得AC•AB=AF•AG，∴xy=1×3。∴y关于x的函数解析式为，自变量x的取值范围是1＜x＜。（2）∵AD与⊙O相切，∴∠ADB=90°。又∵AO=BD=2，∴OD=1。∴。52\n∴。（3）过点D作DM⊥EO于M，∵BD是直径，∴∠BCD=90°。∴∠ECA=∠EMD=90°。又∵∠AEC=∠DEM，∴Rt△AEC∽Rt△DEM。∴。∴AE•ME=DE•CE。由相交弦定理，得EF•EG=DE•CE，∴AE•ME=EF•EG。设EF=t，则AE=AO－OF＋EF=2－1＋t=1＋t，EG=FG－EF=2－t。又∵DE=DO，∴ME=OM。∴ME=。∴。化简，得，∴（不合题意，舍去）。∴EF=。【考点】动点问题，根据实际问题列反比例函数关系式，切割线定理，相交弦定理，切线的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，公式法解一元二次方程。【分析】（1）有了AO，BD的长，就能求出AF、AG的长，然后根据切割线定理即可得出x、y的函数关系式。（2）AD与圆O相切，那么三角形ADB是直角三角形，因此∠B的正切值就应该是AD：BD，有BD的值，求AD就是解题的关键，有两种求法：①根据AD是切线可根据AD2=AF•AG，求出AD的长，②根据AO、OD的长用勾股定理求出AD的长。（3）可通过构建相似三角形来求解，过点D作DM⊥EO于M，那么根据DO=DE，不难得出EM=OM，我们可通过Rt△AEC∽Rt△DEM，得出DE•CE=AE•EM，又根据相交弦定理可得出DE•CE=FE•EG，将相等的线段进行置换，可得出AE•EM=FE•EG，用EF表示出EG，EO，也就表示出了EM、OM，由此可在这个比例关系式中得出EF的值。7.（2022年浙江温州12分）如图甲，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上52\n的一个动点(不运动至M，C),以AB为直径作⊙O，过点P的切线交AD于点F，切点为E。（1）求四边形CDFP的周长；（2）请连结OF，OP，求证：OF⊥OP；（3）延长DC，FP相交于点G，连结OE并延长交直线DC于H(如图乙)。是否存在点P使△EFO∽△EHG（其对应关系是EE，FH，OG）？如果存在，试求此时的BP的长；如果不存在，请说明理由。【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=900。∴AF、BP都是⊙O的切线。又∵PF是⊙O的切线，∴EF=FA，PE=PB。∴四边形CDFP的周长为AD+DC+CB=2×3=6。（2）证明：连结OE，∵PF是⊙O的切线，∴OE⊥PF。在Rt△AOF和Rt△EOF中，∵AO=EO，OF=OF，∴Rt△AOF∽Rt△EOF。∴∠AOF=∠EOF。同理∠BOP=∠EOP。∴∠EOF+∠EOP=×180°=90°。∴∠EOP=90°，即OF⊥OP。（3）存在。∵∠EOF=∠AOF，∴∠EHG=∠AOE=2∠EOF。52\n∴当∠EHG=∠AOE=2∠EOF,即∠EOF=30°时，Rt△EOF∽Rt△EHG。此时∠EOF=30°，∠BOP=∠EOP=90°－30°=60°。∴BP=OB·tan60°=。【考点】正方形的性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义。【分析】（1）根据切线的性质，将所求四边形CDFP的边转化为已知正方形ABCD的边，即可求得。（2）连结OE，根据切线的性质和相似三角形的判定和性质，求出∠EOF+∠EOP=×180°=90°，即可根据三角形内角和定理得到∠EOP=90°，即OF⊥OP。（3）要△EFO∽△EHG，必须∠EHG=∠EFO=2∠EOF=60°，在直角△OBP中，由正切定理可求出BP的长。8.（2022年浙江温州14分）已知抛物线y=－x2+2(m－3)x+m－1与x轴交于B，A两点，其中点B在x轴的负半轴上，点A在x轴的正半轴上，该抛物线与y轴于点C。（1）写出抛物线的开口方向与点C的坐标(用含m的式子表示)；（2）若tan∠CBA=3，试求抛物线的解析式；（3）设点P(x，y)（其中0＜x＜3）是（2）中抛物线上的一个动点，试求四边形AOCP的面积的最大值及此时点P的坐标。【答案】解：（1）抛物线的开口向下，点C的坐标是(0，m－1)。（2）∵点A、B分别在x轴的正、负半轴上，∴方程－x2+2(m－3)x+m－1=0的两根异号，即m－1＞0。∴OC=m－1。由tan∠CAB=3得OB=OC=(m－1)，∴点B的坐标为()。代入解析式得由m－1≠0得，∴m=4。∴抛物线的解析式为y=。（3）当0＜x＜3时，y＞0，∴四边形AOCP的面积为S△COP+S△OPA=。∵当时，y=52\n∴当点P的坐标为()时，四边形AOCP的面积达到最大值。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，锐角三角函数定义。【分析】（1）二次函数的二次项系数是-1＜0，因而抛物线的开口向下．在函数解析式中令x=0解得y的值，就是C的纵坐标。（2）由方程－x2+2(m－3)x+m－1=0的两根异号，根据一元二次方程根与系数的关系，得m－1＞0，从而OC=m－1。由tan∠CBA=3转化为OB，OC之间的关系，即可用m表示出B点的坐标，把B点的坐标代入抛物线的解析式，就可以得到一个关于m的方程，从而解出m的值．