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山东省滨州市无棣县埕口中学2022届中考数学复习 知识点17 与二次函数有关几何方面应用

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知识点17与二次函数有关几何方面应用一、选择题1.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】2.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】3.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】4.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】5.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】6.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】7.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】8.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】9.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】10.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】11.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】12.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】13.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】14.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】15.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】51\n16.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】17.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】18.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】19.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】20.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】二、填空题第1题图1.(2022·福建省泉州市晋江初中学业质量检查,17,4)如图,抛物线:的对称轴为直线,将抛物线向上平移5个单位长度得到抛物线,则抛物线的顶点坐标为;图中的两条抛物线、直线与轴所围成的图形(图中阴影部分)的面积为.【答案】,2.(2022·江苏省盐城市高中阶段教育招生统一考试仿真卷,18,3)如图,已知⊙P的半径为2,圆心P在抛物线y=x2-2上运动,当⊙P与轴相切时,圆心P的坐标为__________。第2题图PyxO51\n【答案】(0,-2)(-2,2)(2,2);3.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】4.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】5.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】6.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】7.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】8.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】9.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】10.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】11.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】12.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】13.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】14.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】15.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】16.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】51\n17.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】18.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】19.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】20.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】三、解答题1.(2022·广东省清远市初中毕业生学业考试一模,25,9)如图1,抛物线过点A(,0)、B(,0)、C(0,),、是方程的两根,且,点是此抛物线的顶点.(1)求这条抛物线的表达式;(2)填空:(1)问题中抛物线先向上平移3个单位,再向右平移2个单位,得到的抛物线是____________;(3)在第一象限内,问题(1)中的抛物线上是否存在点,使.ABCDO图1【答案】(1)设此抛物线的表达式为ABCDO图1E由得∵,∴,∴点的坐标为(4,0),点的坐标为(,0)∵抛物线经过点(0,),∴又∵抛物线经过、两点,∴51\n解得:,∴设此抛物线的表达式为(2)y=(x-3)2-6或y=x2-6x+3(3)存在由得点的坐标是(1,)过点作⊥轴,垂足为,设点的坐标为(,)∵又∵∴∴∵点在抛物线上,∴解得:,(舍去)∴点的坐标为(,2)2.(2022·河南省中招考试说明解密预测试卷六,23,11)如图,二次函数的图像与x轴的交点是A(m,0)、B(n,0),与y轴的交点是C(0,2).(1)求m,n的值;(2)设P(x,y)(0<x<n)是抛物线上的动点,过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q.①线段PQ的长度是否存在最大值?如果有,最大值是多少?如果不存在,请说明理由.yAOBPxCQ②当以O、A、Q为顶点的三角形是直角三角形时,求出点P的坐标.【答案】(1)∵抛物线过C(0,2)∴c=2……………………………1分∵抛物线过A(m,0)、B(n,0)∴m,n分别是一元二次方程的两根yAOBPxCQ图1解,得51\n∴(2)①设直线BC的函数表达式为y=kx+b.则有解得∴直线BC的函数表达式为y=-x+2.∵0<x<6∴PQ=yQ-yP=(-x+2)-(x2-x+2)=-x2+x=-(x-3)2+1∴当x=3时,线段PQ的长度取得最大值,最大值为1.②当∠OAQ=90°时,点P与点A重合,∴P1(3,0).当∠QOA=90°时,点P与点C重合,∴x=0(不合题意).yAOBPxCQ图2D当∠OQA=90°时,设PQ与轴交于点D,如图2.∵∠QOD+∠OQD=90°,∠OQD+∠AQD=90°.∴∠QOD=∠AQD.又∵∠ODQ=∠QDA=90°,∴△ODQ∽△QDA.∴=,即DQ2=OD·DA.3.(2022·河南中招考试说明解密预测试卷四,23,11)如图,在平面直角坐标系中,直线分别交于点B、C,抛物线经过B、C两点,并与轴交于另一点A.(1)求该抛物线所对应的函数关系式;(2)设P(x,y)是(1)所得抛物线上的一个动点,过点P作直线轴与点M,交直线BC于点N.yBxOCNPAM①若点P在第一象限内.