【中考12年】浙江省衢州市2001-2022年中考数学试题分类解析 专题12 押轴题

【中考12年】浙江省衢州市2022-2022年中考数学试题分类解析专题12押轴题一、选择题1.（2022年浙江金华、衢州5分）用长8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是【】A．m2B．m2C．m2D．4m22.（2022年浙江金华、衢州4分）如图，D是△ABC的AB边上一点，过D作DE∥BC，交AC于E，已知，那么的值为【】（A）（B）（C）(D)【答案】C。【考点】相似三角形的判定和性质。【分析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC。58\n又∵，∴。故选C。3.（2022年浙江金华、衢州4分）如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面图是由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是【　　】　A．　　B．　　C．　　D．【答案】B。【考点】简单几何体的三视图。【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中从正前方观察，应看到长有三个立方体，且中间的为三个立方体叠加，高为两个立方体，在中间且有两个立方体叠加。故选B。4.（2022年浙江衢州4分）设“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为【】A、5B、4C、3D、25.（2022年浙江衢州4分）如图，正方形的网格中，∠1+∠2+∠3十∠4+∠5等于【】A、175°B、180°C、210°D、225°58\n6.（2022年浙江衢州4分）每位同学都能感受到日出时美丽的景色。下图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A﹑B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为【】A.0.4厘米/分B.0.5厘米/分C.0.6厘米/分D.0.7厘米/分【答案】B。【考点】垂径定理，相交弦定理，数形结合思想的应用。【分析】如图，作垂直AB的直径交圆为C，D交AB于E，则∵AB=8厘米，∴AE=BE=5厘米。又∵圆的半径为5厘米，∴根据相交弦定理，得，即，解得CE=2或8厘米。从图中可知这里选答案为8厘米，58\n∵从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，∴“图上”太阳升起的速度为8÷16=0.5（厘米/分）。故选B。7.（2022年浙江衢州4分）如图，已知直线l的解析式是，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点。一个半径为1.5的⊙C,圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动,当⊙C与直线l相切时,则该圆运动的时间为【】A.3秒或6秒B.6秒C.3秒D.6秒或16秒8.（2022年浙江衢州4分）如图，点O在Rt△ABC的斜边AB上，⊙O切AC边于点E，切BC边于点D，连结OE，如果由线段CD、CE及劣弧ED围成的图形(阴影部分)面积与△AOE的面积相等，那么的值约为(取3.14)【】58\nA、2.7B、2.5C、2.3D、2.19.（2022年浙江衢州3分）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是【】A．B．C．D．58\n10.（2022年浙江衢州、丽水3分）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是【】A．B．C．D．【答案】C。【考点】由实际问题列函数关系式，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，∵∠BAD=∠CAE=900，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE。∴∠BAC=∠DAE。又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°，∴△ABC≌△ADE（AAS）。∴BC=DE，AC=AE。设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=AC－AF=AC－DE=3a，在Rt△CDF中，由勾股定理得，，即，解得：。∴。故选C。11.（2022年浙江衢州3分）如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为（58\n≥3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是【】A、2﹣πB、（4﹣π）2C、πD、4﹣π12.（2022年浙江衢州3分）已知二次函数y=﹣x2﹣7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是【】　　A．y1＞y2＞y3　　B．y1＜y2＜y3　　C．y2＞y3＞y1　　D．y2＜y3＜y1【答案】A。【考点】二次函数图象上点的坐标特征。【分析】根据x1、x2、x3与对称轴的大小关系，判断y1、y2、y3的大小关系：∵二次函数，∴此函数的对称轴为：。∵＜0＜x1＜x2＜x3，三点都在对称轴右侧，a＜0，∴对称轴右侧y随x的增大而减小。∴y1＞y2＞y3。故选A。二、填空题1.（2022年浙江金华、衢州5分）如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC上，∠ADC=60°，在AD上取点E，使AE：ED=2：1，过点E作EF∥BC，交AB于F，连接CF，交AD于P，那么=▲．58\n【答案】。【考点】等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。【分析】根据已知及正切的性质求得各边之间的关系，从而得到△EFP，△DCP的相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，从而得到答案：∵∠ADC=60°，∠B=45°，∴，BC=AC，。