北京市西城区2022年中考数学二模试题

北京市西城区2022年中考数学二模试题考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。考试时间120分钟。2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．的倒数是A．B．3C．D．2．下列运算中正确的是A．B．C．D．3．若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数是A．5B．6C．7D．84．若，则的值为A．8B．6C．5D．95．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是ABCD6．对于一组统计数据：3，3，6，3，5，下列说法中错误的是A．中位数是6B．众数是3C．平均数是4D．方差是1.67．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，则四边形DHFC的面积为A．B．C．9D．8．如图，点A，B，C是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A，B，C三点所在的平面将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是15\nABCD二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．函数中，自变量的取值范围是．10．若把代数式化为的形式，其中，为常数，则=．11．如图，在△ABC中，∠ACB=52°，点D，E分别是AB，AC的中点．若点F在线段DE上，且∠AFC=90°，则∠FAE的度数为°．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°．⊙P1是△OAB的内切圆，且P1的坐标为(3,1)．(1)OA的长为，OB的长为；(2)点C在OA的延长线上，CD∥AB交x轴于点D．将⊙P1沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P2，将⊙P2沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P3，按照同样的方法继续操作，依次得到⊙P4，……⊙Pn．若⊙P1，⊙P2，……⊙Pn均在△OCD的内部，且⊙Pn恰好与CD相切，则此时OD的长为．（用含n的式子表示）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：．14．如图，点C是线段AB的中点，点D，E在直线AB的同侧，∠ECA=∠DCB，∠D=∠E．求证：AD=BE．15．已知，求代数式的值．16．已知关于的一元二次方程有实数根．(1)求的取值范围；(2)当为负整数时，求方程的两个根．17．列方程（组）解应用题：15\n水上公园的游船有两种类型，一种有4个座位，另一种有6个座位．这两种游船的收费标准是：一条4座游船每小时的租金为60元，一条6座游船每小时的租金为100元．某公司组织38名员工到水上公园租船游览，若每条船正好坐满，并且1小时共花费租金600元，求该公司分别租用4座游船和6座游船的数量．18．为了解“校本课程”开展情况，某校科研室随机选取了若干学生进行问卷调查(要求每位学生只能填写一种自己喜欢的课程)，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图：调查结果的条形统计图调查结果的扇形统计图请根据以上信息回答下列问题：(1)参加问卷调查的学生共有人；(2)在扇形统计图中，表示“C”的扇形的圆心角为度；(3)统计发现，填写“喜欢手工制作”的学生中，男生人数∶女生人数=1∶6．如果从所有参加问卷调查的学生中随机选取一名学生，那么这名学生是填写“喜欢手工制作”的女生的概率为．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与轴交于点A(,0)，与轴交于点B，且与正比例函数的图象的交点为C(,4)．(1)求一次函数的解析式；(2)若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，直接写出点D的坐标．20．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan∠BDC=．(1)求BD的长；(2)求AD的长．15\n21．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E．(1)求证：DE⊥AC；(2)连结OC交DE于点F，若，求的值．22．在平面直角坐标系xOy中，点经过变换得到点，该变换记作，其中为常数．例如，当，且时，．(1)当，且时，=；(2)若，则=，=；(3)设点是直线上的任意一点，点经过变换得到点．若点与点重合，求和的值．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．在平面直角坐标系xOy中，A，B两点在函数的图象上，其中．AC⊥轴于点C，BD⊥轴于点D，且AC=1．