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17.3一元二次方程根的判别式教案
17.3一元二次方程根的判别式教案
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17.3 一元二次方程根的判别式1.理解并掌握一元二次方程根的判别式,能运用判别式,在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况;(重点、难点)2.通过一元二次方程根的情况的探究过程,体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想,提高观察、分析、归纳的能力. 一、情境导入1.你能说出我们共学过哪几种解一元二次方程的方法吗?2.能力展示:分组比赛解方程.(1)x2+4=4x;(2)x2+2x=3;(3)x2-x+2=0.3.发现问题观察上面三个方程的根的情况,你有什么发现?二、合作探究探究点:一元二次方程根的判别式【类型一】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况已知一元二次方程x2+x=1,下列判断正确的是( )A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定解析:原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×(-1)=5>0,∴该方程有两个不相等的实数根.故选B.方法总结:判断一元二次方程根的情况的方法:利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时,要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时,方程无实数根.【类型二】根据一元二次方程根的情况确定字母的取值范围若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )A.k>-1B.k>-1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠0解析:由根的判别式知,方程有两个不相等的实数根,则b2-4ac>0,同时要求二次项系数不为0,即解得k>-1且k≠0.故选B.易错提醒:利用b2-4ac判断一元二次方程根的情况时,容易忽略二次项系数不能等于0这一条件,本题容易误选A. 【类型三】一元二次方程根的判别式与三角形的综合已知a,b,c分别是△ABC的三边长,求证:关于x的方程b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0没有实数根.解析:欲证一元二次方程没有实数根,只需证明它的判别式Δ<0即可.由a,b,c是三角形三条边的长可知a,b,c都是正数.由三角形的三边关系可知a+b>c,a+c>b,b+c>a.证明:∵b为三角形一边的长,∴b≠0,∴b2≠0,∴b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0是关于x的一元二次方程.∴Δ=(b2+c2-a2)2-4b2c2=(b2+c2-a2+2bc)(b2+c2-a2-2bc)=[(b+c)2-a2][(b-c)2-a2]=(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)=(a+b+c)[(b+c)-a][(a+b)-c][b-(a+c)].∵a,b,c是三角形三条边的长,∴a>0,b>0,c>0,且a+b+c>0,a+b>c,b+c>a,a+c>b.∴(b+c)-a>0,(a+b)-c>0,b-(a+c)<0,∴(a+b+c)[(b+c)-a][(a+b)-c][b-(a+c)]<0,即Δ<0.∴原方程没有实数根.方法总结:利用根的判别式与三角形的三边关系:常根据判别式得到关于三角形三边的式子,再结合三边关系确定Δ符号.【类型四】利用根的判别式解决存在性问题是否存在这样的非负整数m,使关于x的一元二次方程m2x2-(2m-1)x+1=0有两个不相等的实数根?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由.解:不存在,理由如下:假设m2x2-(2m-1)x+1=0有两个不相等的实数根,则[-(2m-1)]2-4m2>0,解得m<.∵m为非负整数,∴m=0.而当m=0时,原方程m2x2-(2m-1)x+1=0是一元一次方程,只有一个实数根,与假设矛盾.∴不存在这样的非负整数,使原方程有两个不相等的实数根.易错提醒:在求出m=0后,常常会草率地认为m=0就是满足条件的非负整数,而忽略了二次项系数不为0的这一隐含条件,因此解题过程中务必考虑全面.三、板书设计本节课是在一元二次方程的解法的基础上,学习根的判别式的应用.学生容易在计算取值范围的时候忘记二次项系数不能为零,这是本节课需要注意的地方,应予以特别强调.
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发布时间:2022-02-13 18:00:03
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