2021年云南省中考数学试卷

2021年云南省中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）1．（4分）（2021•云南）某地区2021年元旦的最高气温为，最低气温为，那么该地区这天的最低气温比最高气温低　　A．B．C．D．2．（4分）（2021•云南）如图，直线与直线、都相交．若，，则　　A．B．C．D．3．（4分）（2021•云南）一个10边形的内角和等于　　A．B．C．D．4．（4分）（2021•云南）在中，．若，，则的长是　　A．B．C．60D．805．（4分）（2021•云南）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　A．B．C．且D．且6．（4分）（2021•云南）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第第33页（共33页）\n个单项式是　　A．B．C．D．7．（4分）（2021•云南）如图，等边的三个顶点都在上，是的直径．若，则劣弧的长是　　A．B．C．D．8．（4分）（2021•云南）2020年以来，我国部分地区出现了新冠疫情．一时间，疫情就是命令，防控就是责任，一方有难八方支援．某公司在疫情期间为疫区生产、、、四种型号的帐篷共20000顶，有关信息见如下统计图：下列判断正确的是　　A．单独生产型帐篷的天数是单独生产型帐篷天数的3倍B．单独生产型帐篷的天数是单独生产型帐篷天数的1.5倍C．单独生产型帐篷与单独生产型帐篷的天数相等第33页（共33页）\nD．每天单独生产型帐篷的数量最多二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）（2021•云南）已知，都是实数．若，则　　．10．（3分）（2021•云南）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为　　．11．（3分）（2021•云南）如图图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．已知主视图和左视图是两个全等的矩形．若主视图的相邻两边长分别为2和3，俯视图是直径等于2的圆，则这个几何体的体积为　　．12．（3分）（2021•云南）如图，在中，点，分别是，的中点，与相交于点．若，则的长是　　．13．（3分）（2021•云南）分解因式：　　．14．（3分）（2021•云南）已知的三个顶点都是同一个正方形的顶点，第33页（共33页）\n的平分线与线段交于点．若的一条边长为6，则点到直线的距离为　　．三、解答题（本大题共9小题，共70分）15．（6分）（2021•云南）计算：．16．（6分）（2021•云南）如图，在四边形中，，，与相交于点．求证：．17．（8分）（2021•云南）垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染、美化家园，甚至能够变废为宝、节约资源．为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某中学组织全校1565名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”（满分为100分）．该校数学兴趣小组为了解全校学生竞赛分数情况，采用简单随机抽样的方法（即每名学生的竞赛分数被抽到的可能性相等的抽样方法）抽取部分学生的竞赛分数进行调查分析．（1）以下三种抽样调查方案：方案一：从七年级、八年级、九年级中指定部分学生的竞赛分数作为样本；方案二：从七年级、八年级中随机抽取部分男生的竞赛分数以及在九年级中随机抽取部分女生的竞赛分数作为样本；方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本．第33页（共33页）\n其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是　　（填写“方案一”、“方案二”或“方案三”；（2）该校数学兴趣小组根据简单随机抽样方法获得的样本，绘制出如下统计表分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”，学生竞赛分数记为分）样本容量平均分及格率优秀率最高分最低分10083.5910052分数段频数57183040结合上述信息解答下列问题：①样本数据的中位数所在分数段为　　；②全校1565名学生，估计竞赛分数达到“优秀”的学生有　　人．18．（6分）（2021•云南）“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措．机场、车站、出租车、景区、手机短信，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质．刚刚过去的“五一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年5月1日租用、两种客房一天，供当天使用．下面是有关信息：第33页（共33页）\n请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的、两种客房每间客房的租金，19．（7分）（2021•云南）为庆祝中国共产党成立100周年，某市组织该市七、八两个年级学生参加演讲比赛，演讲比赛的主题为“追忆百年历程，凝聚青春力量”．该市一中学经过初选，在七年级选出3名同学，其中2名女生，分别记为、，1名男生，记为；在八年级选出3名同学，其中1名女生，记为，2名男生，分别记为、．现分别从两个年级初选出的同学中，每个年级随机选出一名同学组成代表队参加比赛．（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求所有可能出现的代表队总数；（2）求选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率．20．（8分）（2021•云南）如图，四边形是矩形，、分别是线段、上的点，点是与的交点．若将沿直线折叠，则点与点重合．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的值．第33页（共33页）\n21．（8分）（2021•云南）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只付销售提成；方案二：底薪加销售提成．