(1)若=2，则AO的长为，△BOD的面积为；(2)如图1，若点B的横坐标为，且，当AO=AB时，求的值；(3)如图2，OC=4，BE⊥轴于点E，函数的图象分别与线段BE，BD交于点M，N，其中．将△OMN的面积记为，△BMN的面积记为，若，求与的函数关系式以及的最大值．图2图115\n24．在△ABC中，AB=AC，AD，CE分别平分∠BAC和∠ACB，且AD与CE交于点M．点N在射线AD上，且NA=NC．过点N作NF⊥CE于点G，且与AC交于点F，再过点F作FH∥CE，且与AB交于点H．(1)如图1，当∠BAC=60°时，点M，N，G重合．①请根据题目要求在图1中补全图形；②连结EF，HM，则EF与HM的数量关系是__________；(2)如图2，当∠BAC=120°时，求证：AF=EH；图1图2备用图(3)当∠BAC=36°时，我们称△ABC为“黄金三角形”，此时．若EH=4，直接写出GM的长．15\n25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线和抛物线W交于A，B两点，其中点A是抛物线W的顶点．当点A在直线上运动时，抛物线W随点A作平移运动．在抛物线平移的过程中，线段AB的长度保持不变．图1应用上面的结论，解决下列问题：如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知直线．点A是直线上的一个动点，且点A的横坐标为．以A为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点B．(1)当时，求抛物线的解析式和AB的长；(2)当点B到直线OA的距离达到最大时，直接写出此时点A的坐标；(3)过点A作垂直于轴的直线交直线于点C．以C为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点D．①当AC⊥BD时，求的值；②若以A，B，C，D为顶点构成的图形是凸四边形，直接写出满足条件的的取值范围．图2备用图15\n参考答案及评分标准一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号12345678答案CCBABABD二、填空题（本题共16分，每小题4分）910111252n+3阅卷说明：第12题第一、第二个空各1分，第三个空2分.三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式=………………………………………………4分=．………………………………………………5分14．证明：∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC.…………………………1分∵∠ECA=∠DCB，∴∠ECA+∠ECD=∠DCB+∠ECD，即∠ACD=∠BCE.…………………2分在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE.………………………………………………4分∴AD=BE.………………………………………………5分15．解：……………………………………………2分.……………………………………………………3分∵，即，……………………………………………4分∴原式.………………………………5分16．解：(1)∵关于的一元二次方程有实数根，∴.….….…..…..…………..……………………1分15\n∴.…..….….…..…………..……………………2分(2)∵为负整数，∴..….……..…..…………..……………………3分__此时方程为..…….…..…………………4分解得x1=3，x2=4..…….…..…………………5分17．解：设租用4座游船条，租用6座游船条..….…..…..……………………1分依题意得….………..……………………3分解得..…………..……………………4分答：该公司租用4座游船5条，6座游船3条..….….…..…..…………………5分18．解：(1)80；……………………………………………………………………1分(2)54；……………………………………………………………………3分(3)．……………………………………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：(1)∵点C(,4)在直线上，∴，解得.………………1分∵点A(,0)与C(3,4)在直线上，∴………………2分解得∴一次函数的解析式为.………………………………………3分(2)点D的坐标为(,)或(,).………………………………………5分阅卷说明：两个点的坐标各1分.15\n20．解：(1)在Rt△BCD中，∠BCD=90°，BC=2，tan∠BDC=，∴.∴CD=.……………………………………1分∴由勾股定理得BD==.………2分(2)如图，过点D作DE⊥AB交BA延长线于点E.∵∠BAD=135°，∴∠EAD=∠ADE=45°.∴AE=ED.…………………………………………………………………3分设AE=ED=x，则AD=x.∵DE2+BE2=BD2，_∴x2+(x+2)2=()2.…………………………………………………4分解得x1=3(舍)，x2=1.∴AD=x=.…………………………………………………………5分21．