高中数学复习：集合的性质与运算（原卷版）

第1题集合的性质与运算I．题源探究·黄金母题【例1】已知集合求，，，．[来源:学科网]精彩解读【试题来源】人教版A版必修一第14页A组第10题【母题评析】本题以不等式为载体，考查集合的运算问题．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到一箭双雕的目的．【思路方法】借助数轴为工具，利用集合各类运算的方法直接求解，但需要注意区间方向以及区间端点值的验证，确保准确无误！II．考场精彩·真题回放【例2】【2018高考全国1，理2】已知集合，则（）A．B．[来源:Z_xx_k.Com]C．D．【例3】【2018高考全国2，理2】已知集合，则中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．4【例4】【2018高考天津，理1】设全集为，集合，，则（）A．B．C．D．【命题意图】本类题通常主要考查集合的交、并、补运算．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数的定义域、值域、解不等式有联系．【难点中心】【例5】【2018高考北京，理8】设集合，则（）A．对任意实数B．对任意实数C．当且仅当时，D．当且仅当时，对集合运问题，首项要确定集合类型，其次确定集合中元素的特征，先化简集合，若元素是离散集合，紧扣集合运算定义求解，若是连续数集，常结合数轴进行集合运算，若是抽象集合，常用文氏图法，本题是考查元素是离散的集合交集运算，是基础题．III．理论基础·解题原理考点一集合的基本概念1．元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；（2）集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为和；（3）集合的表示法：列举法、描述法、Venn图．2．常见数集及其表示符号自然数集用表示，正整数集用或表示，整数集用表示，有理数集用表示，实数集用表示．考点二集合间的基本关系（1）子集：对任意的，都有，则（或）；（2）真子集：若集合，但存在元素，且，则Ü（或Ý）；（3）性质：；（4）集合相等：若，且，则．考点三集合的并、交、补运算：（1）并集：，或；（2）交集：，且；（3）补集：，且；为全集，表示集合相对于全集的补集．（4）集合的运算性质：①；②；③；④．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数的定义域、值域、解不等式有联系．【技能方法】解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算，如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算，先化简集合，常借助数轴求交集．求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．【易错指导】（1）在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如（），则有和两种可能；[来源:学科网]（2）在子集个数问题上，要注意是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，任何集合是其本身的子集，在列举时千万不要忘记；（3）在用数轴法判断集合间的关系时，其端点值能否取到，一定要注意用回代检验的方法确定．如果两个集合的端点值相同，则这两个集合是否能取到端点值往往决定这两个集合之间的关系．V．举一反三·触类旁通考向1集合关系的判断【例6】【2018湖北七校联盟2月考】若集合，，则（）A．B．C．D．【跟踪练习】1．【2018豫南九校六模】已知集合，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．2．【2018宁夏银川一中二模】设集合，，则A．B．C．D．考向2根据集合关系求参数的值或范围【例7】【2017高考课标II，理2】设集合．若，则A．B．C．D．【例8】【2017高考江苏，1】已知集合，，若则实数的值为▲．【跟踪练习】[来源:学_科_网Z_X_X_K]1．【2018衡水金卷三】已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．2．【2018河北衡水调研七】设集合，，全集，若，则有（）A．B．C．D．3．【2018江西新余一中四模】已知集合，，若，则实数的取值范围（）A．B．C．D．考向3集合中的子集或元素个数问题【例9】【2017高考全国III，理1】已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为A．3B．2C．1D．0【例10】【2018高考北京理20】设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记．（I）当时，若，，求和的值；（II）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值；（III）给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，．写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由．【例11】【2018高考上海21】给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”．（1）设是首项为1，公比为的等比数列，，判断数列是否与接近，并说明理由；（2）设数列的前四项为：是一个与接近的数列，记集合，求中元素的个数；（3）已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在，中至少有100个为正数，求的取值范围．【跟踪练习】1．【2018广东佛山模拟】若，，则集合中元素的个数为（）A．B．C．D．2．【2018湖北部分重点中学联考二】已知集合，则集合的子集的个数为（）A．B．C．D．3．【2018河南天一大联考三】已知集合，则的真子集个数为（）A．1B．3C．5D．7考向4集合与不等式【例12】【2017高考新课标，理1】已知集合则A．B．C．D．【例13】【2018四川成都七中一模】已知集合若则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【跟踪练习】1．【河北涞水波峰中学联考】已知集合，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．2．【2018河南商丘二模】已知集合，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．3．【2018齐鲁名校教科研协作体】已知集合，集合，则A．．B．C．D．考向5集合与解析几何【例14】【2018重庆二模】设集合，，记，则点集所表示的轨迹长度为（）A．B．C．D．[来源:学科网]【例15】【2018江苏徐州期中考】设集合，，当中的元素个数是时，则实数的取值范围是________．【跟踪练习】1．【2018北京丰台期末考】全集，非空集合，且中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称．下列命题：①若，则；②若，则中至少有8个元素；③若，则中元素的个数一定为偶数；④若，则．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．42．【2018豫南九校期末考】已知集合，，则集合中子集个数是__________．3．设集合．若，则实数的取值范围是．考向6集合与计数原理、数学归纳法【例16】【2018北京首师附零模】设，其中，定义．（Ⅰ）若，写出所有可能的；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）若，求的最小值．【例17】【2018北京东城期中考试】已知集合，其中，，．表示中所有不同值的个数．（）设集合，，分别求和．（）若集合，求证：．（）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【例18】【2015江苏高考，23】已知集合，，整除或整除，令表示集合所含元素的个数．（1）写出的值；（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明．【跟踪练习】1．数列：满足：．记的前项和为，并规定．定义集合，，．（Ⅰ）对数列：，，，，，求集合；（Ⅱ）若集合，，证明：；（Ⅲ）给定正整数．对所有满足的数列，求集合的元素个数的最小值．2．【2018北京朝阳区期末考】已知集合，其中．表示中所有不同值的个数．（Ⅰ）若集合，求；（Ⅱ）若集合，求证：的值两两不同，并求；（Ⅲ）求的最小值．（用含的代数式表示）