得到函数的解析式。（3）四边形AOCP的面积为S△COP＋S△OPA，这两个三角形的面积就可以用x表示出来，从而把面积表示成x的函数，转化为函数的最值问题。9.（2022年浙江温州12分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线分别交于点F、E，且，EM切⊙O于M。⑴求证：△ADC∽△EBA；⑵求证：AC2＝BC·CE；⑶如果AB＝2，EM＝3，求的值。【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDA=∠ABE。∵，∴∠DCA=∠BAE。∴△ADC∽△EBA。（2）证明：如图，过A作AH⊥BC于H，52\n∵A是的中点，∴HC=HB=BC。∵∠CAE=90°，∴AC2=CH•CE=BC•CE。（3）∵A是的中点，AB=2，∴AC=AB=2。∵EM是⊙O的切线，EM＝3，∴EB•EC=EM2=9①。∵AC2=BC•CE，∴BC•CE=8②。①＋②得：EC（EB+BC）=17，即EC2=17。∵在Rt△AEC中，EC2=AC2+AE2，∴AE=。∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD=∠AEC。∴。【考点】圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，射影定理，切割线定理，勾股定理，锐角三角函数定义。【分析】（1）欲证（1）△ADC∽△EBA，只要证明两个角对应相等即可。（2）过A作AH⊥BC于H，根据射影定理就可以得到结论。（3）A是的中点，则AC=AB=2，根据切割线定理，以及△CAD∽△ABE就可以求的结论。10.（2022年浙江温州14分）)如图，在Rt△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)。⑴求x为何值时，PQ⊥AC；⑵设△PQD的面积为y(cm2)，当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；⑶当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；⑷探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系。请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程)52\n【答案】解：（1）当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC。当Q在AC上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4－x。∵AB=BC=CA=4，∴∠C=60°。若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°，∴PC=2CQ。即4－x=2·2x，∴x=。∴当x=时，PQ⊥AC。（2）如图，当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QN⊥BC于N。∵∠C=60°，QC=2x，∴QN=QC·sin60°=。∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=BC=2。∴DP=2－x。∴。（3）证明：当0＜x＜2时，在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°，∴NC=x。∴BP=NC。∵BD=CD，∴DP=DN。∵AD⊥BC，QN⊥BC，∴AD∥QN。∴OP=OQ。∴S△PDO=S△DQO。∴AD平分△PQD的面积。（4）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离，当x=或时，以PQ为直径的圆与AC相切；当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交。【考点】双动点问题，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直线与圆的位置关系，分类思想的应用。【分析】（1）若使PQ⊥AC，则根据路程=速度×时间表示出CP和CQ的长，再根据30度的直角三角形的性质列方程求解。（2）首先画出符合题意的图形，再根据路程=速度×时间表示出BP，CQ的长，根据等边三角形的三线合一求得PD的长，根据30度的直角三角形的性质求得PD边上的高，再根据面积公式进行求解。52\n（3）根据三角形的面积公式，要证明AD平分△PQD的面积，只需证明O是PQ的中点．根据题意可以证明BP=CN，则PD=DN，再根据平行线等分线段定理即可证明。（4）由（1）知当x=时，PQ⊥AC，此时以PQ为直径的圆与AC相切；同样可得，x=时，PQ⊥AB：如图，当PQ⊥AB时，BP=x，BQ=x，AC＋AQ=2x。∵AC=4，∴AQ=2x－4。∴2x－4＋x=4。∴x=。∴当x=时，PQ⊥AB，此时，根据等腰三角形的的对称性质，以PQ为直径的圆与AC也相切。显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离，当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交。