如图中的射线，射线分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资（单位：元）和（单位：元）与其当月鲜花销售量（单位：千克）的函数关系．（1）分别求、与的函数解析式（解析式也称表达式）；（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？22．（9分）（2021•云南）如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且．第33页（共33页）\n（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．23．（12分）（2021•云南）已知抛物线经过点，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．设是抛物线与轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，．（1）求、的值；（2）求证：；（3）以下结论：，，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．第33页（共33页）\n2021年云南省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）1．（4分）（2021•云南）某地区2021年元旦的最高气温为，最低气温为，那么该地区这天的最低气温比最高气温低　　A．B．C．D．【分析】根据题意，列出减法算式计算即可．【解答】解：，故选：．【点评】本题考查了有理数的减法的应用，解题的关键是：减去一个数等于加上这个数的相反数．2．（4分）（2021•云南）如图，直线与直线、都相交．若，，则　　A．B．C．D．【分析】由对顶角相等可得，，又，由两直线平行，同位角相等可得，第33页（共33页）\n．【解答】解：如图，，和是对顶角，，，．故选：．【点评】本题主要考查平行线的性质，对顶角相等等内容，题目比较简单，掌握相关定理可快速解答．3．（4分）（2021•云南）一个10边形的内角和等于　　A．B．C．D．【分析】根据多边形的内角和等于即可得解．【解答】解：根据多边形内角和公式得，10边形的内角和等于：，故选：．【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．第33页（共33页）\n4．（4分）（2021•云南）在中，．若，，则的长是　　A．B．C．60D．80【分析】利用三角函数定义计算出的长，然后再利用勾股定理计算出长即可．【解答】解：，，，，故选：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握正弦定义．5．（4分）（2021•云南）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　A．B．C．且D．且【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式△，，继而可求得的范围．【解答】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，，△，解得：，第33页（共33页）\n故选：．【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得△．6．（4分）（2021•云南）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是　　A．B．C．D．【分析】观察字母的系数、次数的规律即可写出第个单项式．【解答】解：第1个单项式，第2个单项式，第3个单项式，第4个单项式，第为正整数）个单项式为，故选：．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是分别从系数、字母指数寻找其与序数间的规律．7．（4分）（2021•云南）如图，等边的三个顶点都在上，是的直径．若，则劣弧的长是　　第33页（共33页）\nA．B．C．D．【分析】连接、，由等边，可得，且，故是等边三角形，，又半径，根据弧长公式即可得劣弧的长．【解答】解：连接、，如图：等边，，弧弧，，，是等边三角形，，半径，劣弧的长为，第33页（共33页）\n故选：．【点评】本题考查等边三角形及圆的弧长，解题的关键是掌握弧长公式并能熟练应用．8．（4分）（2021•云南）2020年以来，我国部分地区出现了新冠疫情．一时间，疫情就是命令，防控就是责任，一方有难八方支援．某公司在疫情期间为疫区生产、、、四种型号的帐篷共20000顶，有关信息见如下统计图：下列判断正确的是　　A．单独生产型帐篷的天数是单独生产型帐篷天数的3倍B．单独生产型帐篷的天数是单独生产型帐篷天数的1.5倍C．单独生产型帐篷与单独生产型帐篷的天数相等D．每天单独生产型帐篷的数量最多【分析】由条形统计图可得生产四种型号的帐篷的数量，分别求出四种帐篷所需天数即可判断各选项．【解答】解：、单独生产帐篷所需天数为（天，单独生产帐篷所需天数为（天，单独生产型帐篷的天数是单独生产型帐篷天数的4倍，此选项错误；、单独生产帐篷所需天数为（天，单独生产型帐篷的天数是单独生产型帐篷天数的2倍，此选项错误；第33页（共33页）\n、单独生产帐篷所需天数为（天，单独生产型帐篷与单独生产型帐篷的天数相等，此选项正确；、单由条形统计图可得每天单独生产型帐篷的数量最多，此选项错误；故选：．【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图的综合运用，解题关键在于结合两个统计图，找到总数与各部分的关系．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）（2021•云南）已知，都是实数．若，则　　．【分析】根据两个非负数的和是0，因而两个非负数同时是0，即可求解．【解答】解：，，，，，解得，，．故答案为：．【点评】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．10．（3分）（2021•云南）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为　　．【分析】先设，再把已知点的坐标代入可求出值，即得到反比例函数的解析式．【解答】解：设，第33页（共33页）\n把点代入函数得，则反比例函数的解析式为，故答案为．【点评】主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．11．