四川省成都市状元廊学校2022届中考数学思维方法讲义 第8讲 二次函数图象的应用
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第8讲二次函数图象的应用(一)【今日目标】1、二次函数图象与系数的关系(二次函数中a,b,c的作用):⑴决定__________。①当__时,图象开口向上,当x=_________时,函数有最___值________;当x﹥-时,y随x的增大而________;当x﹤-时,y随x的增大而________。②当_________时,图象开口向下,当x=_________时,函数有最___值________;x﹥-时,y随x的增大而________;当x﹤-时,y随x的增大而________。③当||越大,图象开口越_____。(2)和b共同决定________。①b=0时,对称轴为______;②和b同号时对称轴在y轴___侧;③和b异号时对称轴在y轴___侧。简记为。(3)c的大小决定抛物线与_____的交点的位置。当___时,图象与y轴正半轴相交;当___时,图象与y轴负半轴相交;当___时,图象过原点。(4)当___时,图象与x轴有两个交点;当_时,图象与x轴仅有一个交点;当___时,图象与x轴没有交点。2、以二次函数图象为载体,通过对四大要素的理解,结合动点、特殊三角形、特殊四边形、相似,利用勾股定理、相似为框架、以方程为工具解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等。【思想方法】数形结合法、特殊值法、整体思想、构造思想等。【精彩知识】题型一二次函数的图象与系数的关系【例1】已知:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论中:①abc>0;②2a+b<0;③a+b<m(am+b)(m≠1的实数);④(a+c)2<b2;⑤a>1.其中正确的项是(填番号)●变式练习:如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为,下列结论:①ac<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;④a+b+c<0.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4题型二二次函数的图象和性质的基本应用【例2】已知,二次函数的解析式y1=-x2+2x+3.(1)求这个二次函数的顶点坐标;(2)求这个二次函数图象与x轴的交点坐标;(3)x取什么值时,抛物线在x轴上方?(4)x取什么值时,y的值随x值的增大而减小?(5)若直线y2=ax+b(a≠0)的图象与该二次图象交于A(,m),B(2,n)两点,结合图象直接写出当x取何值时y1>y2?●变式练习:对于二次函数,有下列说法:①它的图象与轴有两个公共点;②如果当≤1时随的增大而减小,则;③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则;④如果当时的函数值与时的函数值相等,则当时的函数值为.其中正确的说法是.(把你认为正确说法的序号都填上)【例3】二次函数的图象如图,若一元二次方程有实数根,则m的最大值为()A.-3B.3C.-5D.9●变式练习:如图,已知抛物线y1=﹣2x2+2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2.若y1≠y2,取y1、y2中的较小值记为M;若y1=y2,记M=y1=y2.例如:当x=1时,y1=0,y2=4,y1<y2,此时M=0.下列判断:①当x>0时,y1>y2;②当x<0时,x值越大,M值越小;③使得M大于2的x值不存在;④使得M=1的x值是或.其中正确的是(填番号)题型三二次函数图象为载体解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等-7-\n【例4】如图,若抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A(m,0)、B(0,n),已知一元二次方程x2-4x+3=0的两根是m,n且m<n.(1)求抛物线的解析式;(2)若(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C.根据图像回答,当x取何值时,抛物线的图像在直线BC的上方?(3)点P在线段OC上,作PE⊥x轴与抛物线交与点E,若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分,求点P的坐标.●变式练习:如图,已知二次函数的图象经过A(,),B(0,7)两点.⑴求该抛物线的解析式及对称轴;⑵当为何值时,?⑶在轴上方作平行于轴的直线,与抛物线交于C,D两点(点C在对称轴的左侧),过点C,D作轴的垂线,垂足分别为F,E.当矩形CDEF为正方形时,求C点的坐标.【例5】如图,在平面直角坐标系中,把抛物线向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线y=ax2+bx+c(a≠0).所得抛物线与轴交于两点(点在点的左边),与轴交于点,顶点为.(1)求抛物线的解析式;(2)判断的形状,并说明理由;ADCBOxy(3)在线段上是否存在点,使∽?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.【例6】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-2,-4),OB=2,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点M是抛物线对称轴上一点,试求AM+OM的最小值;(3)在此抛物线上,是否存在点P,使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形.