11.（2022年浙江温州12分）下图是B、C两市到A市的公路示意图，小明和小王提供如下信息:小明：普通公路EA与高速公路DA的路程相等；小王：A、B两市的路程(B--D--A)为240千米，A、C两市的路程(C--E--A)为290千米，小明汽车在普通公路BD上行驶的平均速度是30千米／时，在高速公路DA上行驶的平均速度是90千米／时;小王汽车在高速公路CE上行驶的平均速度是lOO千米／时，在普通公路EA上行驶的平均速度是40千米／时；小明：汽车从B市到A市不超过5时；小王：汽车从C市到A市也不超过5时.若设高速公路AD的路程为x千米.(1)根据以上信息填表:52\n路程(单位千米)行驶速度(单位；千米／时)所需时间(单位时)高速公路AD普通公路BD普通公路AEx高建公路CE(2)试确定高速公路AD的路程范围.【答案】解：（1）填表如下:路程(单位千米)行驶速度(单位；千米／时)所需时间(单位时)高速公路ADx90普通公路BD240－x30普通公路AEx40高建公路CE290－xlOO（2）根据题意，得，解得。答：高速公路AD的路程范围为135千米至140千米之间。【考点】阅读型，一元一次不等式组的应用（行程问题）。【分析】（1）认真阅读，根据已知和时间=路程÷速度填表。（2）根据“汽车从B市到A市不超过5时”和“车从C市到A市也不超过5时”列不等式组求解即可。12.（2022年浙江温州14分）如图，在ABCD中，对角线AC⊥BC，AC=BC=2,动点P从点A出发沿AC向终点C移动，过点P分别作PM∥AB交BC于M，PN∥AD交DC于N．连接AM．设AP=x(1)四边形PMCN的形状有可能是菱形吗?请说明理由；(2)当x为何值时，四边形PMCN的面积与△ABM的面积相等?52\n【答案】解：（1）四边形PMCN不可能是菱形。理由如下：用反证法：假设四边形PMCN是菱形，则PM=MC=CN=NP。∵AC⊥BC，∴∠ACB=900。∵在Rt△PCM中，PM为斜边，MC为直角边，∴PM>MC。∴PM不可能等于MC。∴与假设四边形PMCN是菱形相矛盾，所以四边形PMCN不可能是菱形。（2）设AP=x，∵PM//AB，PN//AD，AC=BC=2，AC⊥BC，∴PC=2－x，BM=x，MC=2－x。∴。由解得x=1，x=4（不合题意，舍去）。∴当x=1时，四边形PMCN的面积与△ABM的面积相等。【考点】动点问题，平行四边形的性质，菱形的判定，解一元二次方程，反证法的应用。【分析】（1）用反证法证明四边形PMCN不可能是菱形。（2）设AP=x，用x表示出四边形PMCN的面积和△ABM的面积，由二者相等列式解一元二次方程即可。13.（2022年浙江温州12分）为调动销售人员的积极性，A、B两公司采取如下工资支付方式：A公司每月2000元基本工资，另加销售额的2%作为奖金；B公司每月1600元基本工资，另加销售额的4%作为奖金。已知A、B公司两位销售员小李、小张1～6月份的销售额如下表：月份销售额销售额（单位：元）1月2月3月4月5月6月小李（A公司）116001280014000152001640017600小张（B公司740092001100128001460016400（1）请问小李与小张3月份的工资各是多少？52\n（1）小李1～6月份的销售额与月份的函数关系式是小张1～6月份的销售额也是月份的一次函数，请求出与的函数关系式；（2）如果7～12月份两人的销售额也分别满足（2）中两个一次函数的关系，问几月份起小张的工资高于小李的工资。【答案】解：（1）小李3月份工资=2000+2%×14000=2280（元），小张3月份工资=1600+4%×1100=1644（元）。（2）设y2=kx＋b，取表中的两对数（1，7400），（2，9200）代入解析式，得　　　，解得。∴出与x的函数关系式为：y2=1800x＋5600。（3）小李的工资w1=2000+2%（1200x+10400）=24x+2208，小张的工资w2=1600+4%（1800x+5600）=72x+1824，当w2＞w1时，即72x+1824＞24x+2208，解得x＞8。答：从9月份起，小张的工资高于小李的工资。【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。【分析】（1）由工资=基本工资+奖金，可得到两人的工资。（2）利用待定系数法可求出y2与x的关系式。（3）求出两人的工资表达式，然后得到不等式，解不等式可求出月份。14.（2022年浙江温州12分）在中，∠C=，AC=4，BC=5，点D在BC上，并且CD=3，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动。过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ。设动点运动时间为x秒。（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当为何值时，为直角三角形。52\n【答案】解：（1）在Rt△ADC中，AC=4，CD=3，∴AD=5.∵EP∥DC，∴△AEP∽△ADC。∴，即。∴EA=，DE=。（2）∵BC=5，CD=3，∴BD=2.当点Q在BD上运动x秒后，DQ=，则y=×DQ×CP=。∴y与x的函数解析式为：y=，其中自变量的取值范围是：0＜x＜。