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2019-2020学年广东省东莞市高考数学二调试卷(文科)

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广东省东莞市高考数学二调试卷(文科) 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知A={1,2,4,8,16},B={y|y=log2x,x∈A},则A∩B=(  )A.{1,2}B.{2,4,8}C.{1,2,4}D.{1,2,4,8}2.(5分)若复数z满足(1+2i)z=(1﹣i),则|z|=(  )A.B.C.D.3.(5分)已知sinα﹣cosα=,则sin2α=(  )A.﹣B.﹣C.D.4.(5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为(  )A.B.C.D.5.(5分)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sinA=(  )A.B.C.D.6.(5分)已知,则z=22x+y的最小值是(  )A.1B.16C.8D.47.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的结果为(  )第23页共23页,A.7B.9C.10D.118.(5分)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为(  )A.(0,0)B.(1,﹣1)C.(﹣1,1)D.(1,﹣1)或(﹣1,1)9.(5分)在正四棱锥P﹣ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角为(  )A.90°B.60°C.45°D.30°10.(5分)已知函数f(x)=sinx+λcosx(λ∈R)的图象关于x=﹣对称,则把函数f(x)的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍,再向右平移,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的一条对称轴方程为(  )A.x=B.x=C.x=D.x=11.(5分)函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2,2]的图象大致为(  )A.B.C.D.12.(5分)已知函数f(x)=xsinx+cosx+x2,则不等式的解集为(  )A.(e,+∞)B.(0,e)C.D. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.第23页共23页,13.(5分)设向量=(x,x+1),=(1,2),且⊥,则x=  .14.(5分)在各项都为正数的等比数列{an}中,已知a1=2,,则数列{an}的通项公式an=  .15.(5分)已知|x|≤2,|y|≤2,点P的坐标为(x,y),当x,y∈R时,点P满足(x﹣2)2+(y﹣2)2≤4的概率为  .16.(5分)已知函数,其中m>0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的零点,则m的取值范围是  . 三.解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an﹣2(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{Sn}的前n项和Tn.18.(12分)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API的监测数据,结果统计如下:API[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]>300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115记某企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位:元),空气质量指数API为ω.在区间[0,100]对企业没有造成经济损失;在区间(100,300]对企业造成经济损失成直线模型(当API为150时造成的经济损失为500元,当API为200时,造成的经济损失为700元);当API大于300时造成的经济损失为2000元;(1)试写出是S(ω)的表达式:第23页共23页,(2)试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率;(3)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有8天为重度污染,完成下面2×2列联表,并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关?附:P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.322.072.703.848.026.637.8710.82K2=非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计10019.(12分)如图1,矩形ABCD中,AB=12,AD=6,E、F分别为CD、AB边上的点,且DE=3,BF=4,将△BCE沿BE折起至△PBE位置(如图2所示),连结AP、PF,其中PF=2.(1)求证:PF⊥平面ABED;(2)求点A到平面PBE的距离.20.(12分)已知椭圆C:的离心率为,且过点A(2,1).(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若P,Q是椭圆C上的两个动点,且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴,试判断直线PQ的斜率是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.第23页共23页,21.(12分)已知函数f(x)=x2﹣(a﹣2)x﹣alnx(a∈R).(Ⅰ)求函数y=f(x)的单调区间;(Ⅱ)当a=1时,证明:对任意的x>0,f(x)+ex>x2+x+2. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.答题时请写清题号并将相应信息点涂黑.[选修4-4参数方程与极坐标系]22.(10分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(t为参数)在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C:ρ=2.