河北省2022年中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第4章图形的初步认识与三角形四边形第6节矩形菱形正方形精讲试题

第六节　矩形、菱形、正方形河北五年中考命题规律年份题号考查点考查内容分值总分20229菱形的性质题目新颖，用排序的方式考查菱形的性质31011正方形的性质以正方形为背景，考查三角形的三边关系216正方形的性质以正四边形、正六边形为背景，求线段的长度218矩形的性质以矩形为背景，考查角平分线、线段的垂直平分线作图方法，求角320226矩形、菱形、正方形的判定以平行四边形为背景考查添加一定条件为特殊平行四边形33202216矩形、正方形的性质以矩形为背景，通过折叠、剪开、拼图，判断面积2220228矩形的性质、正方形的判定及性质将矩形分割成n个三角形，再拼接为满足条件的正方形，求n不能取的值33202211菱形的性质通过菱形对角线平分角的性质判断三角形相似，利用相似三角形的性质求线段长度3612矩形的作法由平行四边形性质判定四边形为平行四边形，再根据矩形性质判断矩形作法是否正确3命题规律矩形、菱形、正方形在近5年河北中考中为常考内容，分值一般为3～10分，题型主要为选择、填空题．纵观河北近五年中考，本课时常考的类型有：(1)矩形的性质及相关计算；(2)菱形的判定及相关计算；(3)正方形性质的相关计算.河北五年中考真题及模拟)3　　　　　　　　　　　　　　　　矩形的性质及判定1．(2022河北中考)关于▱ABCD的叙述，正确的是(　C　)A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形　菱形的判定及相关计算2．(2022河北中考)求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.求证：AC⊥BD.3\n以下是排乱的证明过程：①又BO＝DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB＝AD.证明步骤正确的顺序是(　B　)A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②3．(2022河北中考)如图，在菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB.若NF＝NM＝2，ME＝3，则AN＝(　B　)A．3B．4C．5D．6　正方形性质的相关计算4．(2022河北中考)如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠(　A　)A．2B．3C．4D．5(第4题图)　　　(第5题图)5．如图，边长为12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E，F，G分别在AB，BC，FD上．若BF＝3，则小正方形的边长为(　B　)A.B.C．5D．66．(2022保定育德中学二模)如图，菱形ABCD的周长为12cm，BC的垂直平分线EF经过点A，则对角线BD的长为__3__cm.(第6题图)　　　(第7题图)3\n7．(2022张家口九中一模)如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接EF，则△AEF的面积是__3__．8．(2022唐山中考模拟)如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动(任何一个点到达即停止)，过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中，(1)AE和BF的位置关系为__垂直__；(2)线段MN的最小值为____．,中考考点清单3\n图①　矩形的性质与判定1．定义：把有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．如图①.2．性质文字描述字母表示[参考图①](1)对边平行且相等AD綊BC，AB綊CD(2)四个内角都是直角__∠DAB__＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°(3)两条对角线相等且互相平分AC＝__BD__，OA＝OC＝OB＝OD(4)矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形3.判定文字描述字母表示[参考图①](1)有一个角是直角的平行四边形是矩形若四边形ABCD是平行四边形，且∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形(2)有三个角是直角的四边形是矩形若∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD是矩形(3)对角线相等的平行四边形是矩形若AC＝__BD__，且四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD是矩形　菱形的性质与判定近五年菱形的性质与判定考查3次，题型以选择题、填空题为主，考查形式为利用菱形的相关性质求长度，涉及相似三角形、数轴等，2022年以排序的方式考查菱形的性质，图②2022年首次以图形旋转为背景，在解答题中涉及菱形的判定，2022年在选择题中与相似三角形的判定及性质结合考查求边长．4．定义：把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．如图②.5．性质文字描述字母表示[参考图②](1)菱形四条边都相等AB＝__BC__＝CD＝DA(2)对角相等∠DAB＝∠DCB，∠ADC＝__∠ABC__(3)两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角__AC__⊥BD，∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ACB，∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC(4)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形6.判定文字描述字母表示[参考图②](1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形若四边形ABCD是平行四边形，且AD＝AB，则四边形ABCD是菱形(2)四条边相等的四边形是菱形若AB＝BC＝CD＝DA，则四边形ABCD是菱形若AC⊥BD，且四边形ABCD是平行四边形，\n(3)两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形则四边形ABCD是菱形图③　正方形的性质与判定7．定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．如图③：8．