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山东省济宁市2022年中考数学专项复习 抛物线与圆综合探究题

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抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题,综合性强,难度较大,通常都作为“压轴题”,解此类题通常需要熟练掌握抛物线与圆相关的基本知识和基本技能,求解时注意运用有关性质,进行综合、分析、探究解题思路。例1、抛物线交轴于、两点,交轴于点,已知抛物线的对称轴为,,,⑴求二次函数的解析式;⑵在抛物线对称轴上是否存在一点,使点到、两点距离之差最大?若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由;⑶平行于轴的一条直线交抛物线于两点,若以为直径的圆恰好与轴相切,求此圆的半径.1解、解:(1)将代入,得.将,代入,得.∵是对称轴,∴.将(2)代入(1)得,.二次函数得解析式是.(2)与对称轴的交点即为到的距离之差最大的点.∵点的坐标为,点的坐标为,∴直线的解析式是,又对称轴为,∴点的坐标.(3)设、,所求圆的半径为r,则,.(1)∵对称轴为,∴..(2)由(1)、(2)得:..(3)将代入解析式,得,.(4)整理得:.由于r=±y,当时,,解得,,(舍去),当时,,解得,,(舍去).所以圆的半径是或.15\n例2、已知:在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A,抛物线经过O、A两点。⑴试用含a的代数式表示b;⑵设抛物线的顶点为D,以D为圆心,DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折,翻折后的劣弧落在⊙D内,它所在的圆恰与OD相切,求⊙D半径的长及抛物线的解析式;⑶设点B是满足⑵中条件的优弧上的一个动点,抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P,使得?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。(1)解法一:∵一次函数的图象与x轴交于点A∴点A的坐标为(4,0)∵抛物线经过O、A两点解法二:∵一次函数的图象与x轴交于点A∴点A的坐标为(4,0)∵抛物线经过O、A两点∴抛物线的对称轴为直线(2)解:由抛物线的对称性可知,DO=DA∴点O在⊙D上,且∠DOA=∠DAO又由(1)知抛物线的解析式为∴点D的坐标为()①当时,如图1,设⊙D被x轴分得的劣弧为,它沿x轴翻折后所得劣弧为,显然所在的圆与⊙D关于x轴对称,设它的圆心为D'∴点D'与点D也关于x轴对称∵点O在⊙D'上,且OD与⊙D'相切∴点O为切点∴D'O⊥OD∴∠DOA=∠D'OA=45°∴△ADO为等腰直角三角形∴点D的纵坐标为∴抛物线的解析式为②当时,同理可得:抛物线的解析式为综上,⊙D半径的长为,抛物线的解析式为或(3)解答:抛物线在x轴上方的部分上存在点P,使得设点P的坐标为(x,y),且y>0①当点P在抛物线上时(如图2)∵点B是⊙D的优弧上的一点过点P作PE⊥x轴于点E由解得:15\n(舍去)∴点P的坐标为②当点P在抛物线上时(如图3)同理可得,由解得:(舍去)∴点P的坐标为综上,存在满足条件的点P,点P的坐标为或例3、如图,在直角坐标系中,⊙C过原点O,交x轴于点A(2,0),交y轴于点B(0,)。⑴求圆心的坐标;⑵抛物线y=ax2+bx+c过O、A两点,且顶点在正比例函数y=-x的图象上,求抛物线的解析式;⑶过圆心C作平行于x轴的直线DE,交⊙C于D、E两点,试判断D、E两点是否在⑵中的抛物线上;⑷若⑵中的抛物线上存在点P(x0,y0),满足∠APB为钝角,求x0的取值范围。解:(1)∵⊙C经过原点O,∴AB为⊙C的直径。∴C为AB的中点。