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湘教版(2022)九年级数学上册教案:2.3一元二次方程根的判别式

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2.3一元二次方程根的判别式【知识与技能】能运用根的判别式,判别方程根的情况和进行有关的推理论证.【过程与方法】经历思考、探究过程,发展总结归纳能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点.【情感态度】积极参与数学活动,对其产生好奇心和求知欲.【教学重点】能运用根的判别式,判别方程根的情况和进行有关的推理论证.【教学难点】从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的b2-4ac的情况与根的情况的关系.一、情境导入,初步认识同学们,我们已经学会了怎么解一元二次方程,对吗?那么,现在老师这儿还有一手绝活,就是:我随便拿到一个一元二次方程的题目,我不用具体地去解它,就能很快知道它的根的大致情况,不信呀!同学们可以随便地出两个题考考我.【教学说明】这样设计,能马上激发学生的学习兴趣和求知欲,为后面发现结论创造一个最佳的心理状态.二、思考探究,获取新知1.问题:什么是求根公式?它有什么作用?2.观察求根公式回答下列问题:(1)当b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有几个根?(2)当b2-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有几个根?(3)当b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有几个根?\n3.综上所知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况是由b2-4ac来判断的.【归纳结论】我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式,通常用符号“Δ”表示.即:Δ=b2-4ac⑴当Δ=b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等实数根即,.⑵当Δ=b2-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根.⑶当Δ=b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.4.不解方程判定下列方程的根的情况.(1)3x2+4x-3=0(2)4x2=12x-9(3)7y=5(y2+1)解:(1)因为Δ=b2-4ac=42-4×3×(-3)=52>0所以,原方程有两个不相等的实数根.(2)将原方程化为一般形式,得4x2-12x+9=0因为Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×9=0所以,原方程有两个相等的实数根.(3)将原方程化为一般形式,得5y2-7y+5=0因为Δ=b2-4ac=(-7)2-4×5×5=-51<0所以,原方程没有实数根.【教学说明】学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识,真正体验自己发现结论的成功乐趣.三、运用新知,深化理解1.已知方程x2+px+q=0有两个相等的实根,则p与q的关系是__________.【答案】p2-4q=02.若方程x2+px+q=0的两个根是-2和3,则p,q的值分别为__________.【答案】-1,-63.判断下列方程是否有解:\n(1)5x2-2=6x(2)3x2+2x+1=0解析:演算或口算出b2-4ac,从而判断是否有根解:(1)有(2)没有4.不解方程,判定方程根的情况.(1)16x2+8x=-3(2)9x2+6x+1=0(3)2x2-9x+8=0(4)x2-7x-18=0分析:不解方程,判定根的情况,只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可.解:(1)化为16x2+8x+3=0这里a=16,b=8,c=3,b2-4ac=64-4×16×3=-128<0所以,方程没有实数根.(2)a=9,b=6,c=1,b2-4ac=36-36=0,∴方程有两个相等的实数根.(3)a=2,b=-9,c=8b2-4ac=(-9)2-4×2×8=81-64=17>0∴方程有两个不相等的实根.(4)a=1,b=-7,c=-18b2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)=121>0∴方程有两个不相等的实根.5.若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解,求ax+3>0的解集(用含a的式子表示).分析:要求ax+3>0的解集,就是求ax>-3的解集,那么就转化为要判定a的值是正、负或0.因为一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根,即(-2a)2-4(a-2)(a+1)<0就可求出a的取值范围.解:∵关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根.∴(-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8<0∴a<-2∵ax+3>0即ax>-3,∴x<-3a∴所求不等式的解集为x<-3a6.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.(1)当m=3时,判断方程的根的情况;(2)当m=-3时,求方程的根.\n分析:(1)判断一元二次方程根的情况,只要看根的判别式Δ=b2-4ac的值的符号即可判断:当Δ>0,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0,方程有两个相等的实数根;当Δ<0,方程没有实数根.(2)把m的值代入方程,用因式分解法求解即可.解:(1)∵当m=3时,Δ=b2-4ac=22-4×3=-8<0,∴原方程无实数根.(2)当m=-3时,原方程变为x2+2x-3=0,∵(x-1)(x+3)=0,∴x-1=0,x+3=0.∴x1=1,x2=-3.7.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2.(1)求q关于p的关系式;(2)求证:抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点.分析:(1)根据一元二次方程的解的定义,把x=2代入已知方程即可求得q关于p的关系式;(2)由关于x的方程x2+px+q=0的根的判别式的符号来证明抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点.解:(1)∵一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2,∴4+2p+q+1=0,即q=-2p-5;(2)证明:令x2+px+q=0.则Δ=p2-4q=p2-4(-2p-5)=(p+4)2+4>0,即Δ>0,所以,关于x的方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根.即抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点.【教学说明】使学生能及时巩固本节课所学知识,培养学生自觉学习的习惯,同时对学有余力的学生留出自由的发展空间.四、师生互动,课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.\n布置作业:教材“习题2.3”中第1、2、3题.本节课的教学坚持从学生实际出发,以学生为主体,注重对新理念的贯彻和教学方法的使用;在突破难点时,多种方法并用,注意培养自学能力;坚持当堂训练,例题、练习的设计针对性强,重点突出,对方法的总结言简意赅;学生能够积极、主动的参与,充分经历了知识的形成、发展与应用的过程,在这个过程中掌握了知识,形成了技能,发展了思维;教学效果很好!

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所属: 初中 - 数学
发布时间:2022-08-16 15:00:07 页数:5
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文章作者:U-344380

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