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宜宾专版2022届中考数学第3编创新分类突破篇题型3函数的综合题精讲试题
宜宾专版2022届中考数学第3编创新分类突破篇题型3函数的综合题精讲试题
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题型三 函数的综合题纵观近几年全国各地的中考数学试卷,函数的命题放在各个位置都有,突出考查同学们的数形结合思想、学科内综合、学科间综合、实际应用题.所考题型无所不包,同时不断与其他数学知识相互渗透,题量不一定是最多的,但综合程度一定是最高的.函数的本质特征是变化与对应,它是表示、处理数量关系以及变化规律的有效工具.作为刻画变量变化规律的工具,函数的各种形式体现了“函数知识”与“函数思想”的统一.“函数”除了包括函数的概念、正比例函数、一次函数、反比例函数及二次函数等具体知识外,其自身还蕴含着方程与不等式的知识.函数是初中数学的核心内容、重要的基础知识.它与数学其他知识有着更为广泛的联系,不仅有着极为广泛的应用,而且也是发展同学们符号感的有效载体.宜宾市近几年的中考题中,函数一直是“重头戏”,分值偏高.从基础题到压轴题,都出现过跟函数知识有关的题目.【例1】如果两个变量x,y之间的函数关系如图所示,则函数值y的取值范围是( ) A.-3≤y≤3B.0≤y≤2C.1≤y≤3D.0≤y≤3【解析】根据图象,找到y的最高点是(-2,3)及最低点是(1,0),确定函数值y的取值范围.【答案】D【点评】本题考查了函数的图象,解答本题的关键是会观察图象,找到y的最高点及最低点.【例2】给出一种运算:对于函数y=xn,规定y′=nxn-1.例如:若函数y=x4,则有y′=4x3.已知函数y=x3,则方程y′=12的解是( )A.x1=4,x2=-4 B.x1=2,x2=-2C.x1=x2=0 D.x1=2,x2=-2【解析】首先根据新定义(高中导函数的定义)求出函数y=x3中的n,再与方程y′=12组成方程组得出:3x2=12,用直接开平方法解方程即可.【答案】B【点评】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程,同时还以新定义的形式考查了学生的阅读理解能力,此新定义是高中导函数的定义;注意:①二次项系数要化为1,②根据平方根的意义开平方时,是两个解,且是互为相反数,不要丢解.【例3】在直角坐标系中,我们不妨将横坐标,纵坐标均为整数的点称之为“中国结”.(1)求函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标;8\n(2)若函数y=(k≠0,k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”,试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标;(3)若二次函数y=(k2-3k+2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k(k为常数)的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”,试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中(含边界),一共包含有多少个“中国结”?【解析】(1)因为x是整数,x≠0时,x是一个无理数,所以x≠0时,x+2不是整数,所以x=0,y=2,据此求出函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标即可;(2)首先判断出当k=1时,函数y=(k≠0,k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”:(1,1),(-1,-1);然后判断出当k≠1时,函数y=(k≠0,k为常数)的图象上最少有4个“中国结”,据此求出常数k的值与相应“中国结”的坐标即可;(3)首先令(k2-3k+2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k=0,则[(k-1)x+k][(k-2)x+(k-1)]=0,求出x1,x2的值是多少;然后根据x1,x2的值是整数,求出k的值是多少;最后根据横坐标,纵坐标均为整数的点称之为“中国结”,判断出该函数的图象与x轴所围成的平面图形中(含边界),一共包含有多少个“中国结”即可.【答案】解:(1)∵x是整数,x≠0时,x是一个无理数,∴x≠0时,x+2不是整数,∴x=0,y=2,即函数y=x+2的图象上“中国结”的坐标是(0,2);(2)①当k=1时,函数y=(k≠0,k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”:(1,1),(-1,-1);②当k=-1时,函数y=(k≠0,k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”:(1,-1)(-1,1);③当k≠±1时,函数y=(k≠0,k为常数)的图象上最少有4个“中国结”:(1,k),(-1,-k),(k,1),(-k,-1),这与函数y=(k≠0,k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”矛盾.综上所述,k=1时,函数y=(k≠0,k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”:(1,1),(-1,-1);k=-1时,函数y=(k≠0,k为常数)的图象上只有两个“中国结”:(1,-1),(-1,1);(3)令(k2-3k+2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k=0,则[(k-1)x+k][(k-2)x+(k-1)]=0,∴∴k==,整理,可得x1x2+2x2+1=0,∴x2(x1+2)=-1,∵x1,x2都是整数,8\n∴或∴或①当时,∵=1,∴k=;②当时,∵=-1,∴k=k-1,无解;综上,可得k=,x1=-3,x2=1,y=(k2-3k+2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k=x2+x+-=-x2-x+,①当x=-2时,y=-x2-x+=-×(-2)2-×(-2)+=;②当x=-1时,y=-x2-x+=-×(-1)2-×(-1)+=1;③当x=0时,y=,另外,该函数的图象与x轴所围成的平面图形中x轴上的“中国结”有3个:(-2,0),(-1,0),(0,0).综上,可得若二次函数y=(k2-3k+2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k(k为常数)的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”,该函数的图象与x轴所围成的平面图形中(含边界),一共包含有6个“中国结”:(-3,0),(-1,1),(1,0),(-2,0),(-1,0),(0,0).8\n【点评】(1)此题主要考查了反比例函数问题,考查了分类讨论思想的应用,要熟练掌握反比例函数的图象和性质;(2)此题还考查了对新定义“中国结”的理解和掌握,解答此题的关键是要明确:横坐标,纵坐标均为整数的点称之为“中国结”.