高考数学总复习：集合与集合的运算

1.集合中的元素有三个明显的特征：(1)确定性；(2)互异性；(3)无序性．2．元素与集合的关系有属于和不属于两种．3．集合与集合之间有三种关系：(1)子集(包含与被包含)定义：A⊆B⇔如果任意x∈A，那么x∈B；(2)真子集定义：AB⇔A⊆B，且B中至少有一元素x∉A(规定：空集是任何一个非空集合的真子集)；(3)相等：A＝B⇔A⊆B且B⊆A.4．集合的运算涉及交、并、补集．(1)交集定义：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}；(2)并集定义：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；(3)补集定义：设U为全集，A⊆U，由U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}；(4)基本性质：①A∩A＝A；②A∪A＝A；③A∩B＝B∩A；④A∪B＝B∪A；⑤(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；⑥(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；⑦A∩∅＝∅；⑧A∪∅＝A；⑨∁U(∁UA)＝A；⑩∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；⑪∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)考点陪练1.下列三个命题中，正确的个数为()①R＝{实数集}，R＝{全体实数集}；②方程(x－1)2(x－2)＝0的解集为{1,2,1}；③方程(x－3)2＋y－1＋|z－2|＝0的解集为{3,1,2}．A．1个B．2个C．3个D．0个解析：①R＝{实数集}中“集”是多余的，R＝{全体实数集}中“全体”和“集”都是多余的；②中解集不符合集合中元素的互异性；③中集合的形式错了，应写成{(3,1,2)}，因为方程③中只有一个解，而不是三个解．答案：D2.集合M={(x,y)|x+y=4,x∈N,y∈N}的非空真子集的个数是()A.6B.8C.30D.32解析:集合M={(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)},集合M的非空真子集个数为25-2=30个,故应选C.答案:C3.集合P={(x,y)|y=k},Q={(x,y)|y=ax+1,a>0,a≠1}.已知P∩Q只有一个子集,那么实数k的取值范围是()A.(-∞,1)B.(-∞,1]C.(1,+∞)D.(-∞,+∞)解析:由数形结合可知选B.答案:B4.已知集合A={y|y=2x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则()A.A∩B={2,4}B.A∩B={4,16}C.A=BD.AB解析:A,B分别表示函数y=2x与y=x2的值域.答案:D5.(2010·浙江)设P={x|x<4},Q={x|x2<4},则()AP..QBQPCP..痧DQPRR解析:集合Qx|2x2,所以QP.答案:B类型一元素与集合的关系解题准备:集合中的元素具有确定性､互异性和无序性.特别是用互异性筛除不具备条件的解是解题过程中不可少的步骤.【典例1】当正整数集合A满足:“若x∈A,则10-x∈A”.(1)试写出只有一个元素的集合A;(2)试写出只有两个元素的集合A;(3)这样的集合A至多有多少个元素?[解](1)因为若1∈A,则10-1=9∈A;反过来,若9∈A,则10-9=1∈A.所以1和9要么都在A中,要么都不在A中,即它们是成对出现在A中的,同理2和8,3和7,4和6也成对出现在A中,所以A={5}.(2)A={1,9},或A={2,8},或A={3,7},或A={4,6}.(3)A中至多有9个元素,即A={1,9,2,8,3,7,4,6,5}.类型二集合与集合之间的关系解题准备:1.集合间的基本关系包括两集合相等､子集､真子集等.2.此类问题的求解离不开基本的运算､变形,以达到化简集合､便于运算的目的,较好地体现了高考对运算求解能力的考查.【典例2】设集合A={x|x=a2+2a+4},B={y|y=b2-4b+7}.(1)若a∈R,b∈R,试确定集合A与B的关系;(2)若a∈N,b∈R,试确定集合A与B的关系.[解](1)若a∈R,b∈R.则x=(a+1)2+3≥3,y=(b-2)2+3≥3,此时集合A､B都是大于或等于3的实数的集合,∴A=B.(2)若a∈N、b∈R,则对于任意的x∈A,0有x=(a+1)2+3,00其中a∈N.0令b=a+3,则b∈N,000且(a+1)2+3=(b-2)2+3∈B.00而当b=2时,y=3∉A,从而可知AB.00[反思感悟](1)判断两个集合之间的子集､真子集关系可以比照两实数间的关系:①AB⇔A⊆B,且A≠B,类比于a<b⇔a≤b,且a≠b;②a⊆b⇔ab,或a=b,类比于a≤b⇔a<b,或a=b;③a=b⇔a⊆b,且b⊆a,类比于a=b⇔a≤b,且a≥b.也可以用韦恩图直观地表示上述各种关系.(2)注意集合{}与空集的区别与联系:,类型三集合的基本运算解题准备:集合的基本运算性质:ababa;abaab;痧(ab)(a)(b);uuu痧(ab)(a)(b).这些性质能简化集合的运算,uuu应熟练掌握.【典例3】设全集是实数集r,a={x|2x2-7x+3≤0},b={x|x2+a<0}.