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山东省济宁市2022年中考数学专项复习 专题七 一元二次方程根的判别式应用探讨

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专题七一元二次方程根的判别式应用探讨一元二次方程,就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程,其一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)。在系数a≠0的情况下,Δ=b2-4ac>0时,方程有2个不相等的实数根;Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;Δ=b2-4ac<0时,方程无实数根。反之亦然。因此,Δ=b2-4ac称为一元二次方程根的判别式。根的判别式b2-4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,解题过程中要注意隐含条件a≠0。使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出a、b、c的值。其应用归纳为直接应用和综合应用两方面,直接应用包括①不解一元二次方程,判断(证明)根的情况、②根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围、③限制一元二次方程的根与系数关系的应用;综合应用包括④判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、⑤判断双曲线与直线的公共点个数、⑥判断抛物线与直线(含x轴)的公共点个数。一.不解一元二次方程,判断(证明)根的情况:典型例题:例1:(2022江苏苏州3分)下列四个结论中,正确的是【】A.方程有两个不相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根C.方程有两个不相等的实数根D.方程(其中a为常数,且)有两个不相等的实数根【答案】D。【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】把所给方程整理为一元二次方程的一般形式,根据根的判别式判断解的个数即可:A、整理得:,△=0,∴原方程有2个相等的实数根,选项错误;B、整理得:,△<0,∴原方程没有实数根,选项错误;C、整理得:,△=0,∴原方程有2个相等的实数根,选项错误;D、整理得:,当时,,∴原方程有2个不相等的实数根,选项正确故选D。 二.根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围:典型例题:例1:(2022湖北襄阳3分)如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是【】14\nA.k<B.k<且k≠0C.﹣≤k<D.﹣≤k<且k≠0【答案】D。【考点】一元二次方程定义和根的判别式,二次根式有意义的条件。【分析】由题意,根据一元二次方程二次项系数不为0定义知:k≠0;根据二次根式被开方数非负数的条件得:2k+1≥0;根据方程有两个不相等的实数根,得△=2k+1﹣4k>0。三者联立,解得﹣≤k<且k≠0。故选D。 例2:(2022湖北孝感12分)已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.(1)求证:无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根;(2)若x1、x2是原方程的两根,且|x1-x2|=2,求m的值和此时方程的两根。【答案】解:(1)证明:由关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0得△=(m+3)2-4(m+1)=(m+1)2+4,∵无论m取何值,(m+1)2+4恒大于0,∴原方程总有两个不相等的实数根。(2)∵x1,x2是原方程的两根,∴x1+x2=-(m+3),x1•x2=m+1。∵|x1-x2|=2,∴(x1-x2)2=8,即(x1+x2)2-4x1x2=8。∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8,即m2+2m-3=0。解得:m1=-3,m2=1。当m=-3时,原方程化为:x2-2=0,解得:x1=,x2=-。当m=1时,原方程化为:x2+4x+2=0,解得:x1=-2+,x2=-2-。【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】(1)根据关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0的根的判别式△=b2-4ac的符号来判定该方程的根的情况。(2)根据根与系数的关系求得x1+x2和x1•x2,由已知条件|x1-x2|=2平方后可以得到关于x1+x2和x1•x2的等式,从而列出关于m的方程,通过解该方程即可求得m的值,最后将m值代入原方程并解方程。例3:(2022四川成都4分)有七张正面分别标14\n有数字-3,-2,-1,0,l,2,3的卡片,它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,记卡片上的数字为a,则使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,且以x为自变量的二次函数的图象不经过点(1,0)的概率是▲。