试问:线段PN的长度是否存在最大值?若存在,求出它的最大值及此时x的值,若不存在,请说明理由;②求以BC为底边的等腰三角形△PBC的面积.51\n【答案】(1)∵B(4,0)C(0,4)点B、C在抛物线上,∴解得:b=3,c=4,∴所求函数关系式为(2)①∵点P(x,y)在抛物线上,且PNx轴,∴设点P的左边为(,)同理可设点N的坐标为(x,-x+4)又点P在第一象限,∴PN=PM-NM=()-(-x+4)==∴当x=2时,线段PN的长度的最大值为4②以BC为底边的等腰△PBC则PB=PC,点P在线段BC的垂直平分线上,又由①知,OB=OC∴BC的中垂线也是的平分线,交BC于点Q∴设点P的坐标为(a,a)又点P在抛物线上,于是有∴,解得,∴设点P的坐标为:当点P的坐标为时,点P在第一象限,OP=,OQ=∴PQ=,S=当点P的坐标为时,点P在第三象限,OP=,51\n∴PQ=,S=∴等腰△PBC的面积为.4.(2022·河南中招考试说明解密预测试卷五,23,12)如图,函数L1:y=a(x-2)2+4 (x>0)的图象顶点为M,过点B(4,0),将图象绕原点旋转180°后得到函数L2的图象,顶点为N,与x轴交于点A.(1)分别求出L1、L2的函数解析式.(2)P为抛物线L1上一动点,连接PO交L2于Q,连接PN、QN、PM、QM.求:平行四边形PMQN的面积S与P点横坐标x(0﹤x4)间关系式(3)求出平行四边形PMQN的面积S的最大值,及此时P点的坐标.AOBMPQNxy【答案】(1)把B(4,0)代入y=a(x-2)2+4得a=-1抛物线L1:y=-x2+4x抛物线L2:y=x2+4x(2)根据P点位置进行分类讨论:1.若P点在抛物线的AM段(2<x4)S平行四边形PMQN=4SΔPOM=4x2-8x2.若P点在抛物线的OM段(0<x<2)S平行四边形PMQN=4SΔPOM=-4x2+8x(3)当2<x4时,y随x的增大而增大当x=4时,S最大=32当0<x<2时,x=1时,S最大=4∴当x=4时,S最大=32,此时P点坐标为(4,0).5.(2022·安徽省蚌埠市七中高一自主招生考试,19,18)如图,二次函数()的图象与反比例函数y=图象相交于点,已知点的坐标为,点在第三象限内,且51\n的面积为(为坐标原点).①求实数的值;②求二次函数()的解析式;③设抛物线与轴的另一个交点为,点为线段OD上的动点(与OD不重合),过E点作EF∥OB交BD于F,连接BE,设OE的长为m,△BEF的面积为S,求S与m的函数关系式;xyAOBFED④在③的基础上,试说明S是否存在最大值;若存在,请求出S的最大值,并求出此时E点的坐标;若不存在,说明理由.【答案】①;②y=x2+3x;③S=-m2+m;④存在,Smax=,.6.(2022·福建省南平市九年级适应性检测,26,14)如图,已知A(2,-1)为顶点的抛物线经过点B(4,0).(1)求该抛物线的解析式;(2)设点D为抛物线对称轴与x轴的交点,点E为抛物线上一动点,点E作直线y=-2的垂线,垂足为N.①探索、猜想线段EN与ED之间的数量关系,并证明你的结论;②抛物线上是否有点E使△EDN为等边三角形?若存在,请求出所有满足条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由.【提示:抛物线y=ax²+bx+c(a0)的对称轴是x=-,51\n顶点坐标是】【答案】(1)设抛物线的解析式为y=(x-h)2+k∵抛物线的顶点A(2,-1)且过点B(4,0)∴y=a(x-2)2-1,且0=4a-1,a=∴抛物线的解析式为y==…(2)猜想:DE=NE证明:易得D(2,0)当E与B重合时,DE=2,EN=2,∴DE=EN当E与O重合时,DE=2,EN=2,∴DE=EN当E与A重合时,DE=1,EN=1,∴DE=EN(上述三种情况未讨论或讨论不完整,扣1分)当点E不与B、O、A重合时,设点E坐标为,EN交x轴与点F在Rt△DEF中,DE²=DF²+EF²=(x-2)²+y²又∵NE=y+2,∴NE²=y²+4y+4=y²++4=y²+x²-4x+4=(x-2)²+y²∴DE=NE综上所述,DE=NE⑶答:存在当点E在x轴上时△EDN为直角三角形,点E在x轴下方时△EDN为钝角三角形,所以只当在E在x轴上方时△EDN才可能为等边三角形(注意:未作上述说明不扣分!)理由一:若△EDN为等边三角形,∵DE=NE=DN,且EN⊥x轴,51\n∴EN=FN=2,∴y=x²-x=2解得,x=22∴点E坐标为(2+2,2)和(2—2,2)理由二:若△EDN为等边三角形,∵DE=NE=DN,且EN⊥x轴,∴∠EFD=30°,EN=FN=2在Rt△DEF中,tan∠EDF=,∴DF===2∵DA是抛物线的对称轴,且D(2,0)∴根据抛物线的对称性得点E的坐标为(2+2,2)和(2—2,2)7.(2022·广东省汕头市中考模拟考试数学试卷,24,12)如图的平面直角坐标系中,抛物线交轴于A、B两点(点B在点A的右侧),交轴于点C,以OC、OB为两边作矩形OBDC,CD交抛物线于G.(1)求OC和OB的长;(2)抛物线的对称轴在边OB(不包括O、B两点)上作平行移动,交轴于点E,交CD于点F,交BC于点M,交抛物线于点P.设OE=m,PM=h,求h与m的函数关系式,并求出PM的最大值;MCByODPxAEFl(第7题图)G(3)连接PC,则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△BEM相似?若存在,直接求出此时m的值,并直接判断△PCM的形状;若不存在,请说明理由.【答案】(1)对于,MCByODPxAEl(第7题图)F当=0时,=4;当=0时,,解得.∴点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,4).∴OC=4,OB=3.(2)∵抛物线的对称轴⊥轴,在边PE∥,∴PE⊥轴.∵OE=m,∴点P的横坐标为m.∵点P在抛物线上,51\n∴点P的纵坐标为.∴PE=.在Rt△BOC中,tan∠OBC=.在Rt△BME中,ME=BEtan∠OBC=(OB-OE)·tan∠OBC=(3-m)=4-m.∴PM=PE-ME=-4+m=.∴h与m的函数关系式为h=(0<m<3)又h=,∵-<0,∴当m=时,h有最大值为3,∴PM的最大值为3.(3)①当m=时,△PFC∽△BEM,此时△PCM为直角三角形(∠PCM为直角);②当m=1时,△CFP∽△BEM,此时△PCM为等腰三角形(PC=CM).8.(2022·广东省惠州市初中毕业生学业模拟考试,22,9)如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A、B的坐标分别为(3,0),(3,4)。动点M、N分别从O、B同时出发,以每秒1个单位的速度运动。其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC,交AC于P,连结MP.已知动点运动了x秒.(1)P点的坐标为(,);(用含x的代数式表示)(2)试求⊿MPA面积的最大值,并求此时x的值。(3)请你探索:当x为何值时,⊿MPA是一个等腰三角形?你发现了几种情况?写出你的研究成果。【答案】(1)(3—x,x)(2)设⊿MPA的面积为S,在⊿MPA中,MA=3—x,MA边上的高为x,其中,0≤x≤3.∴S=(3—x)×x=(—x2+3x)=—(x—)2+51\n∴S的最大值为此时x=.(3)延长NP交x轴于Q,则有PQ⊥OA①若MP=PA∵PQ⊥MA∴MQ=QA=x.∴3x=3,∴x=1②若MP=MA,则MQ=3—2x,PQ=x,PM=MA=3—x在Rt⊿PMQ中,∵PM2=MQ2+PQ2∴(3—x)2=(3—2x)2+(x)2∴x=③若PA=AM,∵PA=x,AM=3—x∴x=3—x∴x=综上所述,x=1,或x=,或x=。9.(2022·广东省实验中学初三综合测试(一),25,14)如图,在平面直角坐标系中,直线分别交轴,轴于A,B两点,以OA,OB为边作矩形OACB,D为BC的中点.以M(4,0),N(8,0)为斜边端点作等腰直角三角形PMN,点P在第一象限,设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为.(1)求点的坐标.第9题(2)当值由小到大变化时,求与的函数关系式.(3)若在直线上存在点,使等于,请直接写出的取值范围.(4)在值的变化过程中,若为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的值.51\n【答案】(1)作于,则.