(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)求曲线上的点到直线的距离的最大值. [选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x+a﹣1|+|x﹣2a|.(1)若f(1)<3,求实数a的取值范围;(2)若a≥1,x∈R,求证:f(x)≥2. 第23页共23页,广东省东莞市高考数学二调试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知A={1,2,4,8,16},B={y|y=log2x,x∈A},则A∩B=(  )A.{1,2}B.{2,4,8}C.{1,2,4}D.{1,2,4,8}【解答】解:∵A={1,2,4,8,16},∴B={y|y=log2x,x∈A}={0,1,2,3,4},∴A∩B={1,2,4}.故选:C. 2.(5分)若复数z满足(1+2i)z=(1﹣i),则|z|=(  )A.B.C.D.【解答】解:由(1+2i)z=(1﹣i),得=,则|z|=.故选:C. 3.(5分)已知sinα﹣cosα=,则sin2α=(  )A.﹣B.﹣C.D.【解答】解:∵sinα﹣cosα=,∴(sinα﹣cosα)2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=,∴sin2α=﹣,故选:A.第23页共23页, 4.(5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为(  )A.B.C.D.【解答】解:设椭圆的方程为:,直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,则直线方程为:,椭圆中心到l的距离为其短轴长的,可得:,4=b2(),∴,=3,∴e==.故选:B. 5.(5分)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sinA=(  )A.B.C.D.【解答】解:∵在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,∴AB=BC,由余弦定理得:AC===BC,故BC•BC=AB•AC•sinA=•BC•BC•sinA,∴sinA=,第23页共23页,故选:D 6.(5分)已知,则z=22x+y的最小值是(  )A.1B.16C.8D.4【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图,设m=2x+y,则得y=﹣2x+m,平移直线y=﹣2x+m,由图象可知当直线y=﹣2x+m经过点A时,直线的截距最小,此时m最小,z也最小,由,解得,得A(1,1)此时m=2×1+1=3,z=22x+y=z=23=8,故选:C. 7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的结果为(  )第23页共23页,A.7B.9C.10D.11【解答】解:模拟程序的运行,可得:,否;,否;,否;,否;,是,输出i=9,故选:B. 8.(5分)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为(  )A.(0,0)B.(1,﹣1)C.(﹣1,1)D.(1,﹣1)或(﹣1,1)【解答】解:∵f(x)=x3+ax2,∴f′(x)=3x2+2ax,∵函数在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,∴3x02+2ax0=﹣1,∵x0+x03+ax02=0,解得x0=±1.当x0=1时,f(x0)=﹣1,第23页共23页,当x0=﹣1时,f(x0)=1.故选:D. 9.(5分)在正四棱锥P﹣ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角为(  )A.90°B.60°C.45°D.30°【解答】解:连接AC,BD交于点O,连接OE,OP因为E为PC中点,所以OE∥PA,所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角.因为四棱锥P﹣ABCD为正四棱锥,所以PO⊥平面ABCD,所以AO为PA在面ABCD内的射影,所以∠PAO即为PA与面ABCD所成的角,即∠PAO=60°,因为PA=2,所以OA=OB=1,OE=1.所以在直角三角形EOB中∠OEB=45°,即面直线PA与BE所成的角为45°.故选:C. 10.(5分)已知函数f(x)=sinx+λcosx(λ∈R)的图象关于x=﹣对称,则把函数f(x)的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍,再向右平移,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的一条对称轴方程为(  )A.x=B.x=C.x=D.x=【解答】解:根据函数f(x)=sinx+λcosx(λ∈R)的图象关于x=﹣对称,可得第23页共23页,,可得λ=﹣1,所以.把f(x)的图象横坐标扩大到原来的2倍,可得y=sin(x﹣)的图象,再向右平移,得到函数g(x)=sin[(x﹣)﹣]=sin(x﹣)的图象,即g(x)=sin(﹣),令=kπ+,求得x=2kπ+,k∈Z,故函数g(x)的图象的对称轴方程为x=2kπ+,k∈Z.当k=0时,对称轴的方程为,故选:D. 11.(5分)函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2,2]的图象大致为(  )A.B.C.D.【解答】解:∵f(x)=y=2x2﹣e|x|,∴f(﹣x)=2(﹣x)2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|,故函数为偶函数,当x=±2时,y=8﹣e2∈(0,1),故排除A,B;第23页共23页,当x∈[0,2]时,f(x)=y=2x2﹣ex,∴f′(x)=4x﹣ex=0有解,故函数y=2x2﹣e|x|在[0,2]不是单调的,故排除C,故选:D 12.(5分)已知函数f(x)=xsinx+cosx+x2,则不等式的解集为(  )A.(e,+∞)B.(0,e)C.D.【解答】解:函数f(x)=xsinx+cosx+x2的导数为:f′(x)=sinx+xcosx﹣sinx+2x=x(2+cosx),则x>0时,f′(x)>0,f(x)递增,且f(﹣x)=xsinx+cos(﹣x)+(﹣x)2=f(x),则为偶函数,即有f(x)=f(|x|),则不等式,即为f(lnx)<f(1)即为f(|lnx|)<f(1),则|lnx|<1,即﹣1<lnx<1,解得,<x<e.