（3）分两种情况讨论：①如图，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4－x，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC。∴，即，解得x=2.5。②如图，当∠QED=90°时，∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA。∴，即，解得x=3.1。综上所述，当x为2.5秒或3.1秒时，△EDQ为直角三角形。52\n【考点】双动点问题，二次函数综合题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定，矩形的判定和性质，分类思想的应用。【分析】（1）根据PE∥DC，来得出关于AE，AD，AP，AC的比例关系，AD可根据勾股定理求出，那么就能用x表示出AE的长，从而可表示出DE的长。（2）求三角形EDQ的面积可以QD为底边，以PC为高来求，QD=BD-BQ，而BQ可根据Q的速度用时间表示出来，那么也就能用x表示出QD，而PC就是AC－AP，有了底和高，就可以根据三角形的面积公式得出关于x，y的函数关系式。　　当点Q在点B时，x＝0；当点Q在点D时，x＝BQ=BD=.∵不包括点B、D，∴自变量的取值范围是：0＜x＜。（3）因为∠ADB是钝角，因此要想使三角形EDQ是直角三角形，那么Q就必须在CD上，可分两种情况进行讨论：①当∠EQD=90°时，四边形EPCQ是个矩形，那么EQ=PC，DQ=BQ-BD，根据EQ∥AC可得出关于EQ，AC，DQ，DC的比例关系从而求出x的值；②当∠DEQ=90°时，可用PC和∠DAC的正弦值来表示出EQ，然后用相似三角形EQD和ABC，得出关于EQ，AC，DQ，AD的比例关系，从而求出x的值。15.（2022年浙江温州10分）温州皮鞋畅销世界，享誉全球．某皮鞋专卖店老板对第一季度男女皮鞋的销售收入进行统计，并绘制了扇形统计图（如图）．由于三月份开展促销活动，男、女皮鞋的销售收入分别比二月份增长了40%，60%．已知第一季度男女皮鞋的销售总收入为200万元．（1）一月份销售收入______________万元，二月份销售收入_____________万元，三月份销售收入__________万元；（2）二月份男、女皮鞋的销售收入各是多少万元？【答案】（1）50；60；90。（2）设二月份男、女皮鞋的销售收入分别为x万元，y万元，52\n根据题意，得，解得。答：二月份男、女皮鞋的销售收入分别为35万元、25万元。【考点】扇形统计图，频数、频率和总量的关系，二元一次方程组的应用。【分析】（1）由已知第一季度男女皮鞋的销售总收入为200万元和扇形统计图，根据频数、频率和总量的关系求解即可：一月份销售收入=200×25%=50（万元），二月份销售收入=200×30%=60（万元），三月份销售收入=200×45%=90（万元）。（2）根据“二月份销售收入60万元”和“三月份销售收入90万元”列二元一次方程组求解。16.（2022年浙江温州14分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90º，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠A＝90º，AB＝6，AC＝8，∴BC=10。∵点D为AB中点，∴BD=AB=3。∵，，∴。∴。∴。（2）∵QR∥BA，∴。∵，∴。∴，即。∴y关于x的函数关系式为：。（3）存在。分三种情况：52\n①当时，过点P作于M，则QM=RM。∵，，∴。∴。∴。∴，解得。②当PQ=RQ时，，解得。③当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，∴点R为EC的中点。∴。∵，∴，解得。综上所述，当为或6或时，△PQR为等腰三角形。【考点】动点问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，等腰三角形的判定，分类思想的应用。【分析】（1）证明，即可由相似比求得点D到BC的距离DH的长。（2）由即可由相似比求得y关于x的函数关系式。52\n（3）分，PQ=RQ，PR=QR三种情况讨论即可。17.（2022年浙江温州12分）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．(1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共l00个，设做竖式纸盒x个．①根据题意，完成以下表格：竖式纸盒(个)横式纸盒(个)x正方形纸板(张)2(100-x)长方形纸板(张)4x②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案?(2)若有正方形纸板162张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知290<a<306．则a的值是．(写出一个即可)【答案】解：（1）①填表如下：竖式纸盒(个)横式纸盒(个)x100－x正方形纸板(张)x2(100-x)长方形纸板(张)4x3（100－x）②根据题意，得，解得38≤x≤40。∵x是正整数，∴x＝38，39，40。答；有3种生产方案：生产竖式纸盒38个，横式纸盒62个；生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个。