图①,.(2)当时,如图①,.当时,如图②,设交于...图②即.或.当时,如图③,设交于..,或.当时,如图④,.(此问不画图不扣分)图③图④(3).(提示:以为直径作圆,当直线与此圆相切时,.)(4)的值为,,.图⑤(提示:当时,.当时,(舍),.当时,.)51\n10.(2022·海南省初中毕业生模拟考试,24,14)如图14,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=2,OC=3。(1)求抛物线的解析式;(2)作Rt△OBC的高OD,延长OD与抛物线在第一象限内交于点E,求点E的坐标;(3)①在x轴上方的抛物线上,是否存在一点P,使四边形OBEP是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;②在抛物线的对称轴上,是否存在上点Q,使得△BEQ的周长最小?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。yx图14AOBCED【答案】(1)∵OA=2,∴点A的坐标为(-2,0).∵OC=3,∴点C的坐标为(0,3).∵把(-2,0),(0,3)代入,得0=-2-2b+cb=解得3=cc=3∴抛物线解析式为。(2)把y=0代入,解得x1=-2,x2=3∴点B的坐标为(3,0),∴OB=OC=3∵OD⊥BC,∴OD平分∠BOC∴OE所在的直线为y=xx图14-1AOBCEDPy=xx1=2,x2=-3解方程组得yy1=2,y2=-3∵点E在第一象限内,∴点E的坐标为(2,2)。(3)存在,如图14-1,过点E作x轴的平行线与抛物线交于另一点P,连接BE、PO,把y=2代入,解得x1=-1,x2=251\n∴点P的坐标为(-1,2)∵PE∥OB,且PE=OB=3x图14-2AOBCEDQ∴四边形OBEP是平行四边形∴在x轴上方的抛物线上,存在一点P(-1,2),使得四边形OBEP是平行四边形。(4)存在,如图14-2,设Q是抛物线对称轴上的一点,连接QA、QB、QE、BE∵QA=QB,∴△BEQ的周长等于BE+QA+QE又∵BE的长是定值∴A、Q、E在同一直线上时,△BEQ的周长最小,由A(-2,0)、E(2,2)可得直线AE的解析式为∵抛物线的对称轴是x=∴点Q的坐标为(,)所以,在抛物线的对称轴上,存在点Q(,),使得△BEQ的周长最小。11.(2022·河南省中招考试猜题试卷六,23,11)如图,二次函数y=-x2+ax+b的图像与x轴交于A(-,0)、B(2,0)两点,且与y轴交于点C;(1)求该拋物线的解析式,并判断△ABC的形状;(2)在x轴上方的拋物线上有一点D,且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形,请直接写出D点的坐标;(3)在此拋物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由.yABCOx【答案】(1)根据题意,将A(-,0),B(2,0)代入y=-x2+ax+b中,得,解这个方程,得a=,b=1,∴该拋物线的解析式为y=-x2+x+1,当x=0时,y=1,∴点C的坐标为(0,1),51\n∴在△AOC中,AC===.在△BOC中,BC===.AB=OA+OB=+2=,∵===,∴△ABC是直角三角形.(2)点D的坐标为(,1).(3)存在.由(1)知,AC^BC.①若以BC为底边,则BC//AP,如图1所示,可求得直线BC的解析式为y=-x+1,直线AP可以看作是由直线BC平移得到的,所以设直线AP的解析式为y=-x+b,把点A(-,0)代入直线AP的解析式,求得b=-,yABCOxP图1yABCOPx图2∴直线AP的解析式为y=-x-.∵点P既在拋物线上,又在直线AP上,∴点P的纵坐标相等,即-x2+x+1=-x-,解得x1=,x2=-(舍去).当x=时,y=-,∴点P(,-).②若以AC为底边,则BP//AC,如图2所示.可求得直线AC的解析式为y=2x+1.直线BP可以看作是由直线AC平移得到的,所以设直线BP的解析式为y=2x+b,把点B(2,0)代入直线BP的解析式,求得b=-4,∴直线BP的解析式为y=2x-4.∵点P既在拋物线上,又在直线BP上,∴点P的纵坐标相等,51\n即-x2+x+1=2x-4,解得x1=-,x2=2(舍去).当x=-时,y=-9,∴点P的坐标为(-,-9).综上所述,满足题目条件的点P为(,-)或(-,-9).12.(2022·河南中招考试说明解密预测试卷四,23,11)如图,在平面直角坐标系中,直线分别交于点B、C,抛物线经过B、C两点,并与轴交于另一点A.(1)求该抛物线所对应的函数关系式;(2)设P(x,y)是(1)所得抛物线上的一个动点,过点P作直线轴与点M,交直线BC于点N.yBxOCNPAM①若点P在第一象限内.试问:线段PN的长度是否存在最大值?若存在,求出它的最大值及此时x的值,若不存在,请说明理由;②求以BC为底边的等腰三角形△PBC的面积.【答案】(1)∵B(4,0)C(0,4)点B、C在抛物线上,∴解得:b=3,c=4,∴所求函数关系式为(2)①∵点P(x,y)在抛物线上,且PNx轴,∴设点P的左边为(,)同理可设点N的坐标为(x,-x+4)又点P在第一象限,∴PN=PM-NM51\n=()-(-x+4)==∴当x=2时,线段PN的长度的最大值为4②以BC为底边的等腰△PBC则PB=PC,点P在线段BC的垂直平分线上,又由①知,OB=OC∴BC的中垂线也是的平分线,交BC于点Q∴设点P的坐标为(a,a)又点P在抛物线上,于是有∴,解得,∴设点P的坐标为:当点P的坐标为时,点P在第一象限,OP=,OQ=∴PQ=,S=当点P的坐标为时,点P在第三象限,OP=,∴PQ=,S=∴等腰△PBC的面积为13.(2022·河南省河南中招押题试卷二,23,12)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形的边落在轴的正半轴上,且∥,,=4,=6,=8.正方形的两边分别落在坐标轴上,且它的面积等于直角梯形面积.将正方形沿轴的正半轴平行移动,设它与直角梯形的重叠部分面积为.(1)求正方形的边长;(2)①正方形平行移动过程中,通过操作、观察,试判断(>0)的变化情况是;②当正方形顶点移动到点时,求的值;(3)设正方形的顶点向右移动的距离为,求重叠部分面积与的函数关系式.ABCODEF51\n【答案】(1)∵,ABCODEFMN(如图①)设正方形的边长为,∴,或(舍去).(2)先增大而减少.(3)①当0≤<4时,重叠部分为三角形,如图①.可得△∽△,ABCODEF(如图②)∴,=.∴.②当4≤<6时,重叠部分为直角梯形,如图②.ABCODEFM(如图③).③当6≤<8时,重叠部分为五边形,如图③.可得,,.AOBCDEFM(如图④)=.④当8≤<10时,重叠部分为五边形,如图④.=.ABCOEF⑤当10≤≤14时,重叠部分为矩形,如图⑤..51\nO(如图⑤)14.(2022·河南省中招押题试卷三,22,10)如图,等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,AD=2,BC=4.点M从B点出发以每秒2个单位的速度向终点C运动;同时点N从D点出发以每秒1个单位的速度向终点A运动.过点N作NP⊥BC,垂足为P,NP=2.连接AC交NP于Q,连接MQ.若点N运动时间为t秒.求:(1)请用含t的代数式表示PC;(2)求△CMQ的面积S与时间t的函数关系式,当t取何值时,S有最大值?最大值是多少?【答案】(1)如图,过A作AE垂直x轴于E,则由等腰梯形的对称性可知:BE=当动点N运动t秒时,PC=1+t.(2)∵AD∥BC,NP⊥BC∴∠ANQ=∠CPQ=90°又∵∠AQN=∠CQP∴△AQN∽△CQP∴∴∴PQ=∵点M以每秒2个单位运动,∴BM=2t,CM=4—2tS△CMQ==当t=2时,M运动到C点,△CMQ不存在,∴t2∴t的取值范围是0≤t<251\nS△CMQ=.当S有最大值,最大值是.15.(2022·河南省中招押题试卷三,23,11)如图所示,在平面直角坐标系xoy中,矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B,且18a+c=0.(1)求抛物线的解析式.(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动.①移动开始后第t秒时,设△PBQ的面积为S,试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围.xy②当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标,如果不存在,请说明理由.