(1)证明：连接OD.∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，即∠ODE=90°.……………………………………………1分∵AB是⊙O的直径，∴O是AB的中点.又∵D是BC的中点，.∴OD∥AC.∴∠DEC=∠ODE=90°.∴DE⊥AC.………………………………………………………………2分(2)连接AD.∵OD∥AC，∴.……………………………………………………………………3分∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADC=90°.又∵D为BC的中点，∴AB=AC.∵sin∠ABC==，故设AD=3x,则AB=AC=4x,OD=2x.…………………………………………4分∵DE⊥AC，∴∠ADC=∠AED=90°.∵∠DAC=∠EAD，15\n∴△ADC∽△AED.∴.∴.∴.∴.∴.…………………………………………………………………5分22．解：(1)=；………………………………………1分(2)=，=；………………………………………3分(3)∵点经过变换得到的对应点与点重合，∴.∵点在直线上，∴.∴………………………………………4分即∵为任意的实数，∴解得∴，.………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：(1)AO的长为，△BOD的面积为1；…………………………2分(2)∵A，B两点在函数的图象上，∴点A，B的坐标分别为，.…………………3分∵AO=AB，由勾股定理得，，15\n∴.解得或.……………………………………………4分∵，∴.…………………5分(3)∵OC=4，∴点A的坐标为.∴.设点B的坐标为，∵BE⊥轴于点E，BD⊥轴于点D，∴四边形ODBE为矩形，且，点M的纵坐标为，点N的横坐标为.∵点M，N在函数的图象上，∴点M的坐标为，点N的坐标为.∴.∴.∴.∴，…………………………6分其中.∵，而，∴当时，的最大值为1.……………………………………7分图124．解：(1)补全图形见图1，………1分EF与HM的数量关系是EF=HM；………2分(2)连接MF（如图2）.15\n∵AD，CE分别平分∠BAC和∠ACB，且∠BAC=120°，∴∠1=∠2=60°，∠3=∠4.∵AB=AC，图2∴AD⊥BC.∵NG⊥EC，∴∠MDC=∠NGM=90°.∴∠4+∠6=90°，∠5+∠6=90°.∴∠4=∠5.∴∠3=∠5.∵NA=NC，∠2=60°，∴△ANC是等边三角形.∴AN=AC.在△AFN和△AMC中，∴△AFN≌△AMC.……………………………………………3分∴AF=AM.∴△AMF是等边三角形.∴AF=FM，∠7=60°.∴∠7=∠1.∴FM∥AE.∵FH∥CE，∴四边形FHEM是平行四边形.………………………………………4分∴EH=FM.∴AF=EH.……………………………………………5分(3)GM的长为.……………………………………………7分25．解：(1)∵点A在直线上，且点A的横坐标为0，∴点A的坐标为.∴抛物线的解析式为.……………………………1分∵点B在直线上，∴设点B的坐标为.∵点B在抛物线:上，∴.15\n解得或.∵点A与点B不重合，∴点B的坐标为.……………………………2分∴由勾股定理得AB=.……………………3分(2)点A的坐标为.……………………………4分(3)①方法一：设AC，BD交于点E，直线分别与轴、轴交于点P和Q（如图1）.则点P和点Q的坐标分别为，.图1∴OP=OQ=2.∴∠OPQ=45°.∵AC⊥轴，∴AC∥轴.∴∠EAB=∠OPQ=45°.∵∠DEA=∠AEB=90°，AB=，∴EA=EB=1.∵点A在直线上，且点A的横坐标为，∴点A的坐标为.∴点B的坐标为.∵AC∥轴，∴点C的纵坐标为.∵点C在直线上，∴点C的坐标为.∴抛物线的解析式为.∵BD⊥AC，∴点D的横坐标为.∵点D在直线上，∴点D的坐标为.……………………………………………5分∵点D在抛物线：上，∴.解得或.∵当时，点C与点D重合，∴.……………………………………………6分图2方法二：设直线与轴交于点P，过点A作轴的平行线，过点B作轴的平行线，交于点N.（如图2）15\n则∠ANB=90°，∠ABN=∠OPB.在△ABN中，BN=ABcos∠ABN，AN=ABsin∠ABN.∵在抛物线随顶点A平移的过程中，AB的长度不变，∠ABN的大小不变，∴BN和AN的长度也不变，即点A与点B的横坐标的差以及纵坐标的差都保持不变.同理，点C与点D的横坐标的差以及纵坐标的差也保持不变.由(1)知当点A的坐标为时，点B的坐标为，∴当点A的坐标为时，点B的坐标为.∵AC∥轴，∴点C的纵坐标为.∵点C在直线上，∴点C的坐标为.令，则点C的坐标为.∴抛物线的解析式为.∵点D在直线上，∴设点D的坐标为.∵点D在抛物线：上，∴.解得或.∵点C与点D不重合，∴点D的坐标为.∴当点C的坐标为时，点D的坐标为.∴当点C的坐标为时，点D的坐标为.……5分∵BD⊥AC，∴.∴.……………………………………………6分②的取值范围是或.…………………………………8分说明：设直线与交于点M.随着点A从左向右运动，从点D与点M15\n重合，到点B与点M重合的过程中，以A，B，C，D为顶点构成的图形不是凸四边形.15