∴。∵AE：ED=2：1，∴。∵EF∥BC，∴△AEF∽△ADB。∴。∴。∵EF∥BC，∴S△EFP∽S△DCP。∴。2.（2022年浙江金华、衢州5分）函数的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值和交点坐标分别为▲．58\n3.（2022年浙江金华、衢州5分）CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程的两根，则△ABC的面积为　　▲　　．【答案】6。【考点】一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的判定和性质。【分析】∵AD、BD是方程的两根，∴AD+BD=6，AD•BD=4。∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∴△DBC∽△DCA，∴。∴CD2=AD•BD。∴。58\n∴。4.（2022年浙江衢州5分）如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ=▲度。5.（2022年浙江衢州5分）如图，沿大正三角形的对称轴对折，则互相重合的两个小正三角形内的单项式的乘积为▲．6.（2022年浙江衢州5分）如图是一张传说中的“藏宝图”,图上除标明了A﹑B﹑C三点的位置以外,并没58\n有直接标出”宝藏”的位置,但图上注有寻找“宝藏”的方法:把直角△ABC补成矩形，使矩形的面积是ABC的2倍，“宝藏”就在矩形未知的顶点处，那么“宝藏”的位置可能是▲(用坐标表示)【答案】（－2，）或（，）或（，）。（2）以原三角形的斜边为矩形的一边补成矩形，如图所示：在原三角形的斜边上作出过直角顶点的高，垂足为点H，则把原三角形分成两个直角三角形，以长为的直角边为斜边，再补一个与这个小直角三角形重合斜边的小直角三角形的顶点D，即为矩形的顶点D，以长为2的直角边为斜边，再补一个与这个小直角三角形重合斜边的小直角三角形的顶点E，即为矩形的顶点E。则点，点D的横坐标，点D的纵坐标=-1×sin60°=-32，点D的坐标为（，）。点CE，点E的横坐标=58\n，点E的纵坐标=，点E的坐标为（，）。综上所述，“宝藏”的位置可能是：（－2，）或（，）或（，）。7.（2022年浙江衢州5分）一幅三角板按下图所示叠放在一起，若固定△AOB，将△ACD绕着公共顶点A，按顺时针方向旋转α度（0<α<180），当△ACD的一边与△AOB的某一边平行时，相应的旋转角α的值是▲8.（2022年浙江衢州5分）已知n是正整数，(，)是反比例函数图象上的一列点，其中，，…，，记，，…，；若，则的值是▲；【答案】。【考点】探索规律题（图形的变化类），反比例函数图象上点的坐标特征。【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答：∵，且x1=1，∴。又∵T1=1，∴x1y2=1。58\n又∵x1=1，∴y2=1，即。又∵x2=2，∴k=2。∴。∴。9.（2022年浙江衢州4分）如图，DB为半圆的直径，A为BD延长线上一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F．已知BD=2，设AD=x，CF=y，则y关于x的函数解析式是　　▲　　．10.（2022年浙江衢州、丽水4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D是的中点，已知∠AOB=980，∠COB=1200．则∠ABD的度数是　　▲　　．58\n11.（2022年浙江衢州4分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r，用角尺的较短边紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C，假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为B，较短边AB=8cm，若读得BC长为cm，则用含的代数式表示r为　▲　．【答案】当0＜r≤8时，r=；当r＞8时，r=。【考点】切线的性质，勾股定理。【分析】①易知，当0＜r≤8时，r=；②当r＞8时，根据切线的性质，连接OC，则OC⊥BC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，在直角三角形OAD中用勾股定理计算求出圆的半径：在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即：r2=（r﹣8）2+2整理得：r=。12.（2022年浙江衢州4分）如图，已知函数y=2x和函数的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是　▲　．58\n三、解答题1.（2022年浙江金华、衢州12分）如图，已知⊙O1，经过⊙O2的圆心O2，且与⊙O2相交于A，B两点，点C为弧AO2B上的一动点（不运动至A，B），连接AC，并延长交⊙O2于点P，连接BP，BC．（1）先按题意将图1补完整，然后操作，观察．图1供操作观察用，操作时可使用量角器与刻度尺．当点C在弧AO2B上运动时，图中有哪些角的大小没有变化；（2）请猜想△BCP的形状，并证明你的猜想（图2供证明用）；（3）如图3，当PA经过点O2时，AB=4，BP交⊙O1于D，且PB，DB的长是方程的两个根，求⊙O1的半径．【答案】解：（1）按题意将图1补完整如下：58\n当点C在弧AO2B上运动时，∠ACB，∠P的大小没有变化。（2）△BCP是等腰三角形。理由如下：连接AO2，∵C，O2在⊙O1上，∴∠ACB=∠AO2B。∵在⊙O2中，∠AO2B=2∠P，即∠ACB=2∠P。又∵∠ACB=∠P+∠PBC，∴∠P=∠PBC。∴BC=CP，即△BCP是等腰三角形。（3）连接AD，∵AP为⊙O2的直径，∴∠ABP=90°。∴AD为⊙O1的直径。作O2E⊥BP于E，则O2E为△ABP的中位线，O2E=AB=2。∴由割线定理得：PO2•PA=PD•PB，即2PO22=（PB－BD）•PB=PB2－PB•BD。∵PB，DB的长是方程的两个根，∴PB•BD=10。∴2PO22=PB2－10。在△O2EP中，由勾股定理得，即：。∴。∴PB=6。