【答案】(1)设抛物线的解析式为,由题意知点A(0,-12),所以,又18a+c=0,∵AB∥CD,且AB=6,∴抛物线的对称轴是∴所以抛物线的解析式为(2)①,②当时,S取最大值为9.这时点P的坐标(3,-12),点Q坐标(6,-6)若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形,有如下三种情况:(Ⅰ)当点R在BQ的左边,且在PB下方时,点R的坐标(3,-18),将(3,-18)代入抛物线的解析式中,满足解析式,所以存在,点R的坐标就是(3,-18);(Ⅱ)当点R在BQ的左边,且在PB上方时,点R的坐标(3,-6),将(3,-6)代入抛物线的解析式中,不满足解析式,所以点R不满足条件.(Ⅲ)当点R在BQ的右边,且在PB上方时,点R的坐标(9,-6),51\n将(9,-6)代入抛物线的解析式中,不满足解析式,所以点R不满足条件综上所述,点R坐标为(3,-18)16.(2022·河南省中招押题试卷一,23,11)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点,点,如图所示:抛物线经过点.(1)求点的坐标;(2)求抛物线的解析式;BACxyo(3)在抛物线上是否还存在点(点除外),使仍然是以为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)过点作轴,垂足为,BADCOMNxyP1P2;又,,点的坐标为;(2)抛物线经过点,则得到,解得,所以抛物线的解析式为;(3)假设存在点,使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形:若以点为直角顶点;则延长至点,使得,得到等腰直角三角形,过点作轴,;51\n,可求得点;若以点为直角顶点;则过点作,且使得,得到等腰直角三角形,过点作轴,同理可证;,可求得点;经检验,点与点都在抛物线上.17.(2022·河南省新密市九年级教学质量检测试卷,23,10)阅读材料:如图12-1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题:如图12-2,抛物线顶点坐标为点C(-1,-4),交x轴于点A(-3,0),交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式;(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及;(3)是否存在一点P,使S△PAB=S△CAB,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.DBCOAyx【答案】(1)设抛物线的解析式为=a(x+1-4.把A(-3,0)代入解析式,解得a=1.∴抛物线的表达式为=(x+1-4=+2x-4∴B点的坐标为(0,-3).设直线AB的表达式为把A(-3,0),B(0,-3)待入,得解得k=-1,b=-3.∴直线AB的表达式为51\n(2)因为点C坐标为(-1,-4),∴当x=-1时,.∴CD=-2-(-4)=2..(3)假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为x(-3<x<0),△PAB的铅垂高为h.则h=由得.化简得:.解得.将x=-2代入中,解得P点坐标为(-2,-3).将x=-1代入中,P点坐标为(-1,-4)与顶点C重合.所以还存在点P(-2,-3),满足条件.18.(2022·湖北省黄冈中学模拟数学试题,25,14)如图,已知抛物线y=a(x-1)2+(a≠0)经过点A(-2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM∥AD.过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C,B在x轴正半轴上,连结BC.(1)求该抛物线的解析式;(2)若动点P从点O出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为t(s).问:当t为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?(3)若OC=OB,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿O→C和B→O运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们运动的时间为t(s),连接PQ,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小?并求出最小值及此时PQ的长.【答案】(1)∵抛物线y=a(x-1)2+(a≠0)经过点A(-2,0),51\n∴二次函数的解析式为:.(2)∵D为抛物线的顶点,∴D(1,),过D作DN⊥OB于N,则DN=.AN=3,,∴∠DAO=60°.∵OM//AD,①当AD=OP时,四边形DAOP是平行四边形,∴OP=6,∴t=6(s).②当DP⊥OM时,四边形DAOP是直角梯形,过O作OH⊥AD于H,AO=2,则AH=1.(如果没求出∠DAO=60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA求AH=1)∴OP=DH=5,t=5(s).③当PD=OA时,四边形DAOP是等腰梯形,∴OP=AD-2AH=6-2=4,∴t=4(s).综上所述:当t=6、5、4时,对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形.(3)由(2)及已知,∠COB=60°,OC=OB,△OCB是等边三角形,则OB=OC=AD=6,OP=t,BQ=2t,∴OQ=6-2t(0<t<3).过P作PE⊥OQ于E,19.(2022·湖北省襄阳市普通高中推荐招生考试,20,13)如图,直径为5的⊙M圆心在x轴正半轴上,⊙M和x轴交于A、B两点,和y轴交于C、D两点且CD=4,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点,顶点51\n为N﹒(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式;(2)直线NC与x轴交于点E,试判断直线CN与⊙M的位置关系并说明理由;(3)设点Q是(1)中所求抛物线对称轴上的一点,试问在(1)中所求抛物线上是否存在点P使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由﹒ECxBOADy●MN【答案】(1)连接MC,∵直径AB⊥CD,∴OC=OD=2,又∵MC=AB=2.5在Rt⊿OMC中,OM2=MC2-OC2,∴OM=1.5,OA=1,OB=4,则有A(-1,0),B(4,0),C(0,-2)a-b+c=0,16a+4b+c=0,C=-2.又由题意得y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),点B(4,0)和C(0,-2)三点,解这个方程组得a=,b=-,c=-2.所求抛物线解析式为y=x2-x-2 .                (2)配方得y=(x-)2-.顶点坐标为(,-).     作对称轴MN,过点N作NH⊥轴于H.在△CMN和△CHN中,CN2+CM2=()2+(-2)2+()2=,MN2=()2=∴CN2+CM2=MN2,∴△MCN是直角三角形且∠MCN=900,又∴MC是半径,∴直线CN是⊙M的切线.(3)存在以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形.设P点坐标为(x,y)且在(1)中所求抛物线上,又由题意可知Q点在对称轴直线X=上,∴点Q的横坐标为.分以下三种情况讨论:①当AB为平行四边形的边,点P在对称轴右侧时,QP=x-在平行四边形ABPQ中,AB=QP=5,∴x-=5,∴x=51\n此时y=x2-x-2=∴点P的坐标为(,)      ②当AB为平行四边形边,点P在对称轴左侧时,PQ=-x在平行四边形ABMN中,AB=PQ=5∴-x=5∴x=-此时y=x2-x-2=∴点P的坐标为(-,)      ③当AB为对角线时,点P与抛物线顶点重合此时,点P的坐标为(,-)      综上所述点所求P的坐标为(,)或(-,)或(,-) 20.