若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.-7-\n【例7】如图,在平面直角坐标系xOy中,AB⊥x轴于点B,AB=3,tan∠AOB=。将△OAB绕着原点O逆时针旋转90o,得到△OA1B1;再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180o,得到△OA2B1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点B、B1、A2。(1)求抛物线的解析式;(2)在第三象限内,抛物线上的点P在什么位置时,△PBB1的面积最大?求出这时点P的坐标;(3)在第三象限内,抛物线上是否存在点Q,使点Q到线段BB1的距离为?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。●变式练习:如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C(0,4),顶点为(1,).(1)求抛物线的函数表达式;(2)设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点P,使△CDP为等腰三角形,请直接写出满足条件的所有点P的坐标.(3)若点E是线段AB上的一个动点(点E与A、B不重合),分别连接AC、BC,过点E作EF∥AC交线段BC于点F,连接CE,记△CEF的面积为S,S是否存在最大值?若存在,求出S的最大值及此时E点的坐标;若不存在,请说明理由.BxyOCAD-7-\n【课后测控】1、抛物线的开口_____,对称轴为_________,顶点坐标为__________;当x=时,函数有最值,其最值为。2、已知实数x,y满足x2+3x+y-3=0,则x+y的最大值为。3、二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的对称轴是直线x=1,其图像的一部分如图所示,对于下列说法:①abc<0;②a-b+c<0;③3a+c<0;④当-1<x<3时,y>0.其中正确的是__________(把正确说法的序号都填上).4、已知二次函数的图象如图所示,有下列5个结论:①;②;③;④;⑤(的实数),其中正确的结论有()A.2个B.3个C.4个D.5个yxO5、如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C、D两点(C在D的左侧),点C的横坐标最小值为,则点D的横坐标最大值为()A.-3 B.1C.5D.86、抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:x…-2-1012…y…04664…从上表可知,下列说法中正确的是.(填写序号)①③④①抛物线与x轴的一个交点为(3,0);②函数y=ax2+bx+c的最大值为6;③抛物线的对称轴是直线x=; ④在对称轴左侧,y随x增大而增大.7、如图11,已知抛物线与x轴交于两点A、B,其顶点为C.(1)对于任意实数m,点M(m,-2)是否在该抛物线上?请说明理由;(2)求证:△ABC是等腰直角三角形;(3)已知点D在x轴上,那么在抛物线上是否存在点P,使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.8、如图,抛物线y=x-2x+c的顶点A在直线l:y=x-5上.(1)求抛物线顶点A的坐标;(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧),试判断△ABD的形状;(3)在直线l上是否存在一点P,使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形,若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由。-7-\n部分答案:【例1】解答:解:①∵抛物线的开口向上,∴a>0,∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上,∴c<0,∵对称轴为x=>0,∴a、b异号,即b<0,又∵c<0,∴abc>0,故本选项正确;②∵对称轴为x=>0,a>0,∴﹣b>2a,∴2a+b>0;故本选项错误;③当x=1时,y1=a+b+c;当x=m时,y2=m(am+b)+c,当m>1,y2>y1;当m<1,y2<y1,所以不能确定;故本选项错误;④当x=1时,a+b+c=0;当x=﹣1时,a﹣b+c>0;∴(a+b+c)(a﹣b+c)=0,即(a+c)2﹣b2=0;∴(a+c)2=b2故本选项错误;⑤当x=﹣1时,a﹣b+c=2;当x=1时,a+b+c=0,∴a+c=1,∴a=1+(﹣c)>1,即a>1;故本选项正确;综上所述,正确的是①⑤.例3变式【答案】③④。【考点】二次函数的图象和性质。【分析】①∵当x>0时,利用函数图象可以得出y2>y1。∴此判断错误。②∵抛物线y1=﹣2x2+2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2,若y1≠y2,取y1、y2中的较小值记为M。∴当x<0时,根据函数图象可以得出x值越大,M值越大。∴此判断错误。③∵抛物线y1=﹣2x2+2,直线y2=2x+2,与y轴交点坐标为:(0,2),当x=0时,M=2,抛物线y1=﹣2x2+2,最大值为2,故M大于2的x值不存在;∴此判断正确。④∵使得M=1时,若y1=﹣2x2+2=1,解得:x1=,x2=﹣;若y2=2x+2=1,解得:x=﹣。由图象可得出:当x=>0,此时对应y1=M。∵抛物线y1=﹣2x2+2与x轴交点坐标为:(1,0),(﹣1,0),∴当﹣1<x<0,此时对应y2=M,∴M=1时,x=或x=﹣。∴此判断正确。因此正确的有:③④。