（3分）（2021•云南）如图图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．已知主视图和左视图是两个全等的矩形．若主视图的相邻两边长分别为2和3，俯视图是直径等于2的圆，则这个几何体的体积为　　．【分析】由三视图得此几何体为：圆柱，并得到球的半径、圆柱的底面半径和高，由体积公式计算出几何体的体积．【解答】解：由三视图知几何体为圆柱，且底面圆的半径是1，高是3，这个几何体的体积为：．故选．【点评】本题考查由三视图求体积，解题的关键是熟练掌握三视图的作图规则，由三视图还原出实物图的几何特征第33页（共33页）\n12．（3分）（2021•云南）如图，在中，点，分别是，的中点，与相交于点．若，则的长是　9　．【分析】由题意可知，是的中线，则，且，可得，代入的长，可求出的长，进而求出的长．【解答】解：如图，在中，点，分别是，的中点，，且，，，．．故答案为：9．【点评】本题主要考查三角形中位线，平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识是解题基础．13．（3分）（2021•云南）分解因式：　　．【分析】应先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：，第33页（共33页）\n，．故答案为：．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．14．（3分）（2021•云南）已知的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点．若的一条边长为6，则点到直线的距离为　或3或或　．【分析】分两种情况：①当为直角顶点时，过作于，由和是等腰直角三角形可得，故，若，则，即点到直线的距离为；若，则点到直线的距离为3；②当不是直角顶点时，过作于，由是等腰直角三角，得，证明，有，若时，则此时点到直线的距离为；若，则此时点到直线的距离为．【解答】解：①当为直角顶点时，过作于，如图：第33页（共33页）\n的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点，是等腰直角三角形，，，和是等腰直角三角形，，，若，则，此时，即点到直线的距离为；若，则，即点到直线的距离为3；②当不是直角顶点时，过作于，如图：的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点，是等腰直角三角，，在和中，，第33页（共33页）\n，，若时，，，，，即此时点到直线的距离为；若，则，，，，即此时点到直线的距离为；综上所述，点到直线的距离为或3或或．故答案为：或3或或．【点评】本题考查正方形、等腰直角三角形性质及应用，涉及角平分线、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，正确分类，画出图形．三、解答题（本大题共9小题，共70分）15．（6分）（2021•云南）计算：．【分析】先分别计算乘方，特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，然后在按照有理数的混合运算顺序和法则进行计算．【解答】解：原式．第33页（共33页）\n【点评】本题考查有理数的混合运算，特殊角三角函数值，零指数幂及负整数指数幂，掌握运算顺序准确计算是解题关键．16．（6分）（2021•云南）如图，在四边形中，，，与相交于点．求证：．【分析】证明，即可求解．【解答】证明：在和中，，，．【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．17．（8分）（2021•云南）垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染、美化家园，甚至能够变废为宝、节约资源．为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某中学组织全校1565名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”（满分为100分）．该校数学兴趣小组为了解全校学生竞赛分数情况，采用简单随机抽样的方法（即每名学生的竞赛分数被抽到的可能性相等的抽样方法）抽取部分学生的竞赛分数进行调查分析．（1）以下三种抽样调查方案：方案一：从七年级、八年级、九年级中指定部分学生的竞赛分数作为样本；第33页（共33页）\n方案二：从七年级、八年级中随机抽取部分男生的竞赛分数以及在九年级中随机抽取部分女生的竞赛分数作为样本；方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本．其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是　方案三　（填写“方案一”、“方案二”或“方案三”；（2）该校数学兴趣小组根据简单随机抽样方法获得的样本，绘制出如下统计表分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”，学生竞赛分数记为分）样本容量平均分及格率优秀率最高分最低分10083.5910052分数段频数57183040结合上述信息解答下列问题：①样本数据的中位数所在分数段为　　；②全校1565名学生，估计竞赛分数达到“优秀”的学生有　　人．【分析】（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三符合题意；（2）①根据样本的中位数，估计总体中位数所在的范围；②样本中“优秀”人数占调查人数的，因此估计总体1565人的是“优秀”．【解答】解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本进行调查分析，是最符合题意的．故答案为：方案三；第33页（共33页）\n（2）①样本总数为：（人，成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在，因此中位数在组中；②由题意得，（人，故答案为：①；②626．【点评】本题考查抽样调查、中位数的意义，样本估计总体是统计中常用的方法．18．（6分）（2021•云南）“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措．机场、车站、出租车、景区、手机短信，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质．