（2）293（答案不唯一）。52\n【考点】一元一次不等式组和二元一次方程组的应用。【分析】（1）①根据题意列式填表。②根据“正方形纸板162张”和“长方形纸板340”列不等式组求解。　　　　（2）设竖式纸盒x个，横式纸盒y个，则。　　　　　　根据题意，得　。　　　　　　∵y是正整数，∴y＝69，70，71。∴a=303，298，293。18.（2022年浙江温州14分）如图，在平面直角坐标系中，点A(，0)，B(3，2)，C（0，2)．动点D以每秒1个单位的速度从点O出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF上AB，交BC于点F，连结DA、DF．设运动时间为t秒．(1)求∠ABC的度数；(2)当t为何值时，AB∥DF；(3)设四边形AEFD的面积为S．①求S关于t的函数关系式；②若一抛物线y=x2+mx经过动点E，当S<2时，求m的取值范围(写出答案即可)．【答案】解：（1）∵B(3，2)，C（0，2)，∴BC∥x轴。过B作x轴的垂线BG，垂足为G，∴∠ABC=∠BAG。∵A(，0)，B(3，2)，52\n∴BG=2，AG=2。∴。∴∠ABC=∠BAG=300。（2）过E作x轴的垂线EH，垂足为H，当AB∥DF时，∠DFC=∠ABC=300，CD=OC－OD=2－t，BE=AB－AE=4－2t，∴。又∵CF＋BF=BC，∴。解得t=。∴当t=秒时，AB∥DF。（3）①由图知。。∵OD=t，OA=，∴。∵，AE=2t，∴BE=，。∴。∵CD=2－t，，∴CF=BC－BF=。∴。∴。∴S关于t的函数关系式为。②。52\n【考点】二次函数综合题，双动点问题，平行的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）求∠ABC的度数即求∠BAx的度数，过B作BG⊥x轴于G，则AG=2，BG=2，由此可得出∠BAG即∠ABC的度数。（2）当AB∥FD时，∠CFD=∠B=30°，可在直角三角形CDF中，用CD的长表示出CF，同理可在直角三角形FEB中，用BE的长表示出BF，然后可根据CF+BF=BC来求出t的值。（3）①根据求解。②设E点坐标为，∵点E在抛物线上，∴。∵，∴。由知，当0≤t<1时，≤S<2。∵S>1，∴随S的增大而减小。∴。19.（2022年浙江温州12分）在日常生活中，我们经常有目的地收集数据，分析数据，作出预测．(1)下图是小芳家2022年全年月用电量的条形统计图。根据图中提供的信息，回答下列问题：①2022年小芳家月用电量最小的是月，四个季度中用电量最大的是第季度；②求2022年5月至6月用电量的月增长率；52\n(2)今年小芳家添置了新电器．已知今年5月份的用电量是120千瓦时，根据2022年5月至7月用电量的增长趋势，预计今年7月份的用电量将达到240千瓦时．假设今年5月至6月用电量月增长率是6月至7月用电量月增长率的1.5倍，预计小芳家今年6月份的用电量是多少千瓦时?【答案】解：（1）①5；三。②∵。∴2022年5月至6月用电量的月增长率为65%。（2）设今年6月至7月用电量月增长率的x，则5月至6月用电量月增长率为1.5x，根据题意得：，化简得，解得（不合题意舍去）。∴（千瓦时）。答：预计小芳家今年6月份的用电量是180千瓦时。【考点】条形统计图，一元二次方程的应用（增长率问题）。【分析】（1）①由小芳家2022年全年月用电量的条形统计图得：2022年小芳家月用电量最小的是5月，四个季度中用电量最大的是第三季度。②2022年5月至6月用电量的月增长率=。（2）设今年6月至7月用电量月增长率为x，则5月至6月用电量月增长率为1.5x，根据题意列方程，求解即可。20.（2022年浙江温州14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BBl∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连结DG．设点D运动的时间为t秒．(1)当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；(2)当△DEG与△ACB相似时，求t的值；(3)以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．①当t>时，连结C′C，设四边形ACC′A′的面积为S，求S关于t的函数关系式；②当线段A′C′与射线BB有公共点时，求t的取值范围(写出答案即可)．52\n【答案】解（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴。∵AD=5t，CE=3t，∴当AD=AB时，5t=5，∴t=1。∴AE=AC＋CE=3＋3t=6。∴DE=6－5=1。（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，∴GE=2。当AD＜AE（即t＜）时，DE=AE－AD=3＋3t－5t=3－2t。若△DEG∽△ACB，则或。∴或。∴t=或t=。当AD＞AE（即t＞）时，DE=AD－AE=5t－（3＋3t）=2t－3。若△DEG∽△ACB，则或。∴或。∴t=或t=。综上所述，当t=或或或时，△DEG∽△ACB。（3）①由轴对称变换得：AA′⊥DH，CC′⊥DH，∴AA′∥CC′。