ABCDEFOHxy过点C作CH垂直x轴于点H,则有CH=OB=,OH=OA=1。∴圆心C的坐标为(1,)。(2)∵抛物线过O、A两点,∴抛物线的对称轴为x=1。∵抛物线的顶点在直线y=-x上,∴顶点坐标为(1,-)把这三点的坐标代入抛物线抛物线y=ax2+bx+c,得解得∴抛物线的解析式为。(3)∵OA=2,OB=2,∴.即⊙C的半径r=2。∴D(3,),E(-1,)代入检验,知点D、E均在抛物线上(4)∵AB为直径,∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时,满足∠APB为钝角。∴-1<x0<0,或2<x0<3。例4、15\n如图,已知抛物线的顶点坐标为M(1,4),且经过点N(2,3),与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C。⑴求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标;⑵若直线y=kx+t经过C、M两点,且与x轴交于点D,试证明四边形CDAN是平行四边形;⑶点P在抛物线的对称轴x=1上运动,请探索:在x轴上方是否存在这样的P点,使以P为圆心的圆经过A、B两点,并且与直线CD相切,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。解:(1)由抛物线的顶点是M(1,4),设解析式为又抛物线经过点N(2,3),所以解得a=-1所以所求抛物线的解析式为y=令y=0,得解得:得A(-1,0)B(3,0);令x=0,得y=3,所以C(0,3).(2)直线y=kx+t经过C、M两点,所以即k=1,t=3直线解析式为y=x+3.令y=0,得x=-3,故D(-3,0)CD=连接AN,过N做x轴的垂线,垂足为F.设过A、N两点的直线的解析式为y=mx+n,则解得m=1,n=1所以过A、N两点的直线的解析式为y=x+1所以DC∥AN.在Rt△ANF中,AN=3,NF=3,所以AN=所以DC=AN。因此四边形CDAN是平行四边形.(3)假设在x轴上方存在这样的P点,使以P为圆心的圆经过A、B两点,并且与直线CD相切,设P(1,u)其中u>0,则PA是圆的半径且过P做直线CD的垂线,垂足为Q,则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切。由第(2)小题易得:△MDE为等腰直角三角形,故△PQM也是等腰直角三角形,由P(1,u)得PE=u,PM=|4-u|,PQ=由得方程:,解得,舍去负值u=,符合题意的u=,所以,满足题意的点P存在,其坐标为(1,).例5、已知:如图,抛物线15\n与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,∠ACB=90°,⑴求m的值及抛物线顶点坐标;⑵过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D,连结DM并延长交⊙M于点E,过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G,求直线FG的解析式;⑶在条件⑵下,设P为上的动点(P不与C、D重合),连结PA交y轴于点H,问是否存在一个常数k,始终满足AH·AP=k,如果存在,请写出求解过程;如果不存在,请说明理由.解:⑴由抛物线可知,点C的坐标为(0,m),且m<0.设A(x1,0),B(x2,0).