(1)当a=-4时,求a∩b和a∪b;(2)若(ða∩b=b,求实数a的取值范围.r[解](1)∵a={x|≤x≤3},当a=-4时,b={x|-2<x<2},∴a∩b={x|≤x<2},a∪b={x|-2<x≤3}.121由知ðraxx|,或x3.2当(a)痧bb时,ba,即ab.rr①当b,即a0,时满足bða;r②当b,即a0,b时x|axa,11要使bða,需aa≤,解得≤0.r241综上可得,a实数的取值范围是a.4[反思感悟]解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要求,看清集合间存在的相互关系,注意分类讨论､数形结合思想的应用以及空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系,在解题中漏掉它极易导致错解.类型四集合概念与性质架构下的创新问题解题准备:“信息迁移”问题最明显的特征就是题目中有一些新信息如定义新概念､新运算等,但是这些所谓“新信息”肯定是在我们已经掌握的知识的基础上进行设计的,所以不要有畏惧心理,通过耐心细致分析,就会慢慢发现它其实就是“老问题”!【典例4】(2010·福建厦门质检)如图所示的韦恩图中,a､b是非空集合,定义a*b表示阴影部分的集合.若x,y∈r,2a{|xy2xx,b{|yy3xx,0},则ab*等于a.{x|0<x<2}b.{x|1<x≤2}c.{x|0≤x≤1或x≥2}d.{x|0≤x≤1或x>2}2[解]A{|xy2xx02,,B{|yy3xx,0}(,1),由韦恩图可知AB*ð(AB),U其中UAB,又AB[,0),AB12,,AB*[,01](,2).[答案]D[反思感悟]有些集合问题是通过定义一个新概念或约定一种新运算或给定一个新模型来创设新的问题情境,它要求我们要在阅读理解的基础上,依据题中提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,从而顺利地解决问题.类型五集合的应用解题准备:集合问题多与函数､曲线方程､不等式有关,要善于灵活运用集合的相关知识,解决问题并注意以下几点:①重视对参数的讨论,特别注意检验集合元素是否满足“三性”,并提防“空集”这一隐形陷阱.②善于运用Venn图和数轴直观形象解决问题,Venn图适用于有限集,数轴适用于实数集,要特别注意边界的取舍.x3【典例5】设函数f(x)=2的定义域为x1A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为B.(1)求集合A;(2)若B⊆A,求实数a的取值范围.xx31[解]1由2≥0,得≥0,xx11x1或x1,≥故A,11,.2由xa12ax0,得xa1x2a0.a1,a12a,B2a,a1.BA,2a1,≥或a1≤1,11即a≥,或a≤2,而a1,a1,或a2.221故a的取值范围是(,2],1.2[反思感悟]用“数形结合思想”解题时,要特别注意“端点”的取舍问题.错源一忽视元素的互异性【典例1】设集合A={0,a},集合B={a2,-a3,a2-1}且A⊆B,则a的值是()A.±1B.-1C.1D.2[错解]由A={0,a}及集合元素的互异性可知a≠0,所以a2≠0,-a3≠0,又A⊆B得a2-1=0,即a=±1.故选A.[剖析]解出a=±1后,忽视了检验这两个值是否都满足元素的互异性.[正解]由A={0,a}及集合元素的互异性可知a≠0,所以a2≠0,-a3≠0,又A⊆B,所以a2-1=0,解得a=±1.当a=-1时,a2=-a3=1,这与集合元素互异性矛盾,舍去.当a=1时,A={0,1},B={1,-1,0},满足A⊆B.综上a=1,故应选C.[答案]C错源二忽视空集【典例2】设A={x|2≤x≤6},B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆A,则实数a的取值范围是()A.[1,3]B.(3,+∞)C.[1,+∞)D.(1,3)22a≥[错解]BA,,a36≤解得1a3,≤≤故选A.[剖析]空集是任何集合的子集,忽视这一点,会导致漏解,产生错误结论.对于形如{x|a</b⇔a≤b,且a≠b;②a⊆b⇔ab,或a=b,类比于a≤b⇔a<b,或a=b;③a=b⇔a⊆b,且b⊆a,类比于a=b⇔a≤b,且a≥b.也可以用韦恩图直观地表示上述各种关系.(2)注意集合{}与空集的区别与联系:,类型三集合的基本运算解题准备:集合的基本运算性质:ababa;abaab;痧(ab)(a)(b);uuu痧(ab)(a)(b).这些性质能简化集合的运算,uuu应熟练掌握.【典例3】设全集是实数集r,a={x|2x2-7x+3≤0},b={x|x2+a<0}.(1)当a=-4时,求a∩b和a∪b;(2)若(ða∩b=b,求实数a的取值范围.r[解](1)∵a={x|≤x≤3},当a=-4时,b={x|-2<x<2},∴a∩b={x|≤x<2},a∪b={x|-2<x≤3}.121由知ðraxx|,或x3.2当(a)痧bb时,ba,即ab.rr①当b,即a0,时满足bða;r②当b,即a0,b时x|axa,11要使bða,需aa≤,解得≤0.r241综上可得,a实数的取值范围是a.4[反思感悟]解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要求,看清集合间存在的相互关系,注意分类讨论､数形结合思想的应用以及空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系,在解题中漏掉它极易导致错解.类型四集合概念与性质架构下的创新问题解题准备:“信息迁移”问题最明显的特征就是题目中有一些新信息如定义新概念､新运算等,但是这些所谓“新信息”肯定是在我们已经掌握的知识的基础上进行设计的,所以不要有畏惧心理,通过耐心细致分析,就会慢慢发现它其实就是“老问题”!【典例4】(2010·福建厦门质检)如图所示的韦恩图中,a､b是非空集合,定义a*b表示阴影部分的集合.若x,y∈r,2a{|xy2xx,b{|yy3xx,0},则ab*等于a.{x|0<x<2}b.{x|1<x≤2}c.{x|0≤x≤1或x≥2}d.{x|0≤x≤1或x>