泰安专版2022版中考数学第一部分基础知识过关第四章图形的初步认识与三角形第18讲直角三角形与三角函数精练

第18讲　直角三角形与三角函数A组　基础题组一、选择题1.(2022日照)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,则sinA的值为(　　)A.513B.1213C.512D.1252.(2022滨州)在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为　(　　)A.5B.6C.7D.83.(2022临沂)如图,利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2m,测得AB=1.6m.BC=12.4m.则建筑物CD的高是(　　)A.9.3mB.10.5mC.12.4mD.14m4.(2022泰山模拟)直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将△ABC如图那样折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值是(　　)A.247B.73C.724D.1312\n5.如图,斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2,AC=35米,坡顶有旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连.若AB=10米,则旗杆BC的高度为(　　)A.5米B.6米C.8米D.(3+5)米二、填空题6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=7,则sinB=　　　　. 7.(2022泰安模拟)如图,是矗立在泰安岱庙前的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌的高CD为　　米(结果精确到0.1米,参考数据:2≈1.41,3≈1.73).　 8.(2022德州)如图,在4×4的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点.△ABC的顶点都在格点上,则∠BAC的正弦值是　　　　. 三、解答题9.(2022东营)关于x的方程2x2-5xsinA+2=0有两个相等的实数根,其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角.(1)求sinA的值;(2)若关于y的方程y2-10y+k2-4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长,求△ABC的周长.12\nB组　提升题组　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题1.如图,在矩形ABCD中,BC=6,CD=3,将△BCD沿对角线BD翻折,点C落在点C'处,BC'交AD于点E,则线段DE的长为(　　)A.3B.154C.5D.1522.(2022枣庄)如图,在矩形ABCD中,点E是边BC的中点,AE⊥BD,垂足为F,则tan∠BDE的值是(　　)A.24B.14C.13D.23二、填空题3.如图,一只蚂蚁沿着棱长为2的正方体表面从点A出发,经过3个面爬到点B,如果它运动的路径是最短的,则AC的长为　　　　. 12\n4.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=90°,直线l1∥l2∥l3,l1与l2之间距离是1,l2与l3之间距离是2.且l1、l2、l3分别经过点A、B、C,则边AC的长为　　　　. 三、解答题5.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,点P是AB边上一点(不与A,B重合),连接CP,过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q,连接CQ.(1)当△CDQ≌△CPQ时,求AQ的长;(2)取CQ的中点M,连接MD,MP,若MD⊥MP,求AQ的长.6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8cm,AD=12cm,BC=18cm,点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动,点P从点A出发的同时点Q从点C出发,以1cm/s的速度向点B运动,当点P到达点C时,点Q也停止运动.设点P,Q运动的时间为t秒.从运动开始,当t取何值时,△PQC为直角三角形?12\n第18讲　直角三角形与三角函数A组　基础题组一、选择题1.B　在Rt△ABC中,由勾股定理得BC=AB2-AC2=12,∴sinA=BCAB=1213.故选B.2.A　∵在直角三角形中,勾为3,股为4,∴弦为32+42=5.故选A.3.B　∵EB∥CD,∠A=∠A,∴△ABE∽△ACD,∴ABAC=BECD,即1.61.6+12.4=1.2CD,∴CD=10.5m.故选B.4.C　根据题意可知BE=AE.设CE=x,则BE=AE=8-x.在Rt△BCE中,根据勾股定理得BE2=BC2+CE2,即(8-x)2=62+x2,解得x=74.∴tan∠CBE=CECB=746=724.故选C.5.A　设CD=x米,则AD=2x米,由勾股定理可得,AC=x2+(2x)2=5x米.∵AC=35米,12\n∴5x=35,∴x=3,即CD=3米,∴AD=2×3=6米.