2022届高考数学二轮专题复习16轨迹方程的求法

轨迹方程的求法1．直接法求轨迹方程1．已知平面上两定点、，为一动点，满足．求动点的轨迹的方程．【答案】．【解析】设，由已知，，，得，，∵，∴，整理得，即动点的轨迹为抛物线，其方程为．2．双曲线的两焦点分别是、，其中是抛物线的焦点，两点、都在该双曲线上．（1）求点的坐标；（2）求点的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线．【答案】（1）；（2）直线或椭圆，除去两点、．【解析】（1）由得，焦点．（2）因为A、B在双曲线上，所以，．①若，则，点的轨迹是线段AB的垂直平分线，且当时，与重合；当时，A、B均在双曲线的虚轴上，故此时的轨迹方程为；7 ②若，则，此时，的轨迹是以A、B为焦点，，，中心为的椭圆，其方程为，故的轨迹是直线或椭圆，除去两点、．2．定义法求轨迹方程1．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．【答案】，椭圆．【解析】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，将圆方程分别配方得，，当与相切时，有①当与相切时，有②将①②两式的