故选:D. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)设向量=(x,x+1),=(1,2),且⊥,则x=  .【解答】解:∵;∴;即x+2(x+1)=0;∴.故答案为:.第23页共23页, 14.(5分)在各项都为正数的等比数列{an}中,已知a1=2,,则数列{an}的通项公式an=  .【解答】解:设等比数列{an}的公比为q>0,∵a1=2,,∴+=4,化为:q4﹣4q2+4=0,解得q2=2,q>0,解得q=.则数列{an}的通项公式an==.故答案为:. 15.(5分)已知|x|≤2,|y|≤2,点P的坐标为(x,y),当x,y∈R时,点P满足(x﹣2)2+(y﹣2)2≤4的概率为  .【解答】解:如图,点P所在的区域为正方形ABCD及其内部满足(x﹣2)2+(y﹣2)2≤4的点位于的区域是以C(2,2)为圆心,半径等于2的圆及其内部∴P满足(x﹣2)2+(y﹣2)2≤4的概率为P1===.故答案为: 16.(5分)已知函数,其中m>0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的零点,则m的取值范围是 (3,+∞) .第23页共23页,【解答】解:当m>0时,函数的图象如下:∵x>m时,f(x)=x2﹣2mx+4m=(x﹣m)2+4m﹣m2>4m﹣m2,∴y要使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,必须4m﹣m2<m(m>0),即m2>3m(m>0),解得m>3,∴m的取值范围是(3,+∞),故答案为:(3,+∞). 三.解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an﹣2(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{Sn}的前n项和Tn.【解答】解:(Ⅰ)列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an﹣2①.则:Sn+1=2an+1﹣2②,②﹣①得:an+1=2an,第23页共23页,即:(常数),当n=1时,a1=S1=2a1﹣2,解得:a1=2,所以数列的通项公式为:,(Ⅱ)由于:,则:,=,=2n+1﹣2.﹣2﹣2﹣…﹣2,=2n+2﹣4﹣2n. 18.(12分)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API的监测数据,结果统计如下:API[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]>300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115记某企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位:元),空气质量指数API为ω.在区间[0,100]对企业没有造成经济损失;在区间(100,300]对企业造成经济损失成直线模型(当API为150时造成的经济损失为500元,当API为200时,造成的经济损失为700元);当API大于300时造成的经济损失为2000元;(1)试写出是S(ω)的表达式:(2)试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率;第23页共23页,(3)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有8天为重度污染,完成下面2×2列联表,并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关?附:P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.322.072.703.848.026.637.8710.82K2=非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计100【解答】解:(1)根据在区间[0,100]对企业没有造成经济损失;在区间(100,300]对企业造成经济损失成直线模型(当API为150时造成的经济损失为500元,当API为200时,造成的经济损失为700元);当API大于300时造成的经济损失为2000元,可得S(ω)=;(2)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A;由200<S≤600,得100<ω≤175,频数为33,∴P(A)=;(2)根据以上数据得到如表:非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100K2的观测值K2=≈4.575>3.841所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关. 第23页共23页,19.(12分)如图1,矩形ABCD中,AB=12,AD=6,E、F分别为CD、AB边上的点,且DE=3,BF=4,将△BCE沿BE折起至△PBE位置(如图2所示),连结AP、PF,其中PF=2.(1)求证:PF⊥平面ABED;(2)求点A到平面PBE的距离.【解答】解:(1)连结EF,由翻折不变性可知,PB=BC=6,PE=CE=9,在△PBF中,PF2+BF2=20+16=36=PB2,所以PF⊥BF…(2分)在图1中,利用勾股定理,得EF==,在△PEF中,EF2+PF2=61+20=81=PE2,∴PF⊥EF…(4分)又∵BF∩EF=F,BF⊂平面ABED,EF⊂平面ABED,∴PF⊥平面ABED.…(6分)(2)解:由(1)知PF⊥平面ABED,∴PF为三棱锥P﹣ABE的高.…(8分)设点A到平面PBE的距离为h,由等体积法得VA﹣PBE=VP﹣ABE,…(10分)即∴h=,即点A到平面PBE的距离为.…(14分)第23页共23页, 20.(12分)已知椭圆C:的离心率为,且过点A(2,1).(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若P,Q是椭圆C上的两个动点,且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴,试判断直线PQ的斜率是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.【解答】解:(Ⅰ)因为椭圆C的离心率为,且过点A(2,1),所以,.…(2分)因为a2=b2+c2,解得a2=8,b2=2,…(3分)所以椭圆C的方程为.