在Rt△ABD中,BD=102-62=8米,∴BC=8-3=5米.故选A.二、填空题6.答案　713解析　∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=7,∴sinB=ACAB=713.7.答案　2.9解析　由题意可得:∵AM=4米,∠MAD=45°,∴DM=4米,∵AM=4米,AB=8米,∴MB=12米,∵∠MBC=30°,∴BC=2MC,∴MC2+MB2=(2MC)2,MC2+122=(2MC)2,∴MC=43≈6.92(米),CD=MC-4≈2.9米.8.答案　55解析　∵AB2=32+42=25,AC2=22+42=20,BC2=12+22=5,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°,则sin∠BAC=BCAB=55.三、解答题9.解析　(1)∵关于x的方程2x2-5xsinA+2=0有两个相等的实数根,∴Δ=25sin2A-16=0,∴sin2A=1625,12\n∴sinA=±45,∵∠A为锐角,∴sinA=45.(2)由题意知,方程y2-10y+k2-4k+29=0有两个实数根,则Δ≥0,∴100-4(k2-4k+29)≥0,∴-(k-2)2≥0,∴(k-2)2≤0,又∵(k-2)2≥0,∴k=2.把k=2代入方程,得y2-10y+25=0,解得y1=y2=5,∴△ABC是等腰三角形,且腰长为5.分两种情况:①∠A是顶角时:如图1,过点B作BD⊥AC于点D,在Rt△ABD中,AB=AC=5,∵sinA=45,∴AD=3,BD=4,∴DC=2,∴BC=25.∴△ABC的周长为10+25.②∠A是底角时:如图2,过点B作BD⊥AC于点D,在Rt△ABD中,AB=5,∵sinA=45,∴AD=DC=3,∴AC=6.12\n∴△ABC的周长为16.综上,△ABC的周长为10+25或16.B组　提升题组一、选择题1.B　设ED=x,则AE=6-x.∵四边形ABCD为矩形,∴AD∥BC,∴∠EDB=∠DBC.由题意得:∠EBD=∠DBC,∴∠EDB=∠EBD,∴EB=ED=x.由勾股定理得:BE2=AB2+AE2,即x2=32+(6-x)2,解得:x=154,∴ED=154.故选B.2.A　∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AD∥BC,∵点E是边BC的中点,∴BE=12BC=12AD,∴△BEF∽△DAF,∴EFAF=BEAD,∴EF=12AF,∴EF=13AE,∵点E是边BC的中点,∴由矩形的对称性得:AE=DE,12\n∴EF=13DE,设EF=x,则DE=3x,∴DF=DE2-EF2=22x,∴tan∠BDE=EFDF=x22x=24.故选A.二、填空题3.答案　2103解析　将正方体展开,右边与后面的正方形及前面正方形放在一个面上,展开图如图所示,此时AB最短,∵△BCM∽△ACN,∴MBAN=MCNC,即42=MCNC=2,即MC=2NC,∴CN=13MN=23,在Rt△ACN中,根据勾股定理得:AC=AN2+CN2=2103.4.答案　2321解析　过点B作DE⊥l2,交l1于D,交l3于E,如图,∵DE⊥l2,l1∥l2∥l3,∴DE⊥l1,DE⊥l3,∴∠ABD+∠DAB=90°,∠ADB=∠BEC=90°,又∵∠ABC=90°,∴∠ABD+∠EBC=90°,∴∠DAB=∠EBC,在△ABD和△BCE中,∠ADB=∠BEC,∠DAB=∠EBC,12\n∴△ABD∽△BCE,∴ECDB=EBDA=BCAB.在△ABC中,∠BAC=60°,tan∠BAC=BCAB=3,∴ECDB=EBDA=BCAB=3,∵DB=1,BE=2,∴EC=3,AD=233.在Rt△ABD中,AD=233,DB=1,∴AB2=73,EC=3,BE=2,在Rt△BCE中,∴BC2=7,∴AC2=BC2+AB2=7+73=283.∴AC=2321.三、解答题5.解析　(1)∵△CDQ≌△CPQ,∴DQ=PQ,PC=DC,∵AB=DC=5,AD=BC=3,∴PC=5,在Rt△PBC中,PB=PC2-BC2=4,∴PA=AB-PB=5-4=1,设AQ=x,则DQ=PQ=3-x,在Rt△PAQ中,(3-x)2=x2+12,解得x=43,∴AQ=43.(2)如图,过M作EF⊥CD于F,12\n则EF⊥AB,∵MD⊥MP,∴∠PMD=90°,∴∠PME+∠DMF=90°,∵∠FDM+∠DMF=90°,∴∠MDF=∠PME,∵M是QC的中点,∴DM=PM=12QC,在△MDF和△PME中,∠MDF=∠PME,∠DFM=∠MEP,DM=PM,∴△MDF≌△PME(AAS),∴DF=ME,MF=PE,∵EF⊥CD,AD⊥CD,∴EF∥AD,∵QM=MC,∴DF=CF=12DC=52,∴ME=52,∵ME是梯形ABCQ的中位线,∴2ME=AQ+BC,即5=AQ+3,∴AQ=2.6.解析　过P点作PE⊥BC于E,过D点作DF⊥BC于F,∴DF=AB=8cm.FC=BC-AD=18-12=6cm.①当PQ⊥BC时,12\nBE+CE=18cm.即2t+t=18,∴t=6;②当QP⊥PC时,当P在DC边上时,可得PC=22-2t,QC=t,此时满足22-2tt=610,则t=11013.当P在AD边上时,CE=BC-2t=(18-2t)cm,PE=8cm,QE=t-CE=(3t-18)cm,易知PE2=QE·CE,∴64=(3t-18)(18-2t),无解.③当PC⊥BC时,因为∠DCB<90°,所以此种情形不存在.∴当t=6或11013时,△PQC是直角三角形.12