又PB•BD=10，∴BD=。在△ABD中，由勾股定理得：，58\n∴⊙O－半径是AO1=。2.（2022年浙江金华、衢州12分）如图，菱形铁片ABCD的对角线AC，DB相交于点E，sin∠DAC=，AE、DE的长是方程的两根．（1）求AD的长；（2）如果M，N是AC上的两个动点，分别以M，N为圆心作圆，使⊙M与边从AB、AD相切，⊙N与边BC，CD相切，且⊙M与⊙N相外切，设AM=t，⊙M与⊙N面积的和为S，求S关于t的函数关系式；（3）某工厂要利用这种菱形铁片（单位：mm）加工一批直径为48mm，60mm，90mm的圆形零件（菱形铁片上只能加工同一直径的零件，不计加工过程中的损耗），问加工哪种零件能最充分地利用这种铁片并说明理由．【答案】解：（1）∵ABCD是菱形，∴AC、DB垂直平分。∵sin∠DAC=，即。设DE=3a，则AD=5a，在Rt△ADE中，∵DE=3a，AD=5a，∴根据勾股定理，得AE=4a。58\n又∵AE，DE是方程的两根，∴根据根与系数的关系可得：4a+3a=140，解得a=20。∴AD=5a=100。（2）过点M作MF⊥AD于F，过点N作NG⊥CD于G，在Rt△AMF中，sin∠DAC=，∴FM=。∵CD=AD，∠DCA=∠DAC，∴在Rt△CGN中，sin∠DCA=。∴NC=NG。又AC=2AE=2×4×20=160，∵⊙M与⊙N相外切，∴MN=MF+NG=+NG。∴。∴。根据题意，，即。如若将这块料加工成两个最大圆形零件，并设这时圆半径为R2，那么由对称性知，这两个圆必是△ADB和△DBC的内切圆，则2（ AD•R2+AB•R2+•BD•R2）=AC•BD，∴=30（mm），这时正好可加工直径为60mm的圆形零件2个。58\n如若加工三个最大圆形零件，这时用料不合理，显然不可取。若加工成4个最大圆形零件，答案前已得出。如果加工个数更多的话，直径太小，已不合要求。所以加工直径为48mm的圆形零件，最能充分利用这块材料。3.（2022年浙江金华、衢州12分）如图，在ΔABC中，AC＝15，BC＝18，sinC=，D是AC上一个动点（不运动至点A，C),过D作DE∥BC，交AB于E，过D作DF⊥BC，垂足为F，连结BD，设CD＝x．（1）用含x的代数式分别表示DF和BF；（2）如果梯形EBFD的面积为S，求S关于x的函数关系式；（3）如果△BDF的面积为S1，△BDE的面积为S2，那么x为何值时，S1＝2S2　【答案】解：（1）在Rt△CDF中，sinC=，CD=x，∴DF=CD•sinC=x，。∴。58\n（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC。∴。∴。∴。（3）由S1=2S2，得S，∴。解得：x=10。∴当x=10时，S1=2S2。4.（2022年浙江金华、衢州14分）如图，已知直线分别与y轴，x轴交于A，B两点，点M在y轴上，以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D，连结MD．（1）求证：△ADM∽△AOB；（2）如果⊙M的半径为2，请求出点M的坐标，并写出以为顶点．且过点M的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，试问在此抛物线上是否存在点P，使得以P，A，M三点为顶点的三角形与△AOB相似？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．58\n∵OA：OB=2，∴P1A=P3M=2AM=20，P2A=P4M=AM=5。∴P1（－20，12），P2（－5，12），P3（－20，2），P4（－5，2）。根据P2A=5，可得P5A=2，从而得出P5（－4，10）。下面求P6的坐标：显然MP6=MD=2，作P6H⊥AM，H为垂足。由P6M2=MH•MA，得，58\n由P6H2=MH•AH，得。∴P6（－4，4）。经检验，只有P4、P5的坐标满足。∴在抛物线上存在点P（－5，2），或P（－4，10），使以P、A、M三点为顶点的三角形与△AOB相似。5.（2022年浙江金华、衢州12分）如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC；（2）当，求的值；（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．【答案】解：（1）若PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC。∵AP=4x，AQ=30－3x，∴，解得：。∴当时，PQ∥BC。（2）∵，∴。∵CQ=10cm，∴时间用了秒，AP=cm。∵由（1）知，此时PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，相似比为。58\n∴。∴。∵，∴。（3）能。假设运动时间为t秒时，两三角形可以相似。情况1：当△APQ∽△CQB时，，即有，解得。此时AP=cm。情况2：当△APQ∽△CBQ时，，即有，解得x=5。此时AP=20cm。【考点】双动点问题，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，分类思想的应用。6.（2022年浙江金华、衢州14分）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A点在原点左侧，B点在原点右侧），与y轴交于C点．若AB=4，OB＞OA，且OA、OB是方程的两根．（1）请求出A，B两点的坐标；（2）若点O到BC的距离为，求此二次函数的解析式；（3）若点P的横坐标为2，且△PAB的外心为M（1，1），试判断点P是否在（2）中所求的二次函数图象上．【答案】解：（1）∵OA、OB是方程的两根，∴OA+OB=－k，OA•OB=3。58\n∵AB=4，即OA+OB=－k=4，k=－4。∴方程为。解得x1=1，x2=3，即OA=1，OB=3。∵AB=4，OB＞OA，A点在原点左侧，B点在原点右侧，∴A（－1，0），B（3，0）。（2）设C（0，c），如图：根据三角形的面积公式可知：BC•OD=OB•OC，即：，解得c=±2。∴C（0，2）或（0，－2）。设过A、B、C三点的函数解析式为，若C（0，2），，解得。∴二次函数的解析式为，即。若C（0，－2），，解得。∴二次函数的解析式为，即。