【针对练习】1.对于实数a,b,我们定义符号max{a,b}的意义为:当a≥b时,max{a,b}=a;当a<b时,max{a,b}=b;如:max{4,-2}=4,max{3,3}=3,若关于x的函数为y=max{x+3,-x+1},则该函数的最小值是( B )A.0B.2C.3D.42.(2022宜宾中考)给出定义:设一条直线与一条抛物线只有一个公共点,且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行,就称直线与抛物线相切,这条直线是抛物线的切线.有下列命题:①直线y=0是抛物线y=x2的切线;②直线x=-2与抛物线y=x2相切于点(-2,1);③若直线y=x+b与抛物线y=x2相切,则相切于点(2,1);④若直线y=kx-2与抛物线y=x2相切,则实数k=.其中正确的命题是( B )A.①②④ B.①③ C.②③ D.①③④3.平面直角坐标系中有两点M(a,b),N(c,d),规定(a,b)(c,d)=(a+c,b+d),则称点Q(a+c,b+d)为M,N的“和点”.若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形,则称这个四边形为“和点四边形”,现有点A(2,5),B(-1,3),若以O,A,B,C四点为顶点的四边形是“和点四边形”,则点C的坐标是__(1,8)或(-3,-2)或(3,2)__.4.(2022通辽中考)如图,将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中,若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分,则将直线l向右平移3个单位后所得直线l′的函数关系式为__y=x-____.5.(2022聊城中考)如图,分别位于反比例函数y=,y=在第一象限图象上的两点A,B,与原点O在同一直线上,且=.(1)求反比例函数y=的表达式;8\n(2)过点A作x轴的平行线交y=的图象于点C,连结BC,求△ABC的面积.解:(1)作AE,BF分别垂直于x轴,垂足为点E,F.∴△AOE∽△BOF.又=,∴===.由点A在函数y=的图象上,设A(m,),∴==,==.∴OF=3m,FB=.即B(3m,).又点B在y=的图象上,∴=,解得k=9.∴反比例函数y=的表达式为y=;(2)由(1)知,A(m,),B(3m,),又已知过点A作x轴的平行线交y=的图象于点C,∴点C的纵坐标为.又由点C在y=的图象上,∴=,解得x=9m.∴C(9m,).∴AC=xC-xA=9m-m=8m.8\n点B到AC的距离为yB-yA=-=.∴S△ABC=×8m×=8.6.若两条抛物线的顶点相同,则称它们为“友好抛物线”,抛物线C1:y1=-2x2+4x+2与C2:y2=-x2+mx+n为“友好抛物线”.(1)求抛物线C2的表达式;(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点,过A作AQ⊥x轴,Q为垂足,求AQ+OQ的最大值;(3)设抛物线C2的顶点为C,点B的坐标为(-1,4),问在C2的对称轴上是否存在点M,使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′,且点B′恰好落在抛物线C2上?若存在求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.解:(1)∵y1=-2x2+4x+2=-2(x-1)2+4,∴抛物线C1的顶点坐标为(1,4).∵抛物线C1与C2顶点相同,∴y2=-(x-1)2+4=-x2+2x+3,∴抛物线C2的表达式为y2=-x2+2x+3;(2)如答图①,设点A的坐标为(a,-a2+2a+3).∴AQ=-a2+2a+3,OQ=a,∴AQ+OQ=-a2+2a+3+a=-a2+3a+3=-2+,∴当a=时,AQ+OQ有最大值,最大值为;(3)如答图②,连结BC,过点B′作B′D⊥CM,垂足为D.∵B(-1,4),C(1,4),抛物线的对称轴为直线x=1,∴BC⊥CM,BC=2.∵∠BMB′=90°,∴∠BMC+∠B′MD=90°.∵B′D⊥MC,∴∠MB′D+∠B′MD=90°,∴∠MB′D=∠BMC.∵BM=B′M,∴△BCM≌△MDB′,∴BC=MD,CM=B′D.设点M的坐标为(1,a).则B′D=CM=4-a,MD=CB=2.∴点B′的坐标为(a-3,a-2).∴-(a-3)2+2(a-3)+3=a-2.8\n解得a1=2,a2=5.当a=2时,M的坐标为(1,2),当a=5时,M的坐标为(1,5).综上所述当点M的坐标为(1,2)或(1,5)时,B′恰好落在抛物线C2上. 7.(2022宜宾创新)已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C,抛物线的顶点为P.(1)如图①,连结AP,分别求出抛物线与直线AP的表达式;(2)如图①,点D(2,3)在抛物线上,在第一象限内,直线AP上是否存在点E,使DE⊥EO?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.(3)如图②,连结BC与抛物线的对称轴交于点F,在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G,使△GPF与△GBF的面积相等?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意,得解得∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴P(1,4).设直线AP的表达式为y=kx+b,点A,P两点坐标代入得解得∴直线AP的表达式为y=2x+2; (2)如答图①,假设AP上有一点E,使得DE⊥EO,作EM⊥OB于M,DN⊥EM于N,则△EMO∽△DNE,∴=.设E(x,y),D(2,3),则OM=x,EM=y,EN=y-3,DN=2-x,∴=.8\n又∵y=2x+2,解得x=±,∴y=±+2,∴E或;(3)设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为G,如答图②,∵P点的坐标为(1,4),直线BC的表达式为y=-x+3,∴过点P与BC平行的直线为y=-x+5,由解得或∴点G的坐标为(2,3).∵PF的表达式为x=1,直线BC的表达式为y=-x+3,∴点F的坐标为(1,2).设PF与x轴交于点E.∵PF=EF=2,∴过点E与BC平行的直线为y=-x+1,由解得或(不合题意,舍去),∴点G的坐标为,∴使得△GPF与△GBF的面积相等的点G的坐标为(2,3)或.教后反思:_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________8
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中考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 20:42:32
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文章作者:U-336598
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