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指数函数概念:一般地,函数y=a^x(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R。注意:⒈指数函数对外形要求严格,前系数要为1,否则不能为指数函数。⒉指数函数的定义仅是形式定义。指数函数的图像与性质:规律:1.当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性。2.当a>1时,底数越大,图像上升的越快,在y轴的右侧,图像越靠近y轴;当0<a<1时,底数越小,图像下降的越快,在y轴的左侧,图像越靠近y轴。在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。93.四字口诀:“大增小减”。即:当a>1时,图像在R上是增函数;当0<a<1时,图像在R上是减函数。4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数。比较幂式大小的方法:1.当底数相同时,则利用指数函数的单调性进行比较;2.当底数中含有字母时要注意分类讨论;3.当底数不同,指数也不同时,则需要引入中间量进行比较;4.对多个数进行比较,可用0或1作为中间量进行比较底数的平移: 在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=ax在定义域(-∞,+∞)上是单调函数,所以它存在反函数,我们把指数函数y=ax(a>0,a≠1)的反函数称为对数函数,并记为y=logax(a>0,a≠1).因为指数函数y=ax的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),所以对数函数y=logax的定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数,因此它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画出对数函数的图像,并推知它的性质.为了研究对数函数y=logax(a>0,a≠1)的性质,我们在同一直角坐标系中作出函数y=log2x,y=log10x,y=log10x,y=logx,y=logx的草图9由草图,再结合指数函数的图像和性质,可以归纳、分析出对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图像的特征和性质.见下表.图象a>1a<1性质(1)x>0(2)当x=1时,y=0(3)当x>1时,y>00<x<1时,y<0(3)当x>1时,y<00<x<1时,y>0(4)在(0,+∞)上是增函数(4)在(0,+∞)上是减函数补充性质设y1=logaxy2=logbx其中a>1,b>1(或0<a<10<b<1)当x>1时“底大图低”即若a>b则y1>y2当0<x<1时“底大图高”即若a>b,则y1>y2比较对数大小的常用方法有:(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同,则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同,则常借助1、0、-1等中间量进行比较.93.指数函数与对数函数对比名称指数函数对数函数一般形式y=ax(a>0,a≠1)y=logax(a>0,a≠1)定义域(-∞,+∞)(0,+∞)值域(0,+∞)(-∞,+∞)函数值变化情况当a>1时,当0<a<1时,当a>1时当0<a<1时,单调性当a>1时,ax是增函数;当0<a<1时,ax是减函数.当a>1时,logax是增函数;当0<a<1时,logax是减函数.图像y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称.幂函数幂函数的图像与性质幂函数随着的不同,定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质和图像分类记忆的方法.熟练掌握,当的图像和性质,列表如下.从中可以归纳出以下结论:①它们都过点,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限.②时,幂函数图像过原点且在上是增函数.③时,幂函数图像不过原点且在上是减函数.④何两个幂函数最多有三个公共点.9奇函数偶函数非奇非偶函数OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy定义域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减幂函数(R,是常数)的图像在第一象限的分布规律是:①所有幂函数(R,是常数)的图像都过点;②当时函数的图像都过原点;③当时,的的图像在第一象限是第一象限的平分线(如);9④当时,的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如)⑤当时,的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如)⑥当时,的的图像不过原点,且在第一象限是“下滑”曲线(如)当时,幂函数有下列性质:(1)图象都通过点;(2)在第一象限内都是增函数;(3)在第一象限内,时,图象是向下凸的;时,图象是向上凸的;(4)(在第一象限内,过点后,图象向右上方无限伸展。当时,幂函数有下列性质:1)图象都通过点;2)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的;3)在第一象限内,图象向上与轴无限地接近;向右无限地与轴无限地接近;4)在第一象限内,过点后,越大,图象下落的速度越快。无论取任何实数,幂函数的图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。对号函数函数(a>0,b>0)叫做对号函数,因其在(0,+∞)的图象似符号“√”而得名,利用对号函数的图象及均值不等式,当x>0时,(当且仅当即时取等号),由此可得函数(a>0,b>0,x∈R+)的性质:9当时,函数(a>0,b>0,x∈R+)有最小值,特别地,当a=b=1时函数有最小值2。函数(a>0,b>0)在区间(0,)上是减函数,在区间(,+∞)上是增函数。因为函数(a>0,b>0)是奇函数,所以可得函数(a>0,b>0,x∈R-)性质:当时,函数(a>0,b>0,x∈R-)有最大值-,特别地,当a=b=1时函数有最大值-2。函数(a>0,b>0)在区间(-∞,-)上是增函数,在区间(-,0)上是减函奇函数和偶函数如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值,都有f(-x)=-(x).那么就称f(x)为奇函数.如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值,都有f(-x)=f(x),那么就称f(x)为偶函数.说明:(1)由奇函数、偶函数的定义可知,只有当f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间时,才有可能是奇 (2)判断是不是奇函数或偶函数,不能轻率从事,例如判断f(x)是不易的.为了便于判断有时可采取如下办法:计算f(x)+f(-x),视其结果而说明是否是奇函数.用这个方法判断此函数较为方便:f(x) (3)判断函数的奇偶性时,还应注意是否对定义域内的任何x值,当x≠0时,显然有f(-x)=-f(x),但当x=0时,f(-x)=f(x)=1,∴f(x)为非奇非偶函数. (4)奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形;偶函数的图象特征是关于y轴为对称轴的对称图形. (5)函数的单调性与奇偶性综合应用时,尤其要注意由它们的定义出发来进行论证. 例如果函数f(x)是奇函数,并且在(0,+∞)上是增函数,试判断在(-∞,0)上的增减性. 解设x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2<0 则有-x1>-x2>0, ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(-x1)>f(-x2) 又∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(x)对任意x成立,9 ∴=-f(x1)>-f(x2) ∴f(x1)<f(x2). ∴f(x)在(-∞,0)上也为增函数. 由此可得出结论:一个奇函数若在(0,+∞)上是增函数,则在(-∞,0)上也必是增函数,即奇函数在(0,+∞)上与(-∞,0)上的奇偶性相同. 类似地可以证明,偶函数在(0,+∞)和(-∞,0)上的奇偶性恰好相反.时,f(x)的解析式 解∵x<0,∴-x>0. 又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).偶函数图象对称性的拓广与应用 我们知道,如果对于函数y=f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数y=f(x)就叫做偶函数.偶函数的图象关于y轴对称,反之亦真.由此可拓广如下: 如果存在常数a,b,对于函数y=f(x)定义域内任意一个x,a+x,b-x仍在 (a+b-x,f(x)),而f(a+b-x)=f[a+(b-x)]=f[b-(b-x)]=f(x),对称点P'(a+b-x, 称: 99
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