∴过A、B、C三点的二次函数的解析式为或。（3）设P点坐标为（2，p），由外心的定义可知AM=PM，即，解得p=1或p=3。∴P（2，1）或（2，3）。把x=2分别代入二次函数的解析式和，解得y=±2。∴点P不在（2）中所求的二次函数图象上。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，三角形外心的定义，分类思想的应用。58\n【分析】（1）由于已知OA、OB是方程的两根，故可根据一元二次方程根与系数的关系求出OA、OB的值，再根据A点在原点左侧，B点在原点右侧，OB＞OA，可确定A、B的坐标。（2）设C（0，c），可根据△OBC的面积求出点C的坐标，再用待定系数法求出二次函数的解析式。（3）先设出P点坐标，根据三角形外心的定义可求出P点坐标，再把其代如（2）中二次函数的解析式，看是否适合即可。7.（2022年浙江衢州12分）“常山胡柚”被誉为“中华珍果”，是我市的特产，小明家有成龄胡柚树150棵，去年采摘胡柚时，小明利用所学的知识，对胡柚的等级及产量进行测算：他随机选择了一棵胡柚树，共摘得120只胡柚，并对这些胡柚的直径进行测量和统计，绘出了频率分布直方图（如图），已知一级鲜胡柚的直径要求在7.5cm与9.5cm之间，其平均质量约为0.4kg/只。（1）小明从这棵胡柚树上共摘得一级胡柚只；小明家去年一级鲜胡柚的产量约为kg。（2）由于受贮存条件及季节气候等因素的影响，胡柚的质量及售价会随时间的变化而变化，小明根据今年1—5月份，每1kg一级鲜胡柚质量的缩水变化情况和每1kg一级胡柚的售价变化情况分别绘出了函数图象（如图所示）现在请你运用函数的图象和性质进行分析，一级胡柚应在哪个月出售收益最大？小明家的一级胡柚最多能卖多少钱？【答案】解：（1）66；3960。（2）∵1～5月1千克胡柚的缩水率×价格为：1月：1.2×0.9=0.98，2月：1.3×0.85=1.105，3月：1.4×0.8=1.12，4月：0.75×1.5=1.125，5月：1.6×0.7=1.12，∴月份收益最大，为41.125×3960=4455（元）。【考点】条形统计图，折线统计图，频数频率和总量的关系，用样本俦总体。【分析】（1）∵直径在7.5～9.5之间的频率之和为：0.55，∴一级胡柚共有0.55×120=66（只）。∴小明家去年一级鲜胡柚的产量约为150×0.55×120×0.4=3960（kg）。（2）58\n分别计算1～5月1千克胡柚的缩水率×价格，比较取最大的，4月份最大，为0.1125元．再乘以总产量，可得出总收益。8.（2022年浙江衢州14分）如图，在平面直角坐标系中，已知ΔABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（－2，0）,C(m，0),其中m>0.以OB，OC为直径的圆分别交AB于点E，交AC于点F，连结EF。（！）求证：ΔAFE∽ΔABC。（2）是否存在m的值，使得ΔAEF是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。（3）观察当点C在x轴上移动时，点F移动变化的情况。试求点C1（，0）移动到点C2（3，0）点F移动的行程。【答案】解：（1）根据题意，由切割线定理，得：，即。又∵∠EAF=∠CAB（公共角），∴ΔAFE∽ΔABC。58\n（3）连接OF，则∠CFO=900。∴∠AFO始终为直角，且OA为定值OA=3。∴点F移动的行程在以AO的中点D为圆心，AO的一半为半径的圆上（如图）。连接DF1，DF2，则点F移动的行程为。∵OC1=，∴。∴∠OAC1=300。∵OC1=3，∴。∴∠OAC2=600。∴∠C1AC2=300。58\n∴∠F1DF2=600。∴点F移动的行程为：。9.（2022年浙江衢州12分）已知，△ABC中，∠B=90°，∠BAD=∠ACB，AB=2，BD=1，过点D作DM⊥AD交AC于点M，DM的延长线与过点C的垂线交于点P．（1）求sin∠ACB的值；（2）求MC的长；（3）若点Q以每秒1个单位的速度由点C向点P运动，是否存在某一时刻t，使四边形ADQP的面积等于四边形ABCQ的面积；若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）在Rt△ABD中，∵AB=2，BD=1，∴根据勾股定理得：。∵∠BAD=∠ACB，∴。（2）∵DM⊥AD，∴∠MDC=900－∠MDC=∠BAD=∠MCD。∴MD=MC。∵∠BAD=∠ACB，∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA。∴，即。∴。设MC=x，则DM=x，AM=AC－MC=，在Rt△ADM中，由勾股定理得：，即，58\n解得：。∴MC=。（3）存在。在Rt△ABC中，由勾股定理得：，∴DC=3。∵∠BAD=∠CDP，，∠ABD=∠DCP，∴△ABD∽△DCP。∴，即。∴。连接AP、AQ、DQ，设CQ=t时，四边形ADQP的面积等于四边形ABCQ的面积，则PQ=。∵，，∴由解得。∴当点Q从点c向点P运动s时，存在四边形ADQP的面积等于四边形ABCQ的面积。10.（2022年浙江衢州14分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为（1，0），以CD为直径，在矩形ABCD内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N．（1）求过A、C两点直线的解析式；（2）当点N在半圆M内时，求a的取值范围；（3）过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F，B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．58\n【答案】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为（1，0），∴B（4，0），C（4，2）。设过A，C两点的直线解析式为，把A，C两点代入得：，解得。∴过点A，C直线的解析式为。（2）由抛物线过A，B两点，可设抛物线的解析式为，整理得，。∴顶点N的坐标为。由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M且与CD垂直的直线上，又点N在半圆内，∵由A（1，0），B（4，0），C（4，2）得AD=2，半圆离AB的最短距离为，∴，解这个不等式，得。