(2022·湖北省枣阳市中考适应性考试,26,12)如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,直线与x轴,y轴分别交于B,C两点,抛物线经过B,C两点,与x轴的另一个交点为点A,动点P从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动,运动时间为(0<<5)秒.(1)求抛物线的解析式及点A的坐标;(2)以OC为直径的⊙O′与BC交于点M,当t为何值时,PM与⊙O′相切?请说明理由.(3)在点P从点A出发的同时,动点Q从点B出发沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动,动点N从点C出发沿CA以每秒个单位长度的速度向点A运动,运动时间和点P相同.①记△BPQ的面积为S,当t为何值时,S最大,最大值是多少?②是否存在△NCQ为直角三角形的情形,若存在,求出相应的t值;若不存在,请说明理由.OMCBAxyPQNO′•OCBAxy备用图O′•图M【答案】(1)在中,令x=0,得y=9;令y=0,得x=12.∴C(0,9),B(12,0).51\n又抛物线经过B,C两点,∴解得∴.于是令y=0,得,解得x1=-3,x2=12.∴A(-3,0).(2)当t=3秒时,PM与⊙O′相切.连接OM.∵OC是⊙O′的直径,∴∠OMC=90°.∴∠OMB=90°.∵O′O是⊙O′的半径,O′O⊥OP,∴OP是⊙O′的切线.而PM是⊙O′的切线,∴PM=PO.∴∠POM=∠PMO.又∵∠POM+∠OBM=90°,∠PMO+∠PMB=90°,∴∠PMB=∠OBM.∴PM=PB.∴PO=PB=OB=6.∴PA=OA+PO=3+6=9.此时t=3(秒).∴当t=3秒,PM与⊙O′相切.(3)①过点Q作QD⊥OB于点D.∵OC⊥OB,∴QD∥OC.∴△BQD∽△BCO.∴=.又∵OC=9,BQ=3t,BC=15,∴=,解得QD=.∴S△BPQ=BP•QD=.即S=.S=.故当时,S最大,最大值为.②存在△NCQ为直角三角形的情形.∵BC=BA=15,∴∠BCA=∠BAC,即∠NCM=∠CAO.∴△NCQ欲为直角三角形,∠NCQ≠90°,只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°两种情况.当∠NQC=90°时,∠NQC=∠COA=90°,∠NCQ=∠CAO,∴△NCQ∽△CAO.∴=.∴=,解得.当∠QNC=90°时,∠QNC=∠COA=90°,∠QCN=∠CAO,∴△QCN∽△CAO.∴=.∴=,解得.综上,存在△NCQ为直角三角形的情形,t的值为和.21.(2022·湖南省长沙市中考数学模拟试题,25,10)如图4—13,对称轴为直线x=一的抛物线经过点A(-6,0)和点B(0,4).(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;(2)设点E(x,y)是抛物线上的一个动点,且位于第三象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形,求□OEAF的面积S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;①当□OEAF的面积为24时,请判断□OEAF是否为菱形?51\n②是否存在点E,使□OEAF为正方形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+)2+k(k≠0),则依题意得:a+k=0a+k=4解之得:a=,k=-即:y=(x+)2-,顶点坐标为(-,-).(2)∵点E(x,y)在抛物线上,且位于第三象限.∴S=2S△OAE=2××0A×(-y)=-6y=-4(x+)2+25(-6<x<-1).①当S=24时,即-4(x+)2+25=24,解之得:x1=-3,x2=-4∴点E为(-3,-4)或(-4,-4)当点E为(-3,-4)时,满足OE=AE,故□OEAF是菱形;当点E为(-4,-4)时,不满足OE=AE,故□OEAF不是菱形.②当0E⊥AE且OE=AE时,□OEAF是正方形,此时点E的坐标为(-3,-3),而点E不在抛物线上,故不存在点E,使□OEAF为正方形。22.(2022·湖南省长沙市初中毕业学业水平考试模拟试卷(二),23,9)51\n如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线的顶点P到x轴的距离是9,抛物线与x轴交于O、M两点,OM=6;矩形ABCD的边BC在线段OM上,点A、D在抛物线上。(1)P点的坐标、M点的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)设矩形ABCD的周长为,,求与的关系式,并求的最大值;【答案】(1)P(3,9)M(0,6)(2) (3),当x=2时,最大值为2023.(2022·湖南省长沙市初中毕业学业水平考试模拟试卷二,25,,10)如图:在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=60°,AB=20cm,CD=8cm。等边三角形PMN的边长MN=20cm,A点与N点重合,MN和AB在一条直线上,设等腰梯形ABCD不动,等边三角形PMN沿AB所在的直线匀速向右移动,直到点M与点B重合为止。(1)等边三角形PMN在整个运动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由形变为形,再变为形;(2)设等边三角形移动距离x(cm)时,等边三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠的部分的面积为y,求y与x之间的函数关系式;【答案】(1)等边三角形、等腰梯形、等边三角形(2)24.(2022·湖南省长沙市初中毕业学业水平考试模拟试卷二,26,10)已知:如图所示,抛物线的顶点C在以D(―2,―2)为圆心,4为半径的圆上,且经过⊙D与轴的两个交点A、B,连结AC、BC、OC。(1)求点C的坐标;(2)求图中阴影部分的面积;(3)在抛物线上是否存在点P,使DP所在直线平分线段OC?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。【答案】(1)如图,作CH⊥轴,垂足为H,∵直线CH为抛物线对称轴,51\n∴H为AB的中点。∴CH必经过圆心D(―2,―2)。∵DC=4,∴CH=6∴C点的坐标为(―2,―6)。(2)连结AD,在Rt△ADH中,AD=4,DH=2,∴,∴∴∴阴影部分的面积(3)又∵,H点坐标为(―2,0),H为AB的中点,∴A点坐标为(―2―2,0),B点坐标为(,0)。又∵抛物线顶点C的坐标为(―2,―6),设抛物线解析式为∵B(,0)在抛物线上,∴,解得。∴抛物线的解析式为设OC的中点为E,过E作EF⊥轴,垂足为F,连结DE,∵CH⊥轴,EF⊥轴,∴CH∥EF∵E为OC的中点,∴。即点E的坐标为(―1,―3)。设直线DE的解析式为,∴,解得,∴直线DE的解析式为。若存在P点满足已知条件,则P点必在直线DE和抛物线上。设点P的坐标为(,),∴,即点P坐标为(,),∴,解这个方程,得,∴点P的坐标为(0,-4)和(-6,2)。25.(2022·湖北省黄冈市路口中学中考数学模拟试题,25,15)如图,抛物线与x轴交与A(1,0),B(-3,0)两点,(1)求该抛物线的解析式;(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?,若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有,请说明理由.51\n【答案】(1)将A(1,0)B(-3,0)代入中得,∴∴抛物线解析式为:(2)存在 理由如下:由题意知A、B两点关于抛物线的对称轴对称,∴直线BC与的交点即为Q点,此时△AQC周长最小,∵,∴C的坐标为:(0,3),直线BC解析式为 Q点坐标即为的解,∴,∴Q(-1,2)26.(2022·江苏省昆山市第二学期调研测试试卷,28,11)如图,已知抛物线y=-x2+x+4交x轴于点A,交y轴于点B. (1)求A、B两点的坐标,并求直线AB的解析式; (2)设P(x,y)(x>0)是直线y=x上的一点,Q是OP的中点(O是原点),以PQ为对角线作正方形PEQF,若正方形PEQF与直线AB有公共点,求x的取值范围; (3)在(2)的条件下,记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S,求S关于x的函数解析式,并探究S的最大值.