【答案】。考点】二次函数图象上点的坐标特征,根的判别式,解一元二次方程和一元一次不等式,概率公式。【分析】∵有两个不相等的实数根,∴△>0。∴[﹣2(a﹣1)]2﹣4a(a﹣3)>0,∴a>﹣1。将(1,0)代入得,a2+a﹣2=0,解得a1=1,a2=﹣2。可见,符合要求的点为0,2,3。∴P(符合要求)=。练习1.(2022山东日照4分)已知关于x的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是【】(A)k>且k≠2(B)k≥且k≠2(C)k>且k≠2(D)k≥且k≠22.(2022湖北鄂州8分)关于x的一元二次方程。(1)证明:方程总有两个不相等的实数根;(2)设这个方程的两个实数根为x1,x2,且|x1|=|x2|-2,求m的值及其根。3.(2022黑龙江佳木斯3分)若关于x的一元二次方程nx2-2x-1=0无实数根,则一次函数y=(n+1)x-n的图象不经过【】A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限三.限制一元二次方程根与系数关系的应用:典型例题:例1:(2022四川泸州2分)已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2﹣2=0的两实根的平方和等于11,则k的值为 ▲ 。14\n例2:(2022湖南娄底10分)已知二次函数y=x2﹣(m2﹣2)x﹣2m的图象与x轴交于点A(x1,0)和点B(x2,0),x1<x2,与y轴交于点C,且满足。(1)求这个二次函数的解析式;(2)探究:在直线y=x+3上是否存在一点P,使四边形PACB为平行四边形?如果有,求出点P的坐标;如果没有,请说明理由。【答案】解:(1)∵二次函数y=x2﹣(m2﹣2)x﹣2m的图象与x轴交于点A(x1,0)和点B(x2,0),x1<x2,∴令y=0,即x2﹣(m2﹣2)x﹣2m=0①,则有:x1+x2=m2﹣2,x1x2=﹣2m。∴,化简得到:m2+m﹣2=0,解得m1=﹣2,m2=1。当m=﹣2时,方程①为:x2﹣2x+4=0,其判别式△=b2﹣4ac=﹣12<0,此时抛物线与x轴没有交点,不符合题意,舍去;当m=1时,方程①为:x2+x﹣2=0,其判别式△=b2﹣4ac=9>0,此时抛物线与x轴有两个不同的交点,符合题意。∴m=1。∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2。(2)存在。理由如下:假设在直线y=x+3上是否存在一点P,使四边形PACB为平行四边形。如图所示,连接PA.PB.AC.BC,过点P作PD⊥x轴于D点。∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A.B两点,与y轴交于C点,∴A(﹣2,0),B(1,0),C(0,2)。∴OB=1,OC=2。∵PACB为平行四边形,∴PA∥BC,PA=BC。14\n∴∠PAD=∠CBO,∴∠APD=∠OCB。在Rt△PAD与Rt△CBO中,∵∠PAD=∠CBO,PA=BC,∠APD=∠OCB,∴Rt△PAD≌Rt△CBO(AAS)。∴PD=OC=2,即yP=2。∵直线解析式为y=x+3,∴xP=﹣1。∴P(﹣1,2)。∴在直线y=x+3上存在一点P,使四边形PACB为平行四边形,P点坐标为(﹣1,2)。【考点】二次函数综合题,二次函数与x点问题,曲线图上点的坐标与方程的关系,一元二次方程根与系数的关系,平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质。【分析】(1)欲求抛物线的解析式,关键是求得m的值.根据题中所给关系式,利用一元二次方程根与系数的关系,可以求得m的值,从而问题得到解决。注意:解答中求得两个m的值,需要进行检验,把不符合题意的m值舍去。(2)利用平行四边形的性质构造全等三角形,根据全等关系求得P点的纵坐标,从而得到P点的横坐标,从而求得P点坐标。练习题:1.(2022湖南怀化10分)已知是一元二次方程的两个实数根。(1)是否存在实数a,使成立?若存在,求出a的值;若不存在,请你说明理由;(2)求使为负整数的实数a的整数值。四.判断二次三项式是完全平方式时的待定系数:典型例题:例1:(2022湖北荆州3分)已知:多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式,则反比例函数的解析式为 ▲ 。【答案】或。【考点】完全平方式,待定系数法求反比例函数解析式。【分析】∵多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式,∴对应的一元二次方程x2﹣kx+1=0根的判别式△=0。∴△=k2-4×1×1=0,解得k=±2。14\n把k=±2分别代入反比例函数的解析式得:或。练习题:五.判断双曲线与直线的公共点个数:典型例题:例1:(2022江苏南京2分)若反比例函数与一次函数的图像没有交点,则的值可以是【】A.-2B.-1C.1D.2【答案】A。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,一元二次方程的判别式。【分析】把两函数的解析式组成方程组,再转化为求一元二次方程解答问题,求出k的取值范围,找符合条件的k的值即可:∵反比例函数与一次函数y=x+2的图象没有交点,∴无解,即无解,整理得x2+2x-k=0,∴△=4+4k<0,解得k<-1。