2022届高考数学考前20天冲刺模拟试卷（4）（Word版附解析）

考前20天终极冲刺高考模拟考试卷（4）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则　　A．B．，，C．，，D．，，2．已知复数，其中是虚数单位，则的虚部为　　A．B．3C．D．3．如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为，腰和上底均为1，下底为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为　　A．B．C．D．4．党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化．若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值（单位：万亿元）关于年份代号的回归方程为，2，3，4，5，6，，由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值（单位：万元）约为　　A．14.0B．13.6C．202.2D．195.65．已知函数的最小正周期大于，且关于直线对称，则的值为　　A．1B．2C．3D．46．已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于， 两点，若，则　　A．4B．8C．10D．167．一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从点处进，点处出，沿图中线路游．．三个景点及沿途风景，则不重复（除交汇点外）的不同游览线路有　　A．6种B．8种C．12种D．488．设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为　　A．，B．，C．，D．，一、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。9．清华大学全面推进学生职业发展指导工作．通过专业化、精细化、信息化和国际化的就业工作，引导学生把个人职业生涯科学发展同国家社会需要紧密结合，鼓励到祖国最需要的地方建功立业．2019年该校毕业生中，有本科生2971人，硕士生2527人，博士生1467人．学校总体充分就业，毕业生就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保持高位和就业质量稳步提升．根据如图，下列说法正确的有　　A．博士生有超过一半的毕业生选择在北京就业 B．毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业C．到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多D．到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的10．设，，则下列结论正确的是　　A．B．C．最大值为D．11．已知双曲线的离心率为，右焦点为，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，，且与其中一条渐近线垂直，的面积为为坐标原点），则　　A．直线与的左、右两支各有一个交点B．的焦距为C．点到直线的距离为D．若为右支上一点，则的最小值为12．设的三个内角，，所对的边分别为，，．下列有关等边三角形的四个命题中正确的是　　A．若，则是等边三角形B．若，则是等边三角形C．若，则是等边三角形D．若，则△是等边三角形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在的展开式中，的系数是　　．14．若曲线在处的切线的斜率为，则　　．15．在平行四边形中，，，若，则　　．16．已知矩形中，，，，分别为，的中点．将 沿直线翻折至△的位置，若为的中点，则　　；为的中点，在翻折过程中，当△为正三角形时，三棱锥的外接球的表面积是　　．三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知内角，，的对边分别是，，，，______，求的最大值．18．已知数列的前项和为，且满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）设的前项和为，证明：．19．如图，在直三棱柱中，，．（1）求异面直线与所成角的大小；（2）若是棱的中点．求点到平面的距离．20．2020年5月27日，中央文明办明确规定，在2020 年全国文明城市测评指标中不将马路市场、流动商贩列为文明城市测评考核内容．6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．其中套圈游戏凭借其趣味性和挑战性深受广大市民的欢迎．现有甲、乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点，两点处进行套圈，已知甲在，两点的命中率均为，乙在点的命中率为，在点的命中率为，且他们每次套圈互不影响．（1）若甲在处套圈3次，求甲至多命中1次的概率；（2）若甲和乙每人在，两点各套圈一次，且在点命中计2分，在点命中计3分，未命中则计0分，设甲的得分为，乙的得分为，写出和的分布列和期望；（3）在（2）的条件下，若，求的范围．21．已知椭圆的长轴长为，其离心率与双曲线的离心率互为倒数．（1）求椭圆的方程；（2）将椭圆上每一点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线，若直线与曲线交于，两个不同的点，为坐标原点，是曲线上的一点，且四边形是平行四边形，求四边形的面积．