【答案】(1)令y=0,解得x1=-2x2=4,直线AB的解析式为y=-x+4.(2)正方形PEQF与直线AB有公共点,则2≤x≤4.(3)当2≤x≤时,S=-x2+8x-8,∴x=时,Smax=27.(2022·江苏省建湖县上冈实验初中初三年级数学模拟试卷,28,13)如图①,Rt△ABC中,∠B=9051\n°,∠CAB=30°.它的顶点A的坐标为(10,0),顶点B的坐标为,点P从点A出发,沿的方向匀速运动,同时点Q从点D(0,2)出发,沿y轴正方向以相同速度运动,当点P到达点C时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.(1)求∠OAB的度数.(2)当点P在AB上运动时,△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分(如图②).求①点P的运动速度②面积S与时间t之间的函数关系式.(3)如果点P,Q保持(2)中的速度不变,那么点P沿AB边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大;沿着BC边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小,当点P运动到点B时,∠OPQ是(填“锐角”、“直角”、“钝角”),在整个运动过程中,使∠OPQ=90°的点P的个数为个.(图①)ACBQDOPxy30O5tS(图②)【答案】(1)60°(2)①2个单位/秒②S=-t2+9t+10(0≤t≤5)(3)钝角;2个28.(2022·江苏省上冈中学数学中考模拟试卷,25,10)体育课上,老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地,围成的场地是如图所示的矩形ABCD.设边AB的长为x(单位:米),矩形ABCD的面积为S(单位:平方米).(1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);(2)若矩形ABCD的面积为50平方米,且AB<AD,请求出此时AB的长.第28题【答案】(1)s=;(2)当s=50时x=5或10(舍去)29.(2022·江苏省扬州市九年级网上阅卷适应性测试,28,12)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点A、C在x轴上,点B坐标为(3,m)(m51\n>0),线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的二次函数图像经过点B、D.(1)用m的代数式表示点A、D的坐标;(2)求这个二次函数关系式;(3)点Q(x,y)为二次函数图像上点P至点B之间的一点,连接PQ、BQ,当x为何值时,四边形ABQP的面积最大?【答案】(1)∵点B坐标为(3,m)(m>0),∴OC=3,BC=m.∵AC=BC,∴AC=m,∴点A(3-m,0).(2分)由题意得:AO=0D,∴点D(0,m-3).(2)设以P(1,0)为顶点的抛物线的解析式为y=k(x-1)2(k≠0),∵抛物线过点B、D,∴解得:所以二次函数的解析式为y=(x-1)2.即:y=x2-2x+1.(3)连接QC,作QE⊥x轴于点E,,QF⊥BC于点F,∵点B(3,m)在抛物线y=x2-2x+1,则m=4,∴AC=BC=4.∵点Q(x,y)在抛物线y=x2-2x+1,则QE=y=x2-2x+1,QF=3-x.设四边形ABQP的面积为s,则S=S△ABC-S△QCP-S△QCB=×4×4-×2×(x2-2x+1)-×4(3-x)=-x2+4x+1=-(x-2)2+5.∴当x=2时,四边形ABQP的面积最大.30.(2022·江苏省苏州市中考数学模拟试卷十,29,9)如图,抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴上,点C在y轴上,且AC=BC.(1)求抛物线的对称轴;(2)写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式;(3)若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点,是否存在点P,使△PAB是等腰三角形.若存在,求出所有符合条件的点P坐标;不存在,请说明理由.51\n【答案】(1)(2)(3)满足条件的P点有三个:31.(2022·江苏省苏州市中考数学模拟十一,28,9)如图,一次函数y=x-5分别交x轴、y轴于A、B两点,二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A、B两点.(1)求二次函数的解析式;(2)设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点,且DE=.①若点D的横坐标为t,写出点D、E的坐标(用t的代数式表示);②抛物线上是否存在点F,使点F与点D关于x轴对称?如果存在,请求出△AEF的面积;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)y=-x2+6x-5.(2)①D(t,t-5),E(t+1,t-4)或D(t,t-5),F(t-1,t-6).②存在1232.(2022·江苏省苏州市中考数学模拟十一,29,9)在矩形ABCD中,点E是AD边上一点,连结BE,且∠ABE=30°,BE=DE,连结BD.点P从点E出发沿射线ED运动,过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q.(1)当点P在线段ED上时(如图(1)),求证:BE=PD+PQ;(2)若BC=6,设PQ长为x,以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y,求y与x的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);(3)在(2)的条件下,当点P运动到线段ED的中点时,连结QC,过点P作PF⊥QC,垂足为F,PF交对角线BD于点G(如图(3)),求线段PG的长.【答案】(1)略(2)(3)51\n33.(2022·江苏省太仓市调研测试试卷,29,10)如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为P,对称轴直线x=1与x轴交于点D,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中A(-1,0)、C(0,3).(1)求此抛物线的解析式;(2)点E在线段BC上,若△DEB为等腰三角形,求点E的坐标;(3)点F、Q都在该抛物线上,若点C与点F关于直线x=1成轴对称,连结BF、BQ,如果∠FBQ=45°,求点Q的坐标;(4)将△BOC绕着它的顶点B顺时针在第一象限内旋转,旋转后的图形为△BO'C',BO'与BP重合时,则△BO'C'不在BP上的顶点C'的坐标为(直接写出答案).【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)点E1(1,2),E2(2,1),E3(3-,);(3)点Q(-,);(4)点C′(3+,).34.(2022·江苏省盐城市高中阶段教育招生统一考试仿真卷,25,10)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式.(2)连结PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形,那么是否存在点P,使四边形为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC为等腰梯形,直接写出此时P点的坐标:P(,)。51\n【答案】(1)将B、C两点的坐标代入得解得:所以二次函数的表达式为:(2)存在点P,使四边形POPC为菱形.设P点坐标为(x,),PP交CO于E若四边形POPC是菱形,则有PC=PO.连结PP则PE⊥CO于E,∴OE=EC=∴=.∴=解得=,=(不合题意,舍去)∴P点的坐标为(,)(3)P(2,-3)35.(2022·江西省数学中考样卷(三),24,10)矩形OABC的顶点A(-8,0)、C(0,6),点D是BC边上的中点,抛物线经过A、D两点,如图所示.