易知OC≠AH，故AA′≠CC′。∴四边形ACC′A′是梯形。∵∠A=∠A，∠AHD=∠ACB=90°，∴△AHD∽△ACB。∴，即。∴AH=，DH=。52\n∵sin∠ADH=sin∠CDO，∴，即。∴CO=。∴AA′=2AH=6t，CC′=2CO=6t－。∵OD=CD•cos∠CDO=（5t－3）×=4t－。∴OH=DH－OD=。∴。②。【考点】双动点问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，梯形的判定和性质，锐角三角函数定义，分类思想的应用。【分析】（1）根据AD=AB列式求解即可。（2）分AD＜AE（或），AD＞AE（或）四种情况讨论即可。（3）①根据轴对称变换的性质，得到四边形ACC′A′是梯形的结论，将各边长用t表示后，根据梯形的面积公式列式即可。②如图甲，当A′在BB1上时，A′和点B重合时，AH=AB=，此时∴。∴。如图乙，当C′在BB1上时，易得CC′∥AB。∴四边形ACC′B是平行四边形。∴CC′=AB=5。52\n又∵根据轴对称性，CC′=2CO=，∴，解得。∴。21.（2022年浙江温州12分）2022年5月20日是第22个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．根据信息，解答下列问题．（1）求这份快餐中所含脂肪质量；（2）若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；（3）若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值．【答案】解：（1）400×5%=20克．答：这份快餐中所含脂肪质量为20克；（2）设所含矿物质的质量为克，由题意得：+4+20+400×40%=400，∴=44。∴4=176。答：所含矿物质的质量为176克；（3）设所含矿物质的质量为克，则所含碳水化合物的质量为（380﹣5）克。∴4+（380﹣5）≤400×85%，∴≥40，∴380﹣5≤180，答：所含碳水化合物质量的最大值为180克．【考点】一元一次方程和一元一次不等式的应用52\n【分析】（1）快餐中所含脂肪质量=快餐总质量×脂肪所占百分比。（2）根据这份快餐总质量为400克，列出方程求解即可。（3）根据这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，列出不等式求解即可。22.（2022年浙江温州14分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（0，）（＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P´（点P´不在y轴上），连接PP´，P´A，P´C．设点P的横坐标为．（1）当=3时，①求直线AB的解析式；②若点P′的坐标是（﹣1，），求的值；（2）若点P在第一象限，记直线AB与P´C的交点为D．当P´D：DC=1：3时，求的值；（3）是否同时存在，，使△P´CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的，的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）①∵点B在直线AB上，∴设直线AB的解析式为，把=﹣4，y=0代入得：﹣4+3=0，∴，∴直线的解析式是：。②由已知得点P的坐标是（1，），且点P在直线AB上，得。（2）∵PP′∥AC，∴△PP′D∽△ACD。，即，∴。52\n（3）分三种情况讨论：①当点P在第一象限时，1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如图1），过点P′作P′H⊥轴于点H。∴PP′=CH=AH=P′H=AC，即。∴。∵P′H=PC=AC，△ACP∽△AOB。∴，即。∴。2）若∠P′AC=90°（如图2），P′A=CA，则PP′=AC，即。∴。∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB∴，即。∴。3）若∠P′CA=90°，则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾。∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形。②当点P在第二象限时，∠P′CA为钝角（如图3），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形。③当P在第三象限时，∠P′CA为钝角（如图4），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形。综上所述，所有满足条件的，的值为和。【考点】直线上的点的坐标与方程的关系，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定。【分析】（1）①利用待定系数法即可求得函数的解析式。②把（﹣1，）代入函数解析式即可求得的值。52\n（2）可以证明△PP′D∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解。（3）分P在第一，二，三象限，三种情况进行讨论，利用相似三角形的性质即可求解。