58\n②由△ABF∽△NMC得，，∴。当点N在CD的下方时，由，得N3。当点N在CD的上方时，由，得N4。综上所述，当以点A、F，B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，点N的坐标为或或或。58\n11.（2022年浙江衢州12分）某校课间操出操时楼梯口常出现拥挤现象，为详细了解情况，九（1）班数学课题学习小组在楼梯口对前10分钟出入人数进行了观察记录，并根据得到的数据绘制成下面两幅图：（1）在2至5分钟时，每分钟出楼梯口的人数p（人）与时间t（分）的关系可以看作一次函数，请你求出它的表达式。（2）若把每分钟到达楼梯口的人数y（人）与时间t（分）（2≤t≤8）的关系近似的看作二次函数，问第几分钟时到达楼梯口的人数最多？最多人数是多少？（3）调查发现，当楼梯口每分钟增加的滞留人数达到24人时，就会出现安全隐患。请你根据以上有关部门信息分析是否存在安全隐患。若存在，求出存在隐患的时间段。若不存在，请说明理由。（每分钟增加的滞留人数=每分钟到达楼梯口的人数—每分钟出楼梯楼的人数）（4）根据你分析的结果，对学校提一个合理化建议（字数在40个以内）。58\n【考点】一、二次函数的应用，二次函数的最值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，不等式的性质和解不等式组，分类思想的应用。【分析】（1）用求待定系数法出p与t之间的函数关系式。（2）根据二次函数的最值原理求解。（3）分t＜2，2≤t≤5，5＜t≤8，t＞8结合不等式的性质讨论。12.（2022年浙江衢州14分）在等腰梯形ABCD中，已知AB=6，BC=，∠A=45º，以AB所在直线为x轴，A为坐标原点建立直角坐标系，将等腰梯形ABCD饶A点按顺时针方向旋转90º得到等腰梯形OEFG（O﹑E﹑F﹑G分别是A﹑B﹑C﹑D旋转后的对应点）（图1）（1）写出C﹑F两点的坐标。58\n（2）等腰梯形ABCD沿x轴的负半轴平行移动，设移动后的OA=x（图2），等腰梯形ABCD与等腰梯形OEFG重叠部分的面积为y，当点D移动到等腰梯形OEFG的内部时，求y与x之间的关系式。（3）线段DC上是否存在点P，使EFP为等腰三角形。若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）C点的坐标为（4，2），F点的坐标为（－2，4）。（2）当点D移动到等腰梯形OEFG的内部时，2＜x＜4，如图，∵重合部分是四边形ONDH，它的面积等于梯形DNOA的面积减去△OHA的面积，梯形DNOA上底为x－2，下底为x，高为2，△OHA的底边为x，高为，∴。∴当点D移动到等腰梯形OEFG的内部时，y与x之间的关系式为（2＜x＜4）。（3）存在。易得F（－2，4），E（0，6），EF=BC=，设P（p，2）（2≤p≤4），根据勾股定理，得，若EP=FP，则，解得：p=2。若EP=EF，则，即，方程无解。若FP=EF，则，解得：p=0或p=-4。都不符合2≤p≤4，舍去。58\n综上所述，线段DC上存在点P，使EFP为等腰三角形，点P坐标为（2，2）。13.（2022年浙江衢州12分）如图，顶点为D的抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，连结BC，已知tan∠ABC=1。（1）求点B的坐标及抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P,使△CDP的周长最小，并求出点P的坐标；（3）若点E（x，y）是抛物线上不同于A,B,C的任意一点，设以A,B,C,E为顶点的四边形的面积为S,求S与x之间的函数关系式。【答案】解：（1）在中，令x=0，得y=－3。∴C（0，－3），OB=3。∵tan∠ABC=1，∴OC：OB=1，∴OB=OC=3。∴B（3，0）。把B（3，0）代入，得，解得：b=－2。∴抛物线的解析式为。58\n（2）作点C关于x轴的对称点C1，连接C1D与x轴交于点P，则点P即为所求。∵，∴D（1，－4）。∵C（0，－3），∴C1（0，3）。设C1D的解析式为，则，解得。∴C1D的解析式为。令y=0，解得。∴P（，0）。∴在x轴上的点P（，0），使△CDP的周长最小。（3）在中，令y=0，得x=－1或x=3。∴A（－1，0），AB=4。当时，点E在第一象限，如图1，此时。当时，点E在第四象限，如图2，此时。当时，点E在第三象限，如图3，此时。当时，点E在第二象限，如图4，此时58\n。综上所述，S与x之间的函数关系式为：。14.（2022年浙江衢州14分）如图，点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…，Bn（n，yn）（n是正整数）依次为一次函数的图像上的点，点A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…，An（xn，0）（n是正整数）依次是x轴正半轴上的点，已知x1=a（0＜a＜1），△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…，△AnBnAn+1分别是以B1，B2，B3，…，Bn为顶点的等腰三角形．（1）写出B2，Bn两点的坐标；（2）求x2，x3（用含a的代数式表示）；分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系，写出你认为成立的两个结论；（3）当a（0＜a＜1）变化时，在上述所有的等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出相应的a58\n的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）B2（2，），Bn（n，）。（2）。结论1：顶点为B1，B3，B5，等奇数位置上的等腰三角形底边长都等于2－2a；结论2：顶点为B2，B4，B6，等偶数位置上的等腰三角形底边长都等于2a；结论3：每相邻的两个等腰三角形底边之和都等于常数2。（3）设第n个等腰三角形恰好为直角三角形，那么这个三角形的底边等于高yn的2倍，由第【考点】探索规律题（图形的变化类），一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定，分类思想的应用。