…(4分)(Ⅱ)解法一:因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴,所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称.设直线PA的斜率为k,则直线AQ的斜率为﹣k.…(5分)所以直线PA的方程为y﹣1=k(x﹣2),直线AQ的方程为y﹣1=﹣k(x﹣2).设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),由,消去y,得(1+4k2)x2﹣(16k2﹣8k)x+16k2﹣16k﹣4=0.①因为点A(2,1)在椭圆C上,所以x=2是方程①的一个根,则,…(6分)第23页共23页,所以.…(7分)同理.…(8分)所以.…(9分)又.…(10分)所以直线PQ的斜率为.…(11分)所以直线PQ的斜率为定值,该值为.…(12分)解法二:设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则直线PA的斜率,直线QA的斜率.因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴,所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称.所以kPA=﹣kQA,即,①…(5分)因为点P(x1,y1),Q(x2,y2)在椭圆C上,所以,②.③由②得,得,④…(6分)同理由③得,⑤…(7分)由①④⑤得,化简得x1y2+x2y1+(x1+x2)+2(y1+y2)+4=0,⑥…(8分)由①得x1y2+x2y1﹣(x1+x2)﹣2(y1+y2)+4=0,⑦…(9分)⑥﹣⑦得x1+x2=﹣2(y1+y2).…(10分)第23页共23页,②﹣③得,得.…(11分)所以直线PQ的斜率为为定值.…(12分)解法三:设直线PQ的方程为y=kx+b,点P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1=kx1+b,y2=kx2+b,直线PA的斜率,直线QA的斜率.…(5分)因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴,所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称.所以kPA=﹣kQA,即=,…(6分)化简得x1y2+x2y1﹣(x1+x2)﹣2(y1+y2)+4=0.把y1=kx1+b,y2=kx2+b代入上式,并化简得2kx1x2+(b﹣1﹣2k)(x1+x2)﹣4b+4=0.(*)…(7分)由,消去y得(4k2+1)x2+8kbx+4b2﹣8=0,(**)则,…(8分)代入(*)得,…(9分)整理得(2k﹣1)(b+2k﹣1)=0,所以或b=1﹣2k.…(10分)若b=1﹣2k,可得方程(**)的一个根为2,不合题意.…(11分)若时,合题意.所以直线PQ的斜率为定值,该值为.…(12分)第23页共23页, 21.(12分)已知函数f(x)=x2﹣(a﹣2)x﹣alnx(a∈R).(Ⅰ)求函数y=f(x)的单调区间;(Ⅱ)当a=1时,证明:对任意的x>0,f(x)+ex>x2+x+2.【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=2x﹣(a﹣2)﹣=…(2分)当a≤0时,f′(x)>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,所以,函数f(x)在区间(0,+∞)单调递增;…(4分)当a>0时,由f′(x)>0得x>,由f′(x)<0,得0<x<,所以,函数在区间(,+∞)上单调递增,在区间(0,)上单调递减;(Ⅱ)当a=1时,f(x)=x2+x﹣lnx,要证明f(x)+ex>x2+x+2,只需证明ex﹣lnx﹣2>0,设g(x)=ex﹣lnx﹣2,则问题转化为证明对任意的x>0,g(x)>0,令g′(x)=ex﹣=0,得ex=,容易知道该方程有唯一解,不妨设为x0,则x0满足ex0=,当x变化时,g′(x)和g(x)变化情况如下表x(0,x0)x0(x0,∞)g′(x)﹣0+g(x)递减递增g(x)min=g(x0)=ex0﹣lnx0﹣2=+x0﹣2,因为x0>0,且x0≠1,所以g(x)min>2﹣2=0,因此不等式得证. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.答题时请写清题号并将相应信息点涂黑.[第23页共23页,选修4-4参数方程与极坐标系]22.(10分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(t为参数)在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C:ρ=2.(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)求曲线上的点到直线的距离的最大值.【解答】解:(Ⅰ)直线的参数方程为(t为参数),转化为:x+y﹣4=0.曲线C:ρ=2.转化为:x2+y2=2x+2y,即:x2+y2﹣2x﹣2y=0.(Ⅱ)圆的方程x2+y2﹣2x﹣2y=0,转化为标准式为:(x﹣1)2+(y﹣1)2=2,则:圆心(1,1)到直线的距离d=,所以:曲线上的点到直线的最大距离为:. [选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x+a﹣1|+|x﹣2a|.(1)若f(1)<3,求实数a的取值范围;(2)若a≥1,x∈R,求证:f(x)≥2.【解答】解:(1)因为f(1)<3,所以|a|+|1﹣2a|<3.①当a≤0时,得﹣a+(1﹣2a)<3,解得a>﹣,所以﹣<a≤0;②当0<a<时,得a+(1﹣2a)<3,解得a>﹣2,所以0<a<;第23页共23页,③当a≥时,得a﹣(1﹣2a)<3,解得a<,所以≤a<;综上所述,实数a的取值范围是(﹣,).(2)因为a≥1,x∈R,所以f(x)=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|(x+a﹣1)﹣(x﹣2a)|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2. 第23页共23页

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发布时间:2022-05-19 09:38:26 页数:23
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文章作者:yuanfeng

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