【例4】(1)∵x2-4x+3=0的两个根为x1=1,x2=3∴A点的坐标为(1,0),B点的坐标为(0,3)又∵抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A(1,0)、B(0,3)两点∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3(1)作直线BC由(1)得,y=-x2-2x+3∵抛物线y=-x2-2x+3与x轴的另一个交点为C令-x2-2x+3=0解得:x1=1,x2=-3∴C点的坐标为(-3,0)由图可知:当-3<x<0时,抛物线的图像在直线BC的上方.(3)设直线BC交PE于F,P点坐标为(a,0),则E点坐标为(a,-a2-2a+3)∵直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分.∴F是线段PE的中点.即F点的坐标是(a,)∵直线BC过点B(0.3)和C(-3,0)易得直线BC的解析式为y=x+3ADCBOxyMFEG∵点F在直线BC上,所以点F的坐标满足直线BC的解析式即=a+3解得a1=-1,a2=-3(此时P点与点C重合,舍去)∴P点的坐标是(-1,0)【例6】解:(1)的顶点坐标为D(-1,-4),∴.………………………………2分∴(2)由(1)得.-7-\n当时,.解之,得 .∴.又当时,,∴C点坐标为.………………………4分又抛物线顶点坐标,作抛物线的对称轴交轴于点E,轴于点.易知在中,;在中,;在中,;∴.∴△ACD是直角三角形.…………………………6分(3)存在.作OM∥BC交AC于M,M点即为所求点.由(2)知,为等腰直角三角形,,.由,得.即.……………8分过点作于点,则,.又点M在第三象限,所以.…………………………10分【例7】解:(1)由OB=2,可知B(2,0)将A(-2,-4),B(2,0),O(0,0)三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c,得解得:∴抛物线的函数表达式为。(2)由,可得,抛物线的对称轴为直线,且对称轴是线段OB的垂直平分线,连结AB交直线于点M,即为所求。∴MO=MB,则MO+MA=MA+MB=AB作AC⊥x轴,垂足为C,则AC=4,BC=4,∴AB=∴MO+MA的最小值为。(3)①若OB∥AP,此时点A与点P关于直线对称,由A(-2,-4),得P(4,-4),则得梯形OAPB。②若OA∥BP,设直线OA的表达式为,由A(-2,-4)得,。设直线BP的表达式为,由B(2,0)得,,即,∴直线BP的表达式为由,解得,(不合题意,舍去)当时,,∴点P(),则得梯形OAPB。③若AB∥OP,设直线AB的表达式为,则,解得,∴AB的表达式为。∴直线OP的表达式为。由,得,解得,(不合题意,舍去),此时点P不存在。综上所述,存在两点P(4,-4)或P()使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形。【例8】思路导引:确定二次函数解析式,寻找经过三点的坐标十分关键,运用点绕原点旋转直角后坐标的变化规律进行界定,计算动点构造的三角形的面积并且确定最值,因此运用面积构造面积的函数式,结合得出的函数形式,运用其性质解答;判断符合某种条件的点的存在性问题,注意三点O、B、B1构成的特殊三角形的性质结合图形信息,确定符合第三象限这一条件的有关面积的方程,通过解方程并且检验得出符合题意的解;解析:(1)∵AB⊥x轴,AB=3,tan∠AOB=,∴OB=4,∴点B坐标是(-4,0),B1(0,-4),A2(3,0),∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点B、B1、A2,∴,解得:a=,b=,c=—4,∴抛物线的解析式是y=x2+x—4,(2)点P是第三象限内抛物线y=x2+x—4上一点,过点P作PC⊥x轴,垂足是点C,设点P的坐标是(m,n),则m<0,n<0,n=m2+m—4,则有PC=︱n︱=—n=—m2—m+4,OC=︱m︱=-m,BC=OB—OC=︱—4︱—︱m︱=4+m,S△PBB1=S△PBC+S梯形PB1OC—S△OBB1=BC×PC+(PC+OB1)×OC-×OB×OB1-7-\n=×(4+m)×(—m2—m+4)+×[(—m2—m+4)+4]×(—m)—×4×4=—m2—=—(m+2)2+.(3)假设在第三象限的抛物线上存在点Q(x,y),使得点Q到BB1的距离是,过点Q作QD⊥BB1于点D,由(2)可知,这时△PBB1的面积可以表示为—(x+2)2+.在Rt△OBB1中,BB1==,∵S△PBB1=×BB1×QD=××=2,∴—(x+2)2+=2,解得:x的值是-1或者是-3,当x=-1时,y=-4,当x=-3时,y=-2,因此在第三象限内,抛物线上存在点Q,使得Q点到线段BB1的距离是,这样的点Q的坐标是(—1,—4)(—3,—2);【例8】变式(1)∵抛物线的顶点为(1,)∴设抛物线的函数关系式为y=a(x-1)2+………………2分∵抛物线与y轴交于点C(0,4),∴a(0-1)2+=4解得a=-∴所求抛物线的函数关系式为y=-(x-1)2+………………4分(2)解:P1(1,),P2(1,-),P3(1,8),P4(1,),………………8分(3)解:令-(x-1)2+=0,解得x1=-2,x1=4∴抛物线y=-(x-1)2+与x轴的交点为A(-2,0)C(4,0)………………9分过点F作FM⊥OB于点M,∵EF∥AC,∴△BEF∽△BAC,∴=又∵OC=4,AB=6,∴MF=×OC=EB设E点坐标为(x,0),则EB=4-x,MF=(4-x)…………10分∴S=S△BCE-S△BEF=EB·OC-EB·MF=EB(OC-MF)=(4-x)[4-(4-x)]=-x2+x+=-(x-1)2+3∵a=-<0,∴S有最大值当x=1时,S最大值=3…………11分此时点E的坐标为(1,0)…………12分-7-
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