【分析】（1）因为点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…，Bn（n，yn）（n是正整数）依次为一次函数的图象上的点，所以分别令x=2，x=n，求出相应的y值即可。（2）因为△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…△AnBnAn+1分别是以B1，B2，B3，…，Bn为顶点的等腰三角形，利用等腰三角形底边上的高垂直平分底边，可知，其中x1=a，所以58\n。15.（2022年浙江衢州12分）1月底，某公司还有11000千克椪柑库存，这些椪柑的销售期最多还有60天，60天后库存的椪柑不能再销售，需要当垃圾处理，处理费为0.05元/吨。经测算，椪柑的销售价格定为2元/千克时，平均每天可售出100千克，销售价格降低，销售量可增加，每降低0.1元/千克，每天可多售出50千克。（1）如果按2元/千克的价格销售，能否在60天内售完这些椪柑？按此价格销售，获得的总毛利润是多少元()?（2）设椪柑销售价格定为x元/千克时，平均每天能售出y千克，求y关于x的函数解析式；如果要在2月份售完这些椪柑(2月份按28天计算)，那么销售价格最高可定为多少元/千克(精确到0.1元/千克)？【答案】解：（1）∵100×60=6000（千克），∴不能在60天内售完这些椪柑。∵11000-6000=5000（千克），即60天后还有库存5000千克，∴总毛利润为W=6000×2－5000×0.05=11750元。（2）根据题意，得（0＜x≤2），要在2月份售完这些椪柑，售价x必须满足不等式：，解得。∴要在2月份售完这些椪柑，销售价最高可定为1.4元/千克。58\n16.（2022年浙江衢州14分）已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；（1）求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；（2）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；（3）S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）∵A，B两点的坐标分别是A（10，0）和B（8，），∴，∴∠OAB=600。当点A´在线段AB上时，∵∠OAB=600，TA=TA′，∴△A´TA是等边三角形，且。∴，。∴。当A´与B重合时，AT=AB=，∴。∴当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式为。（2）当点A′在线段AB的延长线，且点P在线段AB（不与B重合）上时，58\n纸片重叠部分的图形是四边形（如图①，其中E是TA′与CB的交点）。当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是（2，0）。又由（1）中求得当A´与B重合时，T的坐标是（6，0），∴当纸片重叠部分的图形是四边形时，2＜t＜6。（3）S存在最大值。①当6≤t＜10时，，在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，∴当t=6时，S的值最大是。②当2≤t＜6时，由图①，重叠部分的面积。∵△A′EB的高是A′B•sin600，∴。∴当t=2时，S的值最大是。③当0＜t＜2，即当点A′和点P都在线段AB的延长线时（如图②，其中E是TA´与CB的交点，F是TP与CB的交点），∵∠EFT=∠FTP=∠ETF，四边形ETAB是等腰梯形，∴EF=ET=AB=4。58\n∴。综上所述，S的最大值是，此时t的值是0＜t≤2。17.（2022年浙江衢州10分）如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是　　　　　　，∠B2的度数是　　　　　　；（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数(只需直接写出答案)．【答案】解：（1）22.0，67.50。……4分（2）∵圆周被6等分，∴。∵直径AD⊥B1C1，∴。∴所对圆周角为300。∴∠B1=150。58\n∴。∴所对圆周角为900。∴∠B2=450。∴。∴所对圆周角为1500。∴∠B3=750。（3）。18.（2022年浙江衢州12分）如图，已知点A(－4，8)和点B(2，n)在抛物线上．（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；（2）平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(－4，0)是x轴上的两个定点．①　当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；②　当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．58\n【答案】解：(1)将点A(－4，8)的坐标代入，解得。∴抛物线的解析式为。将点B(2，n)的坐标代入，求得点B的坐标为(2，2)。则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，－2)。设直线AP的解析式，则，解得。∴直线AP的解析式是。令y=0，得．即所求点Q的坐标是(，0)。（2）①设将抛物线向左平移m个单位，则平移后A′，B′的坐标分别为A′(－4－m，8)和B′(2－m，2)，点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(－4-m，－8)。同（1）可得直线A′′B′的解析式为。∵要使A′C+CB′最短，点C应在直线A′′B′上，∴将点C(－2，0)代入直线A′′B′的解析式，解得。∴抛物线向左平移个单位时，A′C+CB′最短，此时58\n抛物线的函数解析式为。②左右平移抛物线，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短。第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短。