性质文字描述字母表示[参考图③](1)四条边都相等即AB＝BC＝CD＝DA(2)四个角都是90°即∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝90°(3)对角线互相垂直平分且相等即AC⊥__BD__，AO＝OC＝OD＝OB(4)对角线平分一组对角∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ACB＝∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC＝45°(5)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形9.判定文字描述字母表示[参考图③](1)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ADC＝90°，则四边形ABCD是正方形(2)有一个角是直角的__菱形__是正方形若∠ABC＝90°，且四边形ABCD是菱形，则四边形ABCD是正方形(3)有一组邻边相等的矩形是正方形若AB＝BC，且四边形ABCD是矩形，则四边形ABCD是正方形(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形若四边形ABCD中，AC⊥BD，AC平分BD，BD平分AC，AC＝BD，则四边形ABCD是正方形易错　对特殊的平行四边形的判定理解不透彻【例】如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，P，Q分别是BM，DN的中点．(1)求证：△MBA≌△NDC；(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？【答案】解：(1)在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.∵M，N分别是AD，BC的中点，∴AM＝AD，CN＝BC，∴AM＝CN.在△MAB和△NCD中，∴△MAB≌△NCD；(2)四边形MPNQ是菱形．理由如下：连接AP，易证A，P，N三点共线，且△ABN≌△BAM，∴AN＝BM.∵△MAB≌△NCD，∴BM＝DN.\n∵P，Q分别是BM，DN的中点，∴PM＝NQ，DQ＝BP，又易知DM＝BN，∠MDQ＝∠NBP，∴△MQD≌△NPB，∴MQ＝NP，∴四边形MPNQ是平行四边形．∵M是AD的中点，Q是DN的中点，∴MQ＝AN，∴MQ＝BM.∵P是BM的中点，∴MP＝BM，∴MP＝MQ，∴四边形MQNP是菱形．,中考重难点突破　　　　　　　　　　　　　　　　矩形的性质与判定【例1】(白银中考)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.(1)线段BD与CD有何数量关系，为什么？(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．【解析】(1)利用FA∥DC，证明△AFE≌△DCE；(2)由(1)，可知四边形AFBD为平行四边形且D为BC中点，只需证明AD⊥BC即可．【答案】解：(1)BD＝CD.理由如下：∵AF∥CB，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE.又E是AD的中点，∴AE＝DE.∴△AFE≌△DCE(AAS)．∴AF＝DC.又AF＝BD，∴BD＝CD；(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.又AF＝BD，且AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∴四边形AFBD是矩形．1．(2022衢州中考)如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于(　B　)A.B.C.D.\n　菱形的性质与判定【例2】(贵阳中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，DC.(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．【解析】根据旋转，可得AE＝CE，DE＝EF，可判定四边形ADCF是平行四边形，然后证明DF⊥AC，可得四边形ADCF是菱形；(2)首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义，可得AD＝5，根据菱形的性质，可得AF＝FC＝AD＝5，进而可得答案．【答案】解：(1)∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，∴AE＝CE，DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形．∵D，E分别为AB，AC边上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC.∵∠ACB＝90°，∴∠AED＝90°，DF⊥AC，∴四边形ADCF是菱形；(2)在Rt△ABC中，BC＝8，AC＝6，∴AB＝10.∵D是AB中点，∴AD＝5.∵四边形ADCF是菱形，∴AF＝CF＝AD＝5，∴四边形ABCF周长为8＋10＋5＋5＝28.2．(2022宁波中考)如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为__－1__．　正方形的性质与判定【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为点F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．【解析】(1)先证出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；(2)证出四边形BECD是平行四边形，证出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可；(3)求出∠CDB＝90°，再根据正方形的判定推出即可．【答案】解：(1)∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD；(2)四边形BECD是菱形．理由如下：∵D为AB中点，∴AD＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB中点，\n∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形；(3)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．理由如下：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC.∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴菱形BECD是正方形，∴当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．3．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于____．