四个选项中只有-2<-1,所以只有A符合条件。故选A。例2:(2022四川资阳8分)已知:一14\n次函数y=3x-2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1。(1)(3分)求该反比例函数的解析式;(2)(3分)将一次函数y=3x-2的图象向上平移4个单位,求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标;(3)(2分)请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式:①函数的图象能由一次函数y=3x-2的图象绕点(0,-2)旋转一定角度得到;②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点。【答案】解:(1)把x=1代入y=3x-2,得y=1。设反比例函数的解析式为,把(1,1)代入得,k=1。∴该反比例函数的解析式为(2)平移后的图象对应的解析式为y=3x-2+4,即y=3x+2,联立y=3x+2和,得,,解得或。∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为(,3)和(-1,-1)。(3)y=-2x-2(答案不唯一)。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,一次函数图象与平移、旋转变换。【分析】(1)先求出两函数的交点坐标,利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式。(2)平移后的图象对应的解析式为y=3x+2,联立两函数解析式,从而求得交点坐标。(3)∵函数的图象由一次函数y=3x-2的图象绕点(0,-2)旋转一定角度得到,∴可设所求函数解析式为y=mx-2,则由得。∵函数的图象与反比例函数的图象没有公共点,∴△=4-4·m(-1)<0,解得m<-1。∴只要常数项为-2,一次项系数小于-1的一次函数均可。例4:(2022湖北宜昌3分)如图,直线=+2与双曲线=14\n在第二象限有两个交点,那么m的取值范围在数轴上表示为【】【答案】B。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,在数轴上表示不等式的解集。【分析】因为直线=+2与双曲线=在第二象限有两个交点,联立两方程求出m的取值范围即可,然后在数轴上表示出m的取值范围:由+2=得2+2+3﹣m=0,∵=+2与=有两个交点,∴方程2+2+3﹣m=0有两不相等的实数根。即△=4﹣4×(3﹣m)>0,解得m>2。又∵双曲线在二、四象限,∴m﹣3<0。∴m<3。∴m的取值范围为:2<m<3。故在数轴上表示为B。故选B。练习题:1.(2022湖北黄石3分)若一次函数的图像与反比例函数的图像没有公共点,则实数的取值范围是▲。3.(2022湖北黄石8分)已知一次函数y=kx+b(k>0,b>0)与反比例函数的图象有唯一的公共点。(1)求出b关于k的表达式及b为最小正整数时的两个函数的解析式;(2)证明:k取任何正实数时,直线y=kx+b总经过一个定点,并求出定点的坐标。六.判断抛物线与直线(含x轴)的公共点个数:典型例题:14\n例2:(2022山东泰安3分)二次函数的图象如图,若一元二次方程有实数根,则的最大值为【】  A.  B.3  C.  D.9【答案】B。【考点】抛物线与轴的交点。【分析】∵抛物线的开口向上,顶点纵坐标为﹣3,∴>0,,即。∵一元二次方程有实数根,∴△=,即,即,解得。∴的最大值为3。故选B。例3:(2022湖北荆州12分)已知:y关于x的函数y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点。14\n(1)求k的取值范围;(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最大值。【答案】解:(1)当k=1时,函数为一次函数y=﹣2x+3,其图象与x轴有一个交点。当k≠1时,函数为二次函数,其图象与x轴有一个或两个交点,令y=0得(k﹣1)x2﹣2kx+k+2=0.△=(﹣2k)2﹣4(k﹣1)(k+2)≥0,解得k≤2.即k≤2且k≠1。综上所述,k的取值范围是k≤2。(2)①∵x1≠x2,由(1)知k<2且k≠1。由题意得(k﹣1)x12+(k+2)=2kx1(*),将(*)代入(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得:2k(x1+x2)=4x1x2。又∵x1+x2=,x1x2=,∴2k•=4•,解得:k1=﹣1,k2=2(不合题意,舍去)。∴所求k值为﹣1。②如图,∵k1=﹣1,y=﹣2x2+2x+1=﹣2(x﹣)2+,且﹣1≤x≤1,由图象知:当x=﹣1时,y最小=﹣3;当x=时,y最大=。∴y的最大值为,最小值为﹣3。【考点】抛物线与x轴的交点,一次函数的定义,一元二次方程根的判别式和根与系数物关系,二次函数的最值。【分析】(1)分两种情况讨论,当k=1时,可求出函数为一次函数,必与x轴有一交点;当k≠1时,函数为二次函数,若与x轴有交点,则△≥0。(2)①根据(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系,建立关于k的方程,求出k的值。②充分利用图象,直接得出y的最大值和最小值。例4:(2022福建福州14分)如图①,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)两点。