第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′(－4－b，8)和B′(2－b，2)。∵CD=2，∴将点B′向左平移2个单位得B′′(－b，2)。要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短。点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(－4－b，－8)，直线A′′B′′的解析式为。要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D(－4，0)代入直线A′′B′′的解析式，解得。∴将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为。58\n19.（2022年浙江衢州、丽水10分）小刚上午7：30从家里出发步行上学，途经少年宫时走了步，用时10分钟，到达学校的时间是7：55．为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完100米用了150步．（1）小刚上学步行的平均速度是多少米/分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米？（2）下午4：00，小刚从学校出发，以45米/分的速度行走，按上学时的原路回家，在未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后，赶紧以110米/分的速度回家，中途没有再停留．问：①　小刚到家的时间是下午几时？②　小刚回家过程中，离家的路程s(米)与时间t(分)之间的函数关系如图，请写出点B的坐标，并求出线段CD所在直线的函数解析式．【答案】解：（1）小刚每分钟走1200÷10=120（步），每步走100÷150=（米），∴小刚上学的步行速度是120×=80（米/分），小刚家和少年宫之间的路程是80×10=800（米），58\n少年宫和学校之间的路程是80×（25－10）=1200（米）。（2）①∵（分钟），∴小刚到家的时间是下午5：00。②小刚从学校出发，以45米/分的速度行走到离少年宫300米处时实际走了900米，用时分，此时小刚离家1100米，所以点B的坐标是（20，1100），点C的坐标是（50，1100），点D的坐标是（60，0）。设线段CD所在直线的函数解析式是，将点C，D的坐标代入，得，解得。∴线段CD所在直线的函数解析式是。20.（2022年浙江衢州、丽水12分）△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．（1）当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；（2）如果抛物线（a≠0）的对称轴经过点C，请你探究：①当时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；②设b=－2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．58\n【答案】解：（1）∵点O是AB的中点，AB=，∴。设点B的横坐标是x(x>0)，则根据勾股定理得，解得(舍去)。∴点B的横坐标是。（2）①　当时，抛物线为：，即。∴抛物线的对称轴为。以下分两种情况讨论：情况1：设点C在第一象限(如图1)，则点C的横坐标为，∵，∴点C的横坐标为。∴点C的坐标为。如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，则58\n由△ADO∽△CEO得：，即。∴。∴点A的坐标为。∵A，B两点关于原点对称，∴点B的坐标为。将点A的横坐标代入右边，计算得，即等于点A的纵坐标；将点B的横坐标代入右边，计算得，即等于点B的纵坐标。∴在这种情况下，A，B两点都在抛物线上。情况2：设点C在第四象限(如图2)，则点C的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为，经计算，A，B两点都不在这条抛物线上。②存在。m的值是1或－1。【考点】二次函数综合题，旋转问题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，二次函数的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，分类思想的应用。【分析】（1）根据勾股定理即可求得点B的横坐标。（2）①分点C在第一象限和点C在第四象限两种情况讨论即可。②∵b=－2am，∴抛物线为：。∵OC=1，∴－1≤点C的横坐标≤1。又∵这条抛物线的对称轴经过点C，∴－1≤m≤1。当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上，∴当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上。58\n21.（2022年浙江衢州10分）△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2，（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由．（2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为s1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s2（如图2），则s2=；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为s3，继续操作下去…，则第10次剪取时，s10=；（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．【考点】探索规律题（图形的变化类），正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质。【分析】（1）分别求出甲、乙两种剪法所得的正方形面积，进行比较即可。（2）按图1中甲种剪法，可知后一个三角形的面积是前一个三角形的面积的，依此可知结果。（3）探索规律可知：Sn=，依此规律可得第10次剪取后余下的所有小三角形的面积之和。58\n22.