则有x1·x2=3m 又OC是Rt△ABC的斜边上的高,∴△AOC∽△COB ∴ ∴,即x1·x2=-m2 ∴-m2=3m,解得 m=0 或m=-3 而m<0,故只能取m=-3 这时,故抛物线的顶点坐标为(,-4) ⑵解法一:由已知可得:M(,0),A(-,0),B(3,0),C(0,-3),D(0,3) ∵抛物线的对称轴是x=,也是⊙M的对称轴,连结CE∵DE是⊙M的直径,∴∠DCE=90°,∴直线x=,垂直平分CE,∴E点的坐标为(2,-3) ∵,∠AOC=∠DOM=90°,∴∠ACO=∠MDO=30°,∴AC∥DE∵AC⊥CB,∴CB⊥DE又FG⊥DE,  ∴FG∥CB由B(3,0)、C(0,-3)两点的坐标易求直线CB的解析式为:y=-3 可设直线FG的解析式为y=+n,把(2,-3)代入求得n=-5故直线FG的解析式为y=-5 解法二:令y=0,解-3=0得x1=-,x2=3,即A(-,0),B(3,0)根据圆的对称性,易知::⊙M半径为2, M(,0)在Rt△BOC中,∠BOC=90°,OB=3,,OC=3∴∠CBO=30°,同理,∠ODM=30°。而∠BME=∠DMO,∠DOM=90°,∴DE⊥BC∵DE⊥FG, ∴BC∥FG∴∠EFM=∠CBO=30°在Rt△EFM中,∠MEF=90°,ME=2,∠FEM=30°,∴MF=4,∴OF=OM+MF=5,∴F点的坐标为(5,0)在Rt△OFG中,OG=OF·tan30°=5×=5∴G点的坐标为(0,-5)∴直线 FG的解析式为y=-5 (解法二的评分标准参照解法一酌定)⑶解法一:存在常数k=12,满足AH·AP=12 连结CP由垂径定理可知,∴∠P=∠ACH(或利用∠P=∠ABC=∠ACO)又∵∠CAH=∠PAC,∴△ACH∽△APC∴ 即AC2=AH·15\nAP 在Rt△AOC中,AC2=AO2+OC2=()2+32=12(或利用AC2=AO·AB=×4=12∴AH·AP=12  解法二:存在常数k=12,满足AH·AP=12设AH=x,AP=y由相交弦定理得HD·HC=AH·HP即化简得:xy=12即 AH·AP=12  例6、抛物线()交x轴于点A(-1,0)、B(3,0),交y轴于点C,顶点为D,以BD为直径的⊙M恰好过点C.(1)求顶点D的坐标(用的代数式表示);(2)求抛物线的解析式;(3)抛物线上是否存在点P使△PBD为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)(方法一)由题意:设抛物线的解析式为∴∴点C(0,-3a),D(1,-4a)(方法二)由题意:,解得 ∴(下同方法一)(2)(方法一)过点D作DE⊥y轴于点E,易证△DEC∽△COB∴∴∴  ∵  ∴故抛物线的解析式为:(方法二)过点D作DE⊥y轴于点E,过M作MG⊥y轴于点G,设⊙M交x轴于另一点H,交y轴于另一点F,可先证四边形OHDE为矩形,则OH=DE=1,再证OF=CE=-a,由OH·OB=OF·OC得:,∴(下同法一)(3)符合条件的点P存在,共3个①若∠BPD=90°,P点与C点重合,则P1(0,3)(P1表示第一个P点,下同)②若∠DBP=90°,过点P2作P2R⊥x轴于点R,设点P2由△BP2R∽△DBH得,,即,解得 或(舍去)故③若∠BDP=90°,设DP3的延长线交y轴于点N,可证△EDN∽△HDB,求得EN=,∴N(0,)求得DN的解析式为15\n求抛物线与直线DN的交点得P3(),综上所述:符合条件的点P为(0,3)、、()例7、已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于不同的两点A和B(4,0),与y轴交于点C(0,8),其对称轴为x=1.⑴求此抛物线的解析式;⑵过A、B、C三点作⊙O′与y轴的负半轴交于点D,求经过原点O且与直线AD垂直(垂足为E)的直线OE的方程;⑶设⊙O′与抛物线的另一个交点为P,直线OE与直线BC的交点为Q,直线x=m与抛物线的交点为R,直线x=m与直线OE的交点为S。是否存在整数m,使得以点P、Q、R、S为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由。解:(1)由已知,有解得∴抛物线的解析式是y=-x2+2x+8.(2)令y=0,得方程-x2+2x+8=0,解得x1=-2,x2=4.∴点A的坐标为(-2,0).在⊙O′中,由相交弦定理,得OA|·|OB|=|OC|·|OD|,即2×4=8×|OD|,∴|OD|=1.∵点D在y轴的负半轴上,∴点D的坐标为(0,-1).