东营专版2022年中考数学复习第三章函数第七节二次函数的综合应用要题随堂演练

第七节二次函数的综合应用要题随堂演练1．(2022·莱芜中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，3)三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E.(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图1，求线段DE长度的最大值；(3)如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．图1　图22．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB＝90°，OA＝，抛物线y＝ax2－ax－a经过点B(2，)，与y轴交于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；7\n(3)延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．3．(2022·自贡中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3过A(1，0)，B(－3，0)，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为－2，点P(m，n)是线段AD上的动点．(1)求直线AD及抛物线的解析式；(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．7\n参考答案1．解：(1)由已知得解得∴y＝－x2＋x＋3.(2)设直线BC的解析式为y＝kx＋b，∴解得∴y＝－x＋3.设D(a，－a2＋a＋3)，(0<a<4)．如图，过点D作DM⊥x轴，交BC于点M，7\n∴M(a，－a＋3)，∴DM＝(－a2＋a＋3)－(－a＋3)＝－a2＋3a.∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠COB，∴△DEM∽△BOC，∴＝.∵OB＝4，OC＝3，∴BC＝5，∴DE＝DM，∴DE＝－a2＋a＝－(a－2)2＋，∴当a＝2时，DE取最大值，最大值是.(3)假设存在这样的点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等．∵F为AB的中点，∴OF＝，tan∠CFO＝＝2.如图，过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于G，过点G作GH⊥x轴，垂足为H.①若∠DCE＝∠CFO，∴tan∠DCE＝＝2，∴BG＝10.∵△GBH∽△BCO，∴＝＝，∴GH＝8，BH＝6，∴G(10，8)．设直线CG的解析式为y＝kx＋b，∴解得∴y＝x＋3，∴解得x＝或x＝0(舍)．7\n②若∠CDE＝∠CFO，同理可得BG＝，GH＝2，BH＝，∴G(，2)．同理可得直线CG的解析式为y＝－x＋3，∴解得x＝或x＝0(舍)．综上所述，存在D使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，其横坐标是或.2．解：(1)把点B的坐标代入抛物线的解析式，得＝a×22－2a－a，解得a＝.∴抛物线的解析式为y＝x2－x－.(2)如图，连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠BCF＋∠CBF＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠BCF＝90°，∴∠ACO＝∠CBF.∵∠AOC＝∠CFB＝90°，∴△AOC∽△CFB，∴＝.设OC＝m，则CF＝2－m，则有＝，解得m＝1，∴OC＝CF＝1.当x＝0时，y＝－，∴OD＝，∴BF＝OD.∵∠DOC＝∠BFC＝90°，∴△OCD≌△FCB，∴DC＝CB，∠OCD＝∠FCB，∴点B，C，D在同一直线上，∴点B与点D关于直线AC对称，∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上．7\n(3)如图，过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的解析式为y＝kx＋b，则解得∴直线AB的解析式为y＝－x＋.代入抛物线的解析式，得－x＋＝x2－x－.解得x＝2或x＝－2.当x＝－2时，y＝－x＋＝，∴点E的坐标为(－2，)．∵tan∠EDG＝＝＝，∴∠EDG＝30°.∵tan∠OAC＝＝＝，∴∠OAC＝30°，∴∠OAC＝∠EDG，∴ED∥AC.3．解：(1)把(1，0)，(－3，0)代入函数解析式得解得∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.当x＝－2时，y＝(－2)2＋2×(－2)－3，解得y＝－3，即D(－2，－3)．设AD的解析式为y＝kx＋b，将A(1，0)，D(－2，－3)代入得解得∴直线AD的解析式为y＝x－1.(2)设P点坐标为(m，m－1)，Q(m，m2＋2m－3)，l＝(m－1)－(m2＋2m－3)，化简得l＝－m2－m＋2，配方得l＝－(m＋)2＋，∴当m＝－时，l最大＝.7\n(3)由(2)可知，0＜PQ≤.当PQ为边时，DR∥PQ且DR＝PQ.∵R是整点，D(－2，－3)，∴PQ是正整数，∴PQ＝1或PQ＝2.当PQ＝1时，DR＝1，此时点R的横坐标为－2，纵坐标为－3＋1＝－2或－3－1＝－4，∴R(－2，－2)或(－2，－4)．当PQ＝2时，DR＝2，此时点R的横坐标为－2，纵坐标为－3＋2＝－1或－3－2＝－5，即R(－2，－1)或(－2，－5)．当PQ为对角线时，PD∥QR，且PD＝QR.设点R的坐标为(n，n＋m2＋m－3)，则QR2＝2(m－n)2.又∵P(m，m－1)，D(－2，－3)，∴PD2＝2(m＋2)2，∴(m＋2)2＝(m－n)2，解得n＝－2(不合题意，舍去)或n＝2m＋2，∴点R的坐标为(2m＋2，m2＋3m－1)．∵R是整点，－2＜m＜1，∴当m＝－1时，点R的坐标为(0，－3)；当m＝0时，点R的坐标为(2，－1)．综上所述，存在满足R的点，它的坐标为(－2，－2)或(－2，－4)或(－2，－1)或(－2，－5)或(0，－3)或(2，－1)．7