（2022年浙江衢州12分）已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），并且当两直线同时相交于正半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示．（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；（2）抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；（3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标．【答案】解：（1）由题意易知：△BOC∽△COA，∴，即，∴。∴点C的坐标是（0，）。由题意，可设抛物线的函数解析式为，把A（1，0），B（﹣3，0）的坐标分别代入，得，解得。∴抛物线的函数解析式为。（2）截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF。理由如下：可求得直线l1的解析式为，直线l2的解析式为，∵抛物线的函数解析式可化为，58\n∴抛物线的对称轴为直线=－1，顶点D的坐标为（﹣1，）；把=－1代入即可求得点K的坐标为（﹣1，）；把=－1代入即可求得点E的坐标为（﹣1，）；又点F的坐标为（﹣1，0），∴KD=，DE=，EF=。∴KD=DE=EF。（3）当点M的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）时，△MCK为等腰三角形．理由如下：（i）连接BK，交抛物线于点G，连接CG，易知点G的坐标为（﹣2，），又∵点C的坐标为（0，），∴GC∥AB。∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形，∴△CGK为正三角形。∴当l2与抛物线交于点G，即l2∥AB时，符合题意，此时点M1的坐标为（﹣2，）。（ii）连接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC为等腰三角形。∴当l2过抛物线顶点D时，符合题意，此时点M2坐标为（﹣1，）。（iii）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，但点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形。综上所述，当点M的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）时，△MCK为等腰三角形。【考点】二次函数综合题，相似三角形的判定和性质，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，等腰三角形的判定。【分析】（1）利用△BOC∽△COA，得出C点坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可；58\n（2）可求得直线l1的解析式为，直线l2的解析式为，从而得出D，E，F点的坐标即可得出三条线段数量关系。（3）利用等边三角形的判定方法得出△ABK为正三角形，以及易知△KDC为等腰三角形，从而得出△MCK为等腰三角形时M点坐标。23.（2022年浙江衢州10分）课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由．（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第2022次对开后所得标准纸的周长．【答案】解：（1）证明：∵矩形ABCD是标准纸，∴。由对开的含义知：AF=BC，∴。58\n∴矩形纸片ABEF也是标准纸。（2）是标准纸，理由如下：设AB=CD=a，由图形折叠可知：DN=CD=DG=a，DG⊥EM。∵由图形折叠可知：△ABE≌△AFE，∴∠DAE=∠BAD=45°。∴△ADG是等腰直角三角形。∴在Rt△ADG中，AD=，∴，∴矩形纸片ABCD是一张标准纸。（3）对开次数：第一次，周长为：，第二次，周长为：，第三次，周长为：，第四次，周长为：，第五次，周长为：，第六次，周长为：，…∴第5次对开后所得标准纸的周长是：，第2022次对开后所得标准纸的周长为：。58\n24.（2022年浙江衢州12分）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O，∴c=0。又∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、C，58\n∴，解得。∴抛物线解析式为。（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=。∴P（t，）。∵点M在抛物线上，∴M（t，）。如图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，AG=yA﹣yM=2﹣，BH=PN=。当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，∴，化简得3t2﹣8t+4=0。解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，∴点P的坐标为（）。∴存在点P（），使得四边形ABPM为等腰梯形。58\n（3）如图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R。由A、C的坐标可求得过A、C的直线为yAC=﹣x+3，设点A′的横坐标为a，则点A′（a，﹣a+3），易知△OQT∽△OCD，可得QT=。∴点Q的坐标为（a，）。设AB与OC相交于点J，∵△A′RQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴。∴。∴KT=A′T=（3﹣a），A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣=3﹣a。∴S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=KT•A′T﹣A′Q•HT。∵＜0，∴在线段AC上存在点A′（），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为。58\n58