在Rt△AOD中,∵|OA|=2,|OD|=1,OE⊥AD,∴由勾股定理,有AD==.又∵|OA|·|OD|=|AD|·|OE|,∴|OE|=.∵|OA|2=|AE|·|AD|,即22=|AE|,∴|AE|=.同理,由|OD|2=|DE|·|AD|,得|DE|=.设点E(x,y),且x<0,y<0.在Rt△AOE中,|AE|·|OE|=|y|·|OA|,∴|y|=,∴y=-.在Rt△DOE中,|DE|·|OE|=|x|·|OD|,∴|x|=,∴x=-.∴点E的坐标是(-,-).设直线OE的方程为y=kx(k≠0).∵直线OE经过点E(-,-),∴-=-k,K=2.∴直线OE的方程为y=2x.(3)在⊙O′中,∵对称轴x=1垂直平分弦AB,∴由垂径定理的推论知直线x=1经过圆心O′.∵C(0,8),∴由对称当得点P的坐标为(2,8).设直线BC的方程为y=kx+b(k≠0).则有解得∴直线BC的方程为y=-2x+8.联立方程组解得∴点Q的坐标为(2,4).∵点P(2,8),点Q(2,4),∴PQ∥RS.设点R的坐标为(m,-m2+2m+8),点S的坐标的(m,2m).要使四边形PQRS为平行四边形,已知PQ∥RS,尚需条件|RS|=|PQ|.由|(-m2+2m+8)-2m|=|8-4|=4,得|-m215\n+8|=4,解得m=±2,或m=±.而m=2,±不合题意,应舍去.∴存在整数m=-2,使得以P、Q、R、S为顶点的四边形为平行四边形.例8、如图3已知抛物线,经过点A(0,5)和点B(3,2)(1)求抛物线的解析式:(2)现有一半径为l,圆心P在抛物线上运动的动圆,问⊙P在运动过程中,是否存在⊙P与坐标轴相切的情况?若存在,请求出圆心P的坐标:若不存在,请说明理由;(3)若⊙Q的半径为r,点Q在抛物线上、⊙Q与两坐轴都相切时求半径r的值解析(1)由题意,得;抛物线的解析式为(2)当⊙P在运动过程中,存在⊙P与坐标轴相切的情况.设点P坐标为(),则则当⊙P与y轴相切时,有|x0|=1,x0=±1由,得,由,得.当⊙P与x轴相切时有∵抛物线开口向上,且顶点在x轴的上方.∴由,得,解得y0=2,B(2,1)综上所述,符合要求的圆心P有三个,其坐标分别为:(3)设点Q坐标为(x,y),则当⊙Q与两条坐标轴都相切时,有y=由y=x得,解得由,得,此方程无解15\n∴⊙O的半径为例9、已知:如图,抛物线的图象与轴分别交于两点,与轴交于点,经过原点及点,点是劣弧上一动点(点与不重合).(1)求抛物线的顶点的坐标;(2)求的面积;(3)连交于点,延长至,使,试探究当点运动到何处时,直线与相切,并请说明理由.[解](1)抛物线                  的坐标为  (说明:用公式求点的坐标亦可).(2)连;过为的直径.  而      (3)当点运动到的中点时,直线与相切  理由:在中,.15\n点是的中点,  在中,为等边三角形  又为直径,当为的中点时,为的切线 例10、如图,在平面直角坐标系中,已知点,,以为边在轴下方作正方形,点是线段与正方形的外接圆除点以外的另一个交点,连结与相交于点.(1)求证:;(2)设直线是的边的垂直平分线,且与相交于点.若是的外心,试求经过三点的抛物线的解析表达式;(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在点,使该点关于直线的对称点在轴上?若存在,求出所有这样的点的坐标;若不存在,请说明理由.AEODCBGFxyl[解](1)在和中,15\n四边形是正方形,.又,.  (2)由(1),有,.点.是的外心,点在的垂直平分线上.点也在的垂直平分线上.为等腰三角形,.而,..设经过三点的抛物线的解析表达式为.抛物线过点,..  ①把点,点的坐标代入①中,得即  解得抛物线的解析表达式为.②(3)假定在抛物线上存在一点,使点关于直线的对称点在轴上.是的平分线,轴上的点关于直线的对称点必在直线上,即点是抛物线与直线的交点.AEODCBGFxylQ设直线的解析表达式为,并设直线与轴交于点,则由是等腰直角三角形...