14\n(1)求抛物线的解析式;(2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标;(3)如图②,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)。【答案】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(3,0)、B(4,4).∴,解得:。∴抛物线的解析式是y=x2-3x。(2)设直线OB的解析式为y=k1x,由点B(4,4),得:4=4k1,解得k1=1。∴直线OB的解析式为y=x。∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为:y=x-m。∵点D在抛物线y=x2-3x上,∴可设D(x,x2-3x)。又点D在直线y=x-m上,∴x2-3x=x-m,即x2-4x+m=0。∵抛物线与直线只有一个公共点,△=16-4m=0,解得:m=4。此时x1=x2=2,y=x2-3x=-2。∴D点坐标为(2,-2)。(3)∵直线OB的解析式为y=x,且A(3,0),∴点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0,3)。设直线A'B的解析式为y=k2x+3,过点B(4,4),∴4k2+3=4,解得:k2=。∴直线A'B的解析式是y=x+3。∵∠NBO=∠ABO,∴点N在直线A'B上。14\n∴设点N(n,n+3),又点N在抛物线y=x2-3x上,∴n+3=n2-3n,解得:n1=-,n2=4(不合题意,会去)。∴点N的坐标为(-,)。如图,将△NOB沿x轴翻折,得到△N1OB1,则N1(-,-),B1(4,-4)。∴O、D、B1都在直线y=-x上。∵△P1OD∽△NOB,∴△P1OD∽△N1OB1。∴==。∴点P1的坐标为(-,-)。将△OP1D沿直线y=-x翻折,可得另一个满足条件的点P2(,)。综上所述,点P的坐标是(-,-)或(,)。【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质,一元二次方程根的判别式,翻折对称的性质,旋转的性质,相似三角形的判定和性质。【分析】(1)利用待定系数法求出二次函数解析式即可。(2)根据已知可求出OB的解析式为y=x,则向下平移m个单位长度后的解析式为:y=x-m。由于抛物线与直线只有一个公共点,意味着联立解析式后得到的一元二次方程,其根的判别式等于0,由此可求出m的值和D点坐标。(3)综合利用几何变换和相似关系求解:翻折变换,将△NOB沿x轴翻折。(或用旋转)求出P点坐标之后,该点关于直线y=-x的对称点也满足题意,即满足题意的P点有两个。练习题:1(2022江苏南京7分)已知函数(是常数)。⑴求证:不论为何值,该函数的图象都经过轴上的一个定点;⑵若该函数的图象与轴只有一交点,求值。2.(2022甘肃兰州4分)如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:(1)b2﹣4ac>0;(2)c>1;(3)2a﹣b<0;(4)a+b+c<0.你认为其中错误的有【】14\nA、2个B、3个C、4个D、1个3.(2022湖北武汉3分)下列命题:①若a+b+c=0,则b2-4ac≥0;②若b>a+c,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根;③若b=2a+3c,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根;④若b2-4ac>0,则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3。其中正确的【】A、只有①②③B、只有①③④C、只有①④D、只有②③④4.(2022北京市7分)已知关于的一元二次方程有实数根,为正整数.(1)求的值;(2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于二次函数的图象向下平移8个单位,求平移后的图象的解析式;(3)在(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:当直线与此图象有两个公共点时,的取值范围。14\n一元二次方程根的判别式在初中数学中的应用除了上述内容外,还有许多其它应用,如下: 判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。例1:当m为何值时,关于x的二次三项式mx2-2(m+2)x+(m+5)能在实数范围内因式分解。例2:如果关于x二次三项式在实数范围内不能分解因式,那么m的取值范围是▲。与平面几何相联系的问题。例1:已知:关于x的方程有两个相等的实数根,试判断以a,b,c为三边的三角形的形状。例2:已知a、b、c是三角形的三条边长,且关于x的方程有两个相等的实数根,试判断三角形的形状。例3:已知a,b,c是△ABC的三边,是关于x的一元二次方程,(1)若△ABC是直角三角形,且∠C=90°,试判断方程实根的个数;(2)若方程有两个相等的实数根,试求∠C的度数。14

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文章作者:U-336598

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