22．记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数．．（1）若函数为，上的凸函数，求的取值范围；（2）若方程在，上有且仅有一个实数解，求的取值范围．考前20天终极冲刺高考模拟考试卷（4）答案1．解：集合或， ，或，，．故选：．2．解：复数，的虚部为．故选：．3．解：平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，梯形的下底边长为，平面图形的面积．故选：．4．解：到2035年底对应的年份代号为23，把代入得，（万亿元），又，所以到2035年底，我过人均国内生产总值约为14.0万元．故选：．5．解：由题意函数的周期为，则，所以，又为函数的一条对称轴，所以，解得，，令，得，故选：．6．解：设，由在抛物线上，可得，由在以为圆心，半径为5的圆上，可得，由，可得，所以即，可得，代入，可得，故选：． 7．解：根据题意，从点处进入后，参观第一个景点时，有6个路口可以选择，从中任选一个，有种选法，参观完第一个景点，要参观第二个景点时，有4个路口可以选择，从中任选一个，有种选法，同理：参观完第二个景点，要参观第三个景点时，有2个路口可以选择，从中任选一个，有种选法，则共有种结果，故选：．8．解：，若函数在上有三个零点，可得，即在有三个实根，即有在有三个实根，设，可得，由的导数为，可得时，，即递减；当时，的导数为，当时，，函数递增；时，函数递减，可得时函数取得极大值，时，，作出的图象，可得时，即时，直线和在有三个交点，故选：． 9．解：：北京地区博士生，故正确；：北京地区有人，因此北京以外有，故正确；：硕士毕业生人数约为人博士毕业生人数人，因此硕士多于博士，故正确；：浙江就业人数有人，因此占总人数的比例为，故错误．故选：．10．解：由，，则．对，由于，，所以，所以错误；对，，所以正确；对，（当且仅当时取“”，由于，所以“”不可取，所以错误；对，因为，又，，所以正确．故选：．11．解：设的焦距为，由，得，于是渐近线方程为，设与垂直，且垂足为，则的斜率为，于是与双曲线左、右两支各有一个交点，故正确；设与轴的夹角为，由的斜率为2，可知：，则， 又易知：，，则，从而，则的面积为，解得，故，所以，故的焦距为，故正确，错误；当在双曲线右支上时，的最小值为，故错误，故选：．12．解：，若，由正弦定理可知：任意都满足条件，因此不一定是等边三角形，不正确；，若，由正弦定理可得：，，，，，，是等边三角形，正确．，若，由正弦定理可得：，，，，，，是等边三角形，正确．，若，，时，是等边三角形；，，时，研究函数的单调性，，时，，函数在上单调递减，因此不成立．综上可得：是等边三角形，正确．其中，正确叙述的序号是②③④．故选：．13．解：展开式的通项公式为，令，解得，所以的系数为，故答案为：2160． 14．解：设切点坐标为，，因为曲线，所以，故，解得，或，故．故答案为：3．15．解：，，，，，，，．故答案为：．16．解：如图，取的中点，连接，，则且，，，则且，四边形为平行四边形，则，在△中，求得，即；由已知可得，为△，则中点为的外心， 又△为△，则的中点为△的外心，分别过、作平面与平面的垂线，相交于，则为三棱锥的外接球的球心，△为正三角形，，，可得，，又，．三棱锥的外接球的表面积是．故答案为：；．17．解：若选①：由已知得，即．化简得，因为，所以，．又，所以，当且仅当时取等号，故，即的最大值为4．若选②：由已知得，，，化简得，即，因为，所以．由，可得，当且仅当时取等号，故，即的最大值为．若选③：由已知，即，又，所以． 所以，因为，所以．由，得，当且仅当时取等号，故，即的最大值为4．18．（1）解：依题意，当时，，当时，由①，可得②，①②，可得，即，当时，也满足上式，，．（2）证明：由（1）知，，故数列是以2为首项，1为公差的等差数列，，则，，不等式成立． 19．解：（1）由于，所以（或其补角）即为异面直线与所成角，（2分）连接，在△中，由于，所以△是等边三角形，所以，所以异面直线与所成角的大小为．（6分）（2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为，0，、，2，、，2，、，0，．（8分）设平面的法向量为，则．，，且，，取，得平面的一个法向量为，（11分）且，又，于是点到平面的距离所以，点到平面的距离等于 ．（14分）解法二：过点作交于，由平面．在中，由，，得，所以，点到平面的距离等于．20．解：（1）设“甲至多命中1次”为事件，则（C），故甲至多命中1次的概率为．（2）由题意知，，2，3，5，，2，3，5，，，，，，，，的分布列为0235的分布列为0235，．（3），，即， 的取值范围是，．21．解：（1）由已知，，解得，又因为双曲线的离心率为，可知，椭圆的离心率为，即，所以，进而可得，所以椭圆的方程为．（2）将椭圆上每一点横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线的方程为，设，，，，，，，得，所以，，且△，即，由四边形是平行四边形，所以，所以，，因为点在椭圆上，所以，整理可得，所以，所以，所以点到直线的距离， 所以四边形的面积为．22．解：（1），，若为，上的凸函数，则对恒成立，即对恒成立，而在，单调递增，，，解得：，故的取值范围是．（2）由得，令，（1），，当时，对恒成立，在，上单调递增，又（1），在，上有且只有1个实数根，符合题意，当时，令得，，若即时，对恒成立，在，单调递减，在，上有且只有1个实数根，符合题意，若即时，在，递增，在，递减，，，，故存在，，即在，上有2个零点，综上，的取值范围是，，．