把点,点代入中,得15\n直线的解析表达式为.设点,则有.  ③把③代入②,得,,即..解得或.当时,;当时,.在抛物线上存在点,它们关于直线的对称点都在轴上.例11、若抛物线y=x2-(m+3)x+m+1与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),以OA、OB为直径分别作⊙O1、⊙O2。(1)试证:无论m取何实数,抛物线与x轴总有两个交点;(2)当两圆相等时,求m的值;(3)如果两圆外切,求m的范围;(4)点B能否在原点的左侧?请说明理由;(5)两圆内切时,求m的范围;(6)若两圆内切时,当M点的坐标为(1,0),15\n试证:OA<OM< OB;(7)如果两圆外切,且⊙O1、⊙O2的周长之比为2:1,求m的值;(8)若两圆面积之和为π,求m的值;(9)若两圆外切时,外公切线长为3,求m之值。[分析]若设y=x2-(m+3)x+m+1与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0),显然x1<x2。(1)因为抛物线y=x2-(m+3)x+m+1与x轴交点的横坐标,即为所对应的一元二次方程x2-(m+3)x+m+1=0的两根。所以,要证明抛物线与x轴总有两个交点,就是要证明方程x2-(m+3)x+m+1=0的根的判别式△>0△=[-(m+3)]2-4(m+1)=m2+2m+5=(m+1)2+4>0显然,问题可证。(2)由(1)可知,点A、点B是两个不同的点,若两圆相等,则OA=OB,且点A,点B分布在原点的两侧,又因为x1<x2∴x1<0,x2>0则OA=|x1|=-x1OB=|x2|=x2∴-x1=x2即x1+x2=0则m+3=0m=-3.思考:此时为何不需要考虑“△”对m取值的制约(下同)?(3)以OA、OB为直径的两圆,若外切,则A点和B点必然分布在原点O的两侧。所以有x1·x2<0,即m+1<0,则m<-1.(4)这是一道开放题。该命题可转化成:要确定点B能否在原点的左侧,就是要确定x2能否取负数?若x2能取负数的话,则下列不等式组必有解集。 显然上述不等式组的解集为空集,故x2不可能取负数,即点B不可能在x轴的左侧。(5)两圆内切时,其切点必为原点O,且点A、点B必在原点的同侧。故要分点A、点B都在原点的左侧或都在原点的右侧两种情况进行讨论。①若点A、点B都在原点的左侧,由(4)可知,该种情况不存在。15\n②若点A、点B都在原点的右侧,显然有x1>0,x2>0,则∴m>-1.(6)由(5)知,若两圆内切,则点A、点B必在原点O的右侧,∴x1>0,x2>0则有OA=|x1|=x1;OB=|x2|=x2;OM=1.要证明OA<OM<OB,即证x1<1<x2;就是要证明:x1<1且x2>1;即证:x1-1<0且x2-1>0;即证:(x1-1)(x2-1)<0;而(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=m+1-(m+3)+1=-1<0故本小问可证。(7)因为两圆外切时,C⊙O=OAπ=|x1|π=-πx1;C⊙O=OBπ=|x2|π=πx2;所以;即x1+2x2=0.则可由方程组求出参数m的值。(8)当两圆面积之和为π时,则S;S;则;OA2+OB2=7;即x12+x22=7.则根据根与系数的关系,此时的m值可求。(9)因为相切两圆的外公切线的长为:2(其中R、r分别为⊙O1、⊙O2的半径)15\n所以2;即;OA·OB=9;∴-x1·x2=9;则-(m+1)=9;m=-10.15

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发布时间:2022-08-25 20:37:19 页数:15
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文章作者:U-336598

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