刚刚过去的“五一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年5月1日租用、两种客房一天，供当天使用．下面是有关信息：请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的、两种客房每间客房的租金，【分析】设每间客房租金为元，根据“用2000元租到客房数量与用1600元租到客房数量相同”列出方程并解答．【解答】解：设每间客房租金为元，则每间客房租金为元，根据题意可得：，第33页（共33页）\n解得：，经检验：是原分式方程的解，且符合实际，元，每间客房租金为200元，每间客房租金为160元．【点评】本题考查了分式方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．19．（7分）（2021•云南）为庆祝中国共产党成立100周年，某市组织该市七、八两个年级学生参加演讲比赛，演讲比赛的主题为“追忆百年历程，凝聚青春力量”．该市一中学经过初选，在七年级选出3名同学，其中2名女生，分别记为、，1名男生，记为；在八年级选出3名同学，其中1名女生，记为，2名男生，分别记为、．现分别从两个年级初选出的同学中，每个年级随机选出一名同学组成代表队参加比赛．（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求所有可能出现的代表队总数；（2）求选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率．【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以画出相应的树状图，并写出一共有多少种可能性；（2）根据（1）中的结果和树状图，可以得到选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率．【解答】解：（1）树状图如下图所示：由上可得，出现的代表队一共有9种可能性；第33页（共33页）\n（2）由（1）可知，一共9种可能性，其中一男一女出现有5种，故选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率．【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是画出相应的树状图，求出相应的概率．20．（8分）（2021•云南）如图，四边形是矩形，、分别是线段、上的点，点是与的交点．若将沿直线折叠，则点与点重合．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的值．【分析】（1）证明，得到即可得出结论．（2）由，，可得出菱形的面积，进而可得出的值．【解答】解：（1）证明：矩形沿折叠，使，重合，，，四边形是矩形，，，，在和中，第33页（共33页）\n，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形．（2）如图，，，，，，，菱形的面积，．【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的判定与性质、矩形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．21．（8分）（2021•云南）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只付销售提成；第33页（共33页）\n方案二：底薪加销售提成．如图中的射线，射线分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资（单位：元）和（单位：元）与其当月鲜花销售量（单位：千克）的函数关系．（1）分别求、与的函数解析式（解析式也称表达式）；（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？【分析】（1）由待定系数法就可以求出解析式；（2）利用（1）中求出的两函数的解析式，把代入求解即可．【解答】解：（1）设，根据题意得，解得，；设，第33页（共33页）\n根据题意，得，解得，；（2）当时，；；这个公司采用了方案一给这名销售人员付3月份的工资．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次不等式的运用，设计方案的运用，解答时认真分析，弄清函数图象的意义是关键．22．（9分）（2021•云南）如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，由圆周角定理得出，证出，则可得出结论；第33页（共33页）\n（2）设，，证明，由相似三角形的性质得出，求出的长，则可求出答案．【解答】（1）证明：连接，，，，，又是的直径，，，，即，，是半径，是的切线；（2）解：，且，第33页（共33页）\n设，，，，又，，，，，，，，，，即的长为．【点评】本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与相似三角形的判定和性质是解题的关键．23．（12分）（2021•云南）已知抛物线经过点，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．设是抛物线与轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，．（1）求、的值；第33页（共33页）\n（2）求证：；（3）以下结论：，，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．【分析】（1）当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小,可得对称轴为直线,且抛物线经过点，列出方程组即可得答案；（2）由是抛物线与轴的交点的横坐标,可得,，两边平方得,,即可得结果；（3）正确，可用比差法证明，由（2）可得,即,而,再由,判断，,故,从而．【解答】（1）解：经过点，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小,即对称轴为直线,,解得；证明：由题意，抛物线的解析式为,是抛物线与轴的交点的横坐标,,,,第33页（共33页）\n,；正确，理由如下：由（2）知：；,,而,由（2）知：,,,,即，,,即,．【点评】本题考查二次函数综合知识，涉及二次函数图象上的点坐标、对称轴、增减性、与轴交点坐标等知识，解题的关键是用比差法时，判断和的符号．第33页（共33页）\n第33页（共33页）