题型二 方程与不等式“方程与不等式”包括方程与方程组、不等式与不等式组两个方面的内容.“方程与不等式”均存在标准形式,其解法有程序式化的特点,是一种重要的数学基本技能.此外,“方程与不等式”也是刻画现实世界的一个有效的数学模型,在现实生活中存在大量的“方程与不等式”问题.“方程与不等式”是初中数学的核心内容之一.就解法与自身的应用来说,“方程与不等式”是初中数学最重要的基础知识之一,同时也是学习函数等知识的基础;就所蕴含的“方程思想和转化思想”而言,它更是培养考生分析问题和解决问题思想方面的重要源泉和场所.通过归纳主要有以下几种类型:(1)方程、不等式与函数综合型,一般是求待定字母的值,求待定字母的取值范围.在解这类问题时,需要我们借助图形来给出解答.要充分利用图形反馈的信息,或将文字信息反馈到图形上,做到“有数思形”“有形思数”顺利解决问题.(2)与几何知识结合型,特别是有未知数的几何问题,就需要用方程(组)与不等式(组)的知识来解决,在解决问题时,把某个未知量设为未知数,根据有关的几何性质、定理或公式,建立未知数和已知数间的等量关系或不等关系,列出方程(组)与不等式(组)来解决,这对解决和计算有关几何的数学问题,特别是几何综合题,是非常重要的.(3)对用方程(组)与不等式(组)解决实际问题型,实际问题中往往蕴含着方程与不等式,分析问题中的等量关系和不等关系,建立方程(组)模型和不等式(组)模型,从而把实际问题转化为数学模型,然后用数学知识来解决.考查考生构建数学模型的能力.题目常是考查解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题,为了防止漏解和便于比较,我们常常用到分类讨论思想对方案的优劣进行探讨.【例1】关于x的方程x2-x+1-m=0的两个实数根x1,x2,满足|x1|+|x2|≤5,则m的取值范围是________.【解析】首先由一元二次方程x2-x+1-m=0有两个实根,得到其判别式是非负数,然后利用根与系数关系和|x1|+|x2|≤5得到关于m的不等式,联立判别式即可求出实数m的取值范围.【答案】1<m≤7或≤m≤1【点评】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系,同时也利用分类讨论的思想和绝对值的定义,有一定的综合性,要求考生熟练掌握相关知识才能很好解决这类问题.【例2】已知关于x的一元二次方程x2-ax+(m-1)(m+2)=0,对于任意实数a都有实数根,则实数m的取值范围是________.【解析】一元二次方程有实数根,根的判别式Δ=b2-4ac≥0,b2是非负数,如果-4ac为非负数,无论b取什么数,方程一定有实数根,由此探讨得出答案即可.【答案】-2≤m≤1【点评】此题主要考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac:当Δ>0时,方程有两个不相等的实根;当Δ=0时,方程有两个相等的实根;当Δ<0时,方程没有实根.【例3】如果关于x的不等式组的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等式组的整数对(m,n)共有( B ) 4\nA.49对 B.42对C.36对 D.13对【解析】先用不等式组中待定字母表示出不等式组的解集,根据不等式组的整数解确定待定字母m,n即可.【答案】B【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法,不等式组的解集与解的概念.由不等式组的整数解确定待定字母的取值范围是解答本题的关键.【针对练习】1.(2022宜宾创新)设x1,x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足+=-1,则m的值是( A )A.3 B.-3或-1C.-1 D.-3或12.(2022宜宾创新)已知方程组的解为且|k|<3,那么a-b的取值范围是( A )A.-1<a-b<5B.-3<a-b<3C.-3<a-b<5D.-1<a-b<33.若关于x的方程=有绝对值相同,符号相反的两个根,则m的值应为( D )A.c B. C. D.4.设一元二次方程x2-3x+2-m=0(m>0)的两实根分别为x1,x2,且x1<x2,则x1,x2应满足( D )A.1<x1<x2<2 B.1<x1<2<x2C.x1<1<x2<2 D.x1<1且x2>25.方程组3|x|+2x+4|y|-3y=4|x|-3x+2|y|+y=7( C )A.没有解 B.有1组解C.有2组解 D.有4组解6.已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根,求++的值为( D )A.0 B.1 C.2 D.37.如果方程(x-1)(x2-2x+m)=0的三个根可以作为一个三角形的三条边长,那么实数m的取值范围是( B )A.0≤m≤1 B.<m≤1C.≤m≤1 D.m≤8.(2022宜宾创新)二果问价源于我国古代《四元玉鉴》:“九百九十九文钱,甜果苦果买一千,甜果九个十一文,苦果七个四文钱,试问甜苦果几个?”则甜果、苦果的个数分别是( C )A.648,352 B.650,350C.657,343 D.666,3344\n9.α,β是关于x的方程x2+kx-1=0的两个实根,若(|α|-β)(|β|-α)≥1,则实数k的取值范围是( A )A.k≥ B.k≤C.k≥或k≤-D.k≥10.(2022宜宾创新)若实数a,b满足方程组则a2b+ab2=__8__.11.已知x=2是不等式(x-5)(ax-3a+2)≤0的解,且x=1不是这个不等式的解,则实数a的取值范围是__1<a≤2__.12.已知a为整数,关于a的方程-+2-a=0有实数根,则a的值可能是__0或1或2__.13.关于x的不等式(2a-b)x>a-2b的解集是x<,求关于x的不等式ax+b<0的解集为__x<-8__.14.已知关于x的方程(m2-1)x2-3(3m-1)x+18=0有两个正整数根(m是整数).△ABC的三边a,b,c满足c=2,m2+a2m-8a=0,m2+b2m-8b=0.求:(1)m的值;(2)△ABC的面积.解:(1)方程有两个实数根,则m2-1≠0,解方程得x1=,x2=.由题意,得即∴m=2;(2)把m=2代入两等式,化简得a2-4a+2=0,b2-4b+2=0,当a=b时,a=b=2±.当a≠b时,a,b是方程x2-4x+2=0的两根,而Δ>0,由韦达定理,得a+b=4>0,ab=2>0,则a>0,b>0.①a≠b,c=2时,由于a2+b2=(a+b)2-2ab=16-4=12=c2故△ABC为直角三角形,且∠C=90°,S△ABC=ab=1.②a=b=2-,c=2时,∵2(2-)<2,∴不能构成三角形,不合题意,舍去.4\n③a=b=2+,c=2时,∵2(2+)>2,∴能构成三角形.∴S△ABC=×2×=.综上所述,△ABC的面积为1或.教后反思:___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4