四川省成都市状元廊学校2022届中考数学思维方法讲义 第7讲 确定二次函数的解析式

第7讲确定二次函数的解析式【今日目标】1、会利用各种条件（点、线段、面积、比例、方程等）选择二次函数的不同表达形式来确定二次函数的解析式，并解决与之相关的问题。以中考压轴题第（1）问为主攻方向。①一般式_____________________；（适用于图像上的三个点或三对值）②顶点式_____________________；其中___是抛物线的顶点坐标．（适用于已知图像的顶点、对称轴和最值）③交点式_____________________。其中___是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标。（适用于已知图像与x轴交点）2、能用二次函数模型解决实际问题，如：点与交点、“和最小”、“差最大”、面积等问题。【精彩知识】专题一用待定系数法求二次函数的解析式考点1：选择二次函数的不同表达形式求二次函数的解析式【例1】已知二次函数的图象经过点（0，3），（－3，0），（2，－5），且与x轴交于A、B两点．（1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点P（－2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△ABC的面积；如果不在，请说明理由。●变式练习：已知抛物线y=ax2+bx+c经过直线与x轴、y轴的交点，且经过点（1,1），求此二次函数的解析式。★方法归纳：已知抛物线上三点求解析式，一般设为形式。【例2】已知二次函数，对称轴是直线，且有最大值2，其图象在轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。●变式练习：抛物线y=ax2+bx+c与y=－x2的形状相同,对称轴是直线x=3,最高点在直线y=x+1上,求抛物线解析式。★方法归纳：已知抛物线的已知图像的顶点、对称轴和最值与另一点求其解析式，一般设为形式。【例3】已知二次函数的图象x轴两交点间的距离为6，对称轴为，且经过点（３，－4），求这个二次函数的解析式。●变式练习：已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过P(2,0)和Q(6,0)两点，并且顶点在直线上，求此二次函数的解析式。★方法归纳：已知抛物线与x轴的两个交点坐标求解析式，一般设为形式。考点2：由二次函数的图象平移、绕顶点旋转1800或沿x轴翻折变换求解析式【例4】把抛物线y=ax2+bx+c向下平移1个单位，再向左平移5个单位后，其顶点坐标为（－2，0），且a+b+c=0，求a、b、c的值。-4-\n【例5】把二次函数的图象沿x轴翻折，求所得抛物线的解析式。●变式练习：1、把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，试确定b、c的值。2、把函数的图象绕其图象与y轴的交点旋转1800，求所得抛物线的解析式。★方法归纳：由二次函数的图象平移、绕顶点旋转或沿x轴翻折变换求解析式，就是要抓住的坐标变化。考点3：利用一元二次方程根与系数的关系求二次函数的解析式【例6】已知二次函数的图像与y轴的交点C在原点下方，与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，点A、B到原点O的距离分别为OA、OB。⑴求证：；⑵确定实数的取值范围；⑶若，求此二次函数的解析式。●变式练习：已知抛物线的函数解析式为（b<0），且抛物线经过点，方程的两根为，，且。求抛物线解析式.专题二用二次函数模型解决求交点、“和最小”、“差最大”、面积等问题。-4-\n【例7】如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A和点B，AO:BO=1：5，CO=BO,△ABC的面积为15。（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ACP的周长最小．请求出点P的坐标．●变式练习：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4，)．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．【例8】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．【课后测控】1、抛物线y=－3x2+bx+c是由抛物线y=-3x2-6x+1向上平移3个单位，再向左平移2个得到的，则b=,c=。2、已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过一次函数y=－x+3的图像与x轴、y轴的交点，且经过点(1,1)，求这个二次函数的解析式，并把二次函数解析式化成y=a(x-h)2+k的形式。-4-\n4、已知二次函数的图像经过P(2,0)和Q(6,0)两点，顶点在直线y=x上，求这个二次函数的解析式。5、已知抛物线的顶点为C(1,5),与x轴相交于A、B,且ΔABC的面积为15.求抛物线的解析式。6、抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m－4,0）和B(m,0)，与直线y=－x+p相交于点A和点C(2m－4,m－6).求抛物线的解析式。7、二次函数的顶点坐标为C（4，－），且在x轴上截得的线段AB的长为6．（1）求二次函数的解析式；（2）设抛物线与y轴的交点为D，求四边形DACB的面积；（3）在x轴上方的抛物线是否存在点P，使得∠PAC被x轴平分，如果存在，请求出P点坐标，如果不存在请说明理由。8、如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P的坐标．-4-