23.（2022年浙江温州12分）温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将件产品运往A,B,C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示。设安排件产品运往A地。（1）当时，①根据信息填表：A地B地C地合计产品件数（件）200运费（元）30②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？（2）若总运费为5800元，求的最小值。【答案】解：（1）①根据信息填表A地B地C地合计产品件数（件）200运费（元）30②由题意，得，解得40≤x≤。∵x为整数，∴x=40或41或42。∴有三种方案，分别是（i）A地40件，B地80件，C地80件；（ii）A地41件，B地77件，C地82件；（iii）A地42件，B地74件，C地84件。（2）由题意，得30x+8（n－3x）+50x=5800，整理，得n=725－7x．∵n－3x≥0，∴x≤72.5。52\n又∵x≥0，∴0≤x≤72.5且x为整数。∵n随x的增大而减少，∴当x=72时，n有最小值为221。【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。【分析】（1）①运往B地的产品件数=总件数n－运往A地的产品件数－运往B地的产品件数；运费=相应件数×一件产品的运费。②根据运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元列出不等式组，求得整数解的个数即可。（2）总运费=A产品的运费+B产品的运费+C产品的运费，从而根据函数的增减性得到的x的取值求得n的最小值即可。24.（2022年浙江温州14分）如图，经过原点的抛物线与轴的另一个交点为A.过点作直线轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）.连结CB,CP。（1）当时，求点A的坐标及BC的长；（2）当时，连结CA，问为何值时CA⊥CP？（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的的值，并写出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）当m=3时，y=－x2＋6x。令y=0得－x2＋6x=0，解得，x1=0，x2=6。∴A（6，0）。当x=1时，y=5。∴B（1，5）。∵抛物线y=－x2＋6x的对称轴为直线x=3，且B，C关于对称轴对称，∴BC=4。（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得，∠ACP=∠BCH=90°，∴∠ACH=∠PCB。52\n又∵∠AHC=∠PBC=90°，∴△AGH∽△PCB。∴。∵抛物线y=－x2＋2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，且B，C关于对称轴对称，∴BC=2（m－1）。∵B（1，2m－1），P（1，m），∴BP=m－1。又∵A（2m，0），C（2m－1，2m－1），∴H（2m－1，0）。∴AH=1，CH=2m－1，∴，解得m=。（3）存在。∵B，C不重合，∴m≠1。（I）当m＞1时，BC=2（m－1），PM=m，BP=m－1，（i）若点E在x轴上（如图1），∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP。∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2（m-1）=m，解得m=2。此时点E的坐标是（2，0）。（ii）若点E在y轴上（如图2），过点P作PN⊥y轴于点N，52\n易证△BPC≌△NPE，∴BP=NP=OM=1，即m－1=1，解得，m=2。此时点E的坐标是（0，4）。（II）当0＜m＜1时，BC=2（1－m），PM=m，BP=1－m，（i）若点E在x轴上（如图3），易证△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2（1－m）=m，解得，m=。此时点E的坐标是（，0）。（ii）若点E在y轴上（如图4），过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，∴BP=NP=OM=1，即1－m=1，∴m=0（舍去）。综上所述，当m=2时，点E的坐标是（0，2）或（0，4），当m=时，点E的坐标是（，0）。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，从而求出BC的长。（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条件证明△AGH∽△PCB，根据相似的性质得到：，再用含有m的代数式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值。52\n（3）存在。本题要分当m＞1时，BC=2（m-1），PM=m，BP=m－1和当0＜m＜1时，BC=2（1－m），PM=m，BP=1－m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标。52