2022届高考数学考前20天冲刺模拟试卷（5）（Word版附解析）

考前20天终极冲刺高考模拟考试卷（5）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，若，则实数的取值范围是　　A．，B．C．，D．2．复数的虚部为　　A．B．C．D．3．已知，，，则，，的大小关系为　　A．B．C．D．4．若抛物线上的点到焦点的距离是点到轴距离的3倍，则等于　　A．B．C．D．5．已知随机变量服从正态分布，若，则　　A．B．1C．D．26．已知函数，部分图象如图所示，若对不同的，，，当时，总有，则　　A．，B．，C．，D．，7．已知，，则的最小值是　　 A．1B．C．2D．8．如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为平面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为　　A．1B．C．D．2一、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。9．关于多项式的展开式，下列结论正确的是　　A．各项系数之和为1B．二项式系数之和为C．存在常数项D．的系数为1210．某高中积极响应国家“阳光体育运动的号召，为确保学生每天一小时体育锻炼，调查该校3000名学生每周平均参加体育锻炼时间的情况，从高一、高二、高三三个年级学生中按照的比例分层抽样，收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时），整理后得到如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是　　A．估计该校学生每周平均体育运动时间为5.8小时B．估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数约为300人C．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为D．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数约为600人 11．已知，，且满足，下列正确的选项有　　A．的最大值为B．的最大值为C．的取值可以为D．的取值可以为412．已知，分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线，则下列正确的是　　A．双曲线的方程为B．C．D．点到轴的距离为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线在点，处的切线方程为　　．14．已知随机事件和相互独立，若，表示事件的对立事件），则（B）　　．15．所谓正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角．例如：正四面体（即正棱锥体）的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有四个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的．毕达哥拉斯学派将正多面体称为宇宙体，并指出只有五种宇宙体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．由棱长为1的正方体的六个表面的中心可构成一正八面体，则该正八面体的内切球的表面积为　　．16．如图，平面凹四边形，其中，，，，则四边形面积的最小值为　　． 三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知锐角三角形的三个内角，，所对的边分别为，，，，，三角形的面积为．（1）求边上的高；（2）求．18．设数列的前项和为，若满足，且．（1）证明：数列是等比数列；（2）判断数列的前项和与的大小关系，并说明理由．19．如图，正四棱锥中，，，为棱上的动点．（1）若为棱的中点，求证：平面；（2）若满足，求异面直线与所成角的余弦值．20．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下． （Ⅰ）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；（Ⅱ）小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中．小明改进了高尔顿板（如图，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由．21．已知椭圆的右焦点为，，离心率为，经过且垂直于轴的直线交于第一象限的点，为坐标原点，且．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设不经过原点且斜率为的直线交椭圆于，两点，，关于原点对称的点分别是，，试判断四边形的面积有没有最大值．若有，请求出最大值；若没有，请说明理由． 22．已知函数在点，（1）处的切线垂直于轴．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若存在三个都为正数的零点，求证：任意两个零点的差小于2．考前20天终极冲刺高考模拟考试卷（5）答案1．解：因为集合，又，所以．故选：．2．解：复数的虚部为，故选：．3．解：，，，．故选：．4．解：抛物线上的点到焦点的距离是点到轴距离的3倍，可得，解得，所以抛物线方程为：，抛物线上的点，可得，解得．故选：．5．解：因为随机变量服从正态分布，对称轴为，又，而，所以，所以5和关于对称轴对称， 则，故选：．6．解：根据函数，部分图象，可得，函数的周期为，，故排除、．对不同的，，，当时，总有，，，故，，故选：．7．解：根据题意，，则是曲线上的点，，则是直线上的点；则可看成曲线上的点到直线上的点的距离的平方．对函数求导得，令，得，所以，曲线上一点到直线上距离最小的点为，该点到直线的距离．因此，的最小值为2；故选：．8．解：由题意得，，在上取点，使，，则且，所以四边形是平行四边形，所以．在上取点，使，，则，所以．又，，所以平面平面，所以点的轨迹就是线段，在△中，，，由余弦定理得． ，故选：．9．解：对于多项式的展开式，令，可得各项系数之和为1，故正确；二项式系数和为，故正确；根据它的通项公式为，当时，的幂指数等于零，故第四项为常数项，故正确；令展开式中的幂指数等于4，求得，可得展开式中的系数为，故错误，故选：．10．解：对于，估计该校学生每周平均体育运动时间为小时，故选项正确；对于，高一年级的总人数为人，由频率分布直方图可知，该校学生每周平均体育运动时间不足4小时的频率为，所以估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数约为人，故选项正确；对于，该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为，故选项错误；对于，该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数约为人，故选项正确．故选：．11．解：对于，：由，当且仅当时，等号成立，故正确，错误，对于，：由，当且仅当 时，等号成立，故的取值可以为，也可以为4，故，正确，故选：．12．解：渐近线的方程为，，到的距离为，，，双曲线的标准方程为，即选项正确；，，，由角分线定理知，，即选项正确；由双曲线的定义知，，，，在等腰△中，，，，，即选项正确；， ，即选项错误．故选：．13．解：的导数为，可得曲线在点，处的切线的斜率为，则切线的方程为，即为．故答案为：．14．解：随机事件和相互独立，，表示事件的对立事件），（A），（B）．故答案为：0.9．15．解：由对称性可知，正八面体的内切球的球心为正方体的中心，设为，则到其中一个面的距离即为内切球的半径，设为，由正方体的棱长为1，可得，由，可得，可得．该正八面体的内切球的表面积为．故答案为：．16．解：连接，则，又，故， 在中，，故，故，故，故四边形面积的最小值为，当且仅当时“”成立，故答案为：．17．解：（1）因为，，三角形的面积为，解得，因为为锐角，可得，由余弦定理可得，设边上的高为，则，解得．即边上的高为．（2）因为，可得，，，所以．18．（1）证明：由可得：，两式相减得：，，又当时，有，即也适合上式，，，又，数列是首项、公比均为3的等比数列； （2）解：由（1）可知，即，，．19．（1）证明：连结交于点，则为的中点，连结，因为为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）解：因为是正四棱锥，所以为顶点在底面的射影，故底面，且，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为，，，则，，所以，，则，故异面直线与所成角的余弦值为．20．高解：（Ⅰ）设这个小球掉入5号球槽为事件．掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，所以（A）．所以这个小球掉入5号球槽的概率为 ．（4分）（Ⅱ）小红的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，4，8，，，，．04812一次游戏付出的奖金，则小红的收益为．（8分）小明的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，1，4，9．，，，．的分布列为：0149一次游戏付出的奖金，则小明的收益为．，小明的盈利多．（12分）21．解：（Ⅰ）由题意知，即①，由，可得②， 联立，解得，则点，则③，联立①②③，解得，，，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）设直线的方程为，联立，得，所以△，解得，则，，则，原点到直线的距离为，显然四边形是平行四边形，所以，当且仅当，即时，取等号，所以四边形的面积存在最大值，且最大值为4．22．解：（Ⅰ）的导数为，因为在点，（1）处的切线垂直于轴，所以（1），即，得， 则，所以，，时，；时，，所以在区间、单调递增，在区间单调递减．（Ⅱ）证明：设的三个正数的零点分别为，，，且．则（a）（b）（c），由（Ⅰ）可得的极小值为（2），极大值为（2），则．欲证明任意两个零点的差小于2，只需证明，即．因为，，且在上单调递增，只需要证明（a）（c）构造，，，所以在区间上单减，在上单增，，现证明：．令，，则在上单调递减，所以（1），而，得证，所以，（c）（a），得证．所以结论成立．