泰安专版2022版中考数学第一部分基础知识过关第四章图形的初步认识与三角形第14讲三角形及其性质精练

第14讲　三角形及其性质A组　基础题组一、选择题1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C等于(　　)A.45°B.60°C.75°D.90°2.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(　　)A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点3.下列说法错误的是(　　)A.三角形三条中线交于三角形内一点B.三角形三条角平分线交于三角形内一点C.三角形三条高交于三角形内一点D.三角形的中线、角平分线、高都是线段4.在△ABC中,AB=4a,BC=14,AC=3a,则a的取值范围是　(　　)A.a>2B.2<a<14C.7<a<14D.a<145.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P(　　)8\nA.有且只有1个B.有且只有2个C.组成∠E的角平分线D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)6.在△ABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,则BC的长是(　　)A.14B.4C.14或4D.以上都不对二、填空题7.(2022滨州)在△ABC中,若∠A=30°,∠B=50°,则∠C=　　　　. 8.(2022枣庄)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中,给出了著名的秦九韶公式,也叫三斜求积公式,即如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,则该三角形的面积为S=14a2b2-a2+b2-c222.现已知△ABC的三边长分别为1,2,5,则△ABC的面积为　　　　. 9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E,F分别为AB,AC,BC的中点.若CD=5,则EF的长为　　　　. 10.已知:a、b、c是△ABC的三边长,且M=(a+b+c)(a+b-c)(a-b-c),那么M　　　　0.(填“>”“<”或“=”) 三、解答题11.一个飞机零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B,∠D应分别是20°和30°,康师傅量得∠BCD=143°,就能断定这个零件不合格,你能说出其中的道理吗?8\n12.已知∠ABC=90°,D是直线AB上的点,AD=BC.(1)如图1,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断△CDF的形状并证明;(2)如图2,E是直线BC上一点,且CE=BD,直线AE、CD相交于点P,∠APD的度数是一个固定的值吗?若是,请求出它的度数;若不是,请说明理由.B组　提升题组　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题1.已知锐角三角形的边长分别是2,3,x,那么x的取值范围是(　　)A.1<x<5B.5<x<13C.13<x<5D.5<x<152.(2022浙江湖州)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=6,点P是Rt△ABC的重心,则点P到AB所在直线的距离等于(　　)A.1B.2C.32D.2二、填空题3.如图,平面上直线a,b分别经过线段OK的两个端点(如图),则a,b相交所成的锐角是　　　　. 8\n4.如图所示,AB=BC=CD=DE=EF=FG,∠1=130°,则∠A=　　　　°. 5.如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,已知AC=5,AD=4,则AB的取值范围是　　　　. 对比训练　上题中若作修改“AC=5,AB=4,求AD的取值范围”,怎样计算?三、解答题6.已知∠MON=40°,OE平分∠MON,点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点(A、B、C不与点O重合),连接AC交射线OE于点D.设∠OAC=x°.(1)如图1,若AB∥ON,则①∠ABO的度数是　　　　; ②当∠BAD=∠ABD时,x=　　　　; ③当∠BAD=∠BDA时,x=　　　　; (2)如图2,若AB⊥OM,则是否存在这样的x值,使得△ADB中有两个相等的角?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由.8\n第14讲　三角形及其性质A组　基础题组一、选择题1.C　180°×53+4+5=180°×512=75°,即∠C=75°.故选C.2.D　3.C　4.B　5.D　6.C二、填空题7.答案　100°解析　∵在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,∴∠C=180°-30°-50°=100°.故答案为100°.8.答案　1解析　∵S=14a2b2-a2+b2-c222,△ABC的三边长分别为1,2,5,则△ABC的面积为:∴S△ABC=1412×22-12+22-(5)222=1,故答案为1.9.答案　5解析　∵△ABC是直角三角形,CD是斜边的中线,∴CD=12AB,∴AB=2CD=2×5=10,又∵EF是△ABC的中位线,∴EF=12×10=5.10.答案　<解析　根据三角形的三边关系可得,a+b+c>0,a+b-c>0,a-b-c<0,由实数运算得M<0.三、解答题11.解析　能.理由如下:延长DC与AB相交于点E.易知∠BED=∠D+∠A=120°,8\n∵∠BCD=∠B+∠BED=130°≠143°.∴这个零件不合格.12.解析　(1)△CDF是等腰直角三角形.证明如下:∵AF⊥AD,∠ABC=90°,∴∠FAD=∠DBC.在△FAD与△DBC中,AD=BC,∠FAD=∠DBC,AF=BD,∴△FAD≌△DBC(SAS),∴FD=DC,∴△CDF是等腰三角形.易知∠BDC+∠DCB=90°,∠FDA=∠DCB.∴∠BDC+∠FDA=90°,即∠FDC=90°,∴△CDF是等腰直角三角形.(2)∠APD的度数是一个固定的值.理由如下:如图,作AF⊥AB于A,且AF=BD,连接DF,CF.由(1)得△CDF是等腰直角三角形,∴∠FCD=45°.由题意得AF∥CE,且AF=BD=CE,∴四边形AFCE是平行四边形,∴AE∥CF,∴∠APD=∠FCD=45°.B组　提升题组一、选择题1.B　因为32-22=5,32+22=13,所以5<x2<13,即5<x<13.故选B.2.A　连接CP并延长,交AB于点D.8\n∵P是Rt△ABC的重心,∴CD是Rt△ABC的中线,∴PD=13CD.∵∠ACB=90°,∴CD=12AB=3,∴PD=13CD=1,∵AC=BC,CD是Rt△ABC的中线,∴CD⊥AB.∴点P到AB所在直线的距离等于1.故选A.二、填空题3.答案　30°解析　由三角形的外角性质得,a,b相交所成的锐角的度数是100°-70°=30°,故答案为30°.4.答案　10解析　设∠A=x°,根据三角形两内角之和等于第三个角的外角、等腰三角形的性质,知∠ACB为x°,∴∠CBD=∠CDB=2x°,∴∠DCE=∠DEC=3x°,同理可得:∠EDF=∠EFD=4x°,∠FEG=∠FGE=5x°,∵∠1+∠FGE=180°,∴∠FGE=50°,∠A=10°.5.答案　3<AB<13解析　如图,过点B作平行于AC的直线,与AD的延长线交于点E,则△ACD≌△EBD,∴AD=ED,AC=EB,∵AC=5,AD=4,∴在△ABE中,AE=8,BE=AC=5,∴3<AB<13.对比训练　12<AD<92三、解答题6.解析　(1)①∵∠MON=40°,OE平分∠MON,8\n∴∠AOB=∠BON=20°.∵AB∥ON,∴∠ABO=∠BON=20°.②∵∠BAD=∠ABD,∴∠BAD=20°.∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°,∴∠OAC=120°.③∵∠BAD=∠BDA,∠ABO=20°.∴∠BAD=80°.∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°,∴∠OAC=60°.故答案为①20°;②120;③60.(2)存在.理由如下:①当点D在线段OB上时,若∠BAD=∠ABD,则x=20;若∠BAD=∠BDA,则x=35;若∠ADB=∠ABD,则x=50;②当点D在射线BE上时,因为∠ABE=110°,且三角形的内角和为180°,所以只有∠BAD=∠BDA,此时x=125.综上可知,当x=20、35、50、125时,存在这样的x值,使得△ADB中有两个相等的角.8