(1)求点D关于y轴的对称点的坐标及a、b的值;(2)在y轴上取一点P,使PA+PD长度最短,求点P的坐标;第35题图(3)将抛物线向下平移,记平移后点A的对应点为,点D的对应点为,当抛物线平移到某个位置时,恰好使得点O是y轴上到两点距离之和最短的一点,求此抛物线的解析式.51\n【答案】(1)由矩形的性质可知:B(-8,6)∴D(-4,6);点D关于y轴对称点D′(4,6)将A(-8,0)、D(-4,6)代入,得:;(2)设直线AD′的解析式为,则:∴解得:∴直线与y轴交于点(0,4),所以点P(0,4);(3)解法1:由于OP=4,故将抛物线向下平移4个单位时,有OA1+OD1最短;∴,即此时的解析式为;解法2:设抛物线向下平移了m个单位,则A1(-8,-m),D1(-4,6-m),∴令直线为;∵点O为使OA1+OD1最短的点,∴∴m=4,即将抛物线向下平移了4个单位;∴,即此时的解析式为.36.(2022·江西省中考数学样卷(四),24,10)经过原点和(4,0)的两条抛物线,,顶点分别为,且都在第1象限,连结交轴于,且.(1)分别求出抛物线和的解析式;51\n(1)点C是抛物线的轴上方的一动点,作轴于,交抛物线于D,试判断和的数量关系,并说明理由;4G(2)直线,交抛物线于M,交抛物线于N,是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形,若存在,求出的值;若不存在,说明理由..【答案】(1)∵∴(2,3),(2,6).∵过(2,3)和依题意得:解得∴同理(2)证明;设.∵在上,∴∵在上,51\n∴.∴()—()=.∴(3)由于MN∥BT,当假设存在四边形为平行四边形时,则=6.∵∴依题意,得:.=-6,此方程无解,=6,解之得:∴∴存在使得以点为顶点的四边形是平行四边形.37.(2022·江西省2022年中等学校招生统一考试数学样卷(一),24,10)已知抛物线m:,顶点为A,若将抛物线m绕着点(1,0)旋转180°后得到抛物线n,顶点为C.(1)当a=1时.试求抛物线n的顶点C的坐标,再求它的解析式;(2)在(1)中,请你分别在抛物线m、n上各取一点D、B(除点A、C外),使得四边形ABCD为平行四边形(直接写出所取点的坐标,并至少写出二种情况);(3)设抛物线m的对称轴与抛物线n的交点为P,且=6,试求a的值【答案】(1)当a=1时,抛物线m的解析式为,A(-1,-1),当点A(-1,-1)绕着点(1,0)旋转180°后所得点C坐标为(3,1),根据题意,可得抛物线n的解析式为,即.(2)如:D(-2,0)与B(4,0)或D(0,0)与B(2,0)或D(-3,3)与B(5,-3).(答案不唯一)(3)抛物线n的解析式可表示为即,∵A(-1,-1),当x=-1时,y=-a-6a-9a+1=-16a+1,∴,51\n当16a-2=6时,16a=8,a=,当16a-2=-6时,16a=-4,a=,∴或.38.(2022·江西省初三数学七校联考测试卷,25,10)如图,过点E(0,-1)作平行于x轴的直线l,抛物线上的两点A、B的横坐标分别为-1和4,直线AB交y轴于点F,过点A、B分别作直线l的垂线,垂足分别为点C、D,连接CF、DF.(1)求点A、B、F的坐标;(2)求证CF⊥DF;(3)点P是抛物线对称轴右侧图像上的一动点,过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q,是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)∵当x=-1时,y=1/4,x=4时,y=4,∴A(-1,4),B(4,4).把A和B的点坐标代入y=kx+b,K=3/4,b=1.∴y=3x/4+1.当x=0时,y=1,∴F(0,1).(2)∵,,CD=5,∴.51\n∴△CFD为Rt△,∠CFD=90°,即CF⊥DF.(3)∵∠CFD=∠OPQ=90°,∴当∠FCD=∠POG或∠FDC=∠POG时,△CFD和△OPQ相似.设P点坐标为,∴sin∠FCD=sin∠POG或sin∠FDC=sin∠POG,即或.解得a=8或a=2.∴点P的坐标为(8,18),(2,1).39.(2022·山东省青岛市初三模拟试题二,24,12)如图,等边三角形ABC的边长为8cm,动点P从点A出发以2cm/秒的速度沿AC方向向终点C运动,同时动点Q从点C出发以1cm/秒的速度沿CB方向向终点B运动,过点P、Q分别作边AB的垂线段PM、QN,垂足分别为点M、N.设P、Q两点运动时间为t秒(0<t<4),四边形MNQP的面积为Scm2.(1)当点P、Q在运动的过程中,t为何值时,ΔPCQ是直角三角形?(2)求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式.QPCMNABA(3)是否存在某一时刻t,使四边形MNQP的面积S等于△ABC的面积的?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.51\n【答案】(1)点P、Q在运动的过程中,t=时,PQ∥AB当CP=CQ时,PQ∥AB,即8-2t=t解得t=(2)根据题意得,AP=2t,QB=8-t,△APM和△QNB是直角三角形,四边形MNQP是直角梯形.在Rt△APM和Rt△QNB中所以MN=AB-AM-BN=(3)假设存在某一时刻,使四边形MNQP的面积S等于△ABC的面积的,即S=S△ABC整理得:解得,(舍去)答:当时,四边形MNQP的面积S等于△ABC的面积的.40.(2022·湖北省襄阳市普通高中推荐招生考试,20,13)如图,直径为5的⊙M圆心在x轴正半轴上,⊙M和x轴交于A、B两点,和y轴交于C、D两点且CD=4,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点,顶点为N﹒(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式;(2)直线NC与x轴交于点E,试判断直线CN与⊙M的位置关系并说明理由;(3)设点Q是(1)中所求抛物线对称轴上的一点,试问在(1)中所求抛物线上是否存在点P使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由﹒ECxBOADy●MN51\n【答案】(1)连接MC,∵直径AB⊥CD,∴OC=OD=2,又∵MC=AB=2.5在Rt⊿OMC中,OM2=MC2-OC2,∴OM=1.5,OA=1,OB=4,则有A(-1,0),B(4,0),C(0,-2)a-b+c=0,16a+4b+c=0,C=-2.又由题意得y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),点B(4,0)和C(0,-2)三点,解这个方程组得a=,b=-,c=-2.所求抛物线解析式为y=x2-x-2 .                (2)配方得y=(x-)2-.顶点坐标为(,-).      作对称轴MN,过点N作NH⊥轴于H.在△CMN和△CHN中,CN2+CM2=()2+(-2)2+()2=,MN2=()2=∴CN2+CM2=MN2,∴△MCN是直角三角形且∠MCN=900,又∴MC是半径,∴直线CN是⊙M的切线.(3)存在以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形.设P点坐标为(x,y)且在(1)中所求抛物线上,又由题意可知Q点在对称轴直线X=上,∴点Q的横坐标为.分以下三种情况讨论:①当AB为平行四边形的边,点P在对称轴右侧时,QP=x-在平行四边形ABPQ中,AB=QP=5,∴x-=5,∴x=此时y=x2-x-2=∴点P的坐标为(,)      ②当AB为平行四边形边,点P在对称轴左侧时,PQ=-x在平行四边形ABMN中,AB=PQ=5∴-x=5∴x=-此时y=x2-x-2=∴点P的坐标为(-,)      ③当AB为对角线时,51\n点P与抛物线顶点重合此时,点P的坐标为(,-)      综上所述点所求P的坐标为(,)或(-,)或(,-)  41.(2022·云南省楚雄州双柏县中考数学模拟考试,24,12)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.yAOCMBx第41题图(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.【答案】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),则有:yAOCMBxD∴抛物线的解析式y=x2+x﹣4(2)过点M作MD⊥x轴于点D.设M点的坐标为(m,n).则AD=m+4,MD=﹣n,n=m2+m﹣4.∴S=S△AMD+S梯形DMBO-S△ABO=(m+4)(﹣n)+(﹣n+4)(﹣m)-×4×4=﹣2n﹣2m﹣8=﹣2(m2+m﹣4)﹣2m﹣8=﹣m2-4m(-4<m<0)∴S最大值=4(3)满足题意的Q点的坐标有四个,分别是:(-4,4),(4,-4),(-2+,2-),(-2-,2+)42.(2022·湖北省枣阳市中考适应性考试,26,12)如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,直线与x轴,y轴分别交于B,C两点,抛物线经过B,C两点,与x轴的另一个交点为点A,动点P从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动,运动时间为(0<<51\n5)秒.(1)求抛物线的解析式及点A的坐标;(2)以OC为直径的⊙O′与BC交于点M,当t为何值时,PM与⊙O′相切?请说明理由.(3)在点P从点A出发的同时,动点Q从点B出发沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动,动点N从点C出发沿CA以每秒个单位长度的速度向点A运动,运动时间和点P相同.①记△BPQ的面积为S,当t为何值时,S最大,最大值是多少?②是否存在△NCQ为直角三角形的情形,若存在,求出相应的t值;若不存在,请说明理由.OMCBAxyPQNO′•OCBAxy备用图O′•图M【答案】(1)在中,令x=0,得y=9;令y=0,得x=12.∴C(0,9),B(12,0).又抛物线经过B,C两点,∴解得∴.于是令y=0,得,解得x1=-3,x2=12.∴A(-3,0).(2)当t=3秒时,PM与⊙O′相切.连接OM.∵OC是⊙O′的直径,∴∠OMC=90°.∴∠OMB=90°.∵O′O是⊙O′的半径,O′O⊥OP,∴OP是⊙O′的切线.而PM是⊙O′的切线,∴PM=PO.∴∠POM=∠PMO.又∵∠POM+∠OBM=90°,∠PMO+∠PMB=90°,∴∠PMB=∠OBM.∴PM=PB.∴PO=PB=OB=6.∴PA=OA+PO=3+6=9.此时t=3(秒).∴当t=3秒,PM与⊙O′相切.(3)①过点Q作QD⊥OB于点D.∵OC⊥OB,∴QD∥OC.∴△BQD∽△BCO.∴=.又∵OC=9,BQ=3t,BC=15,∴=,解得QD=.∴S△BPQ=BP•QD=.即S=.S=.故当时,S最大,最大值为.51\n②存在△NCQ为直角三角形的情形.∵BC=BA=15,∴∠BCA=∠BAC,即∠NCM=∠CAO.∴△NCQ欲为直角三角形,∠NCQ≠90°,只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°两种情况.当∠NQC=90°时,∠NQC=∠COA=90°,∠NCQ=∠CAO,∴△NCQ∽△CAO.∴=.∴=,解得.当∠QNC=90°时,∠QNC=∠COA=90°,∠QCN=∠CAO,∴△QCN∽△CAO.∴=.∴=,解得.综上,存在△NCQ为直角三角形的情形,t的值为和.43.(2022·浙江省杭州市上城区中考模拟卷,24,12)抛物线与直线y=x+1交于A、C两点,与y轴交于B,AB∥x轴,且,(1)求抛物线的解析式。(2)P为x轴负半轴上一点,以AP、AC为边作,是否存在P,使得Q点恰好在此抛物线上?若存在,请求出P、Q的坐标;若不存在,请说明理由。(3)AD⊥X轴于D,以OD为直径作⊙M,N为⊙M上一动点,(不与O、D重合),过N作AN的垂线交x轴于R点,DN交Y轴于点S,当N点运动时,线段OR、OS是否存在确定的数量关系?写出证明。【答案】(1)(2)联立得A(-2,-1)C(1,2)设P(a,0),则Q(a+3,3)51\n∴∴,∴p或Q或(3)∵△AND~△RON,∴∵△ONS~△DNO,∴∴44.(2022·浙江省宁波市七中保送生推荐考试,26,12)如图,已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,经过A、B、C三点的圆的圆心M(1,m)恰好在此抛物线的对称轴上,⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于D,抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式;(2)设∠DBC=a,∠CBE=b,求sin(a-b)的值;(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,请指出点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)由题意C(0,-3),,∴抛物线的解析式为y=ax2-2ax-3(a>0),过M作MN⊥y轴于N,连结CM,则MN=1,,∴CN=2,于是m=-1.同理可求得B(3,0),∴a×32-2-2a×3-3=0,得a=1,∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.(2)由(1)得A(-1,0),E(1,-4),D(0,1).∴在Rt△BCE中,,,∴,,∴,即51\n,∴Rt△BOD∽Rt△BCE,得∠CBE=∠OBD=b,因此sin(a-b)=sin(∠DBC-∠OBD)=sin∠OBC=.(3)显然Rt△COA∽Rt△BCE,此时点P1(0,0).过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2,由Rt△CAP2∽Rt△BCE,得.过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3,由Rt△P3CA∽Rt△BCE,得P3(9,0).故在坐标轴上存在三个点P1(0,0),P2(0,1∕3),P3(9,0),使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似.45.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】46.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】47.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】48.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】49.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】50.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】51.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】52.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】53.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】51\n54.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】55.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】56.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】57.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】58.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】59.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】60.(2022·××省××市X模,题号,分值)××××××××××××××××【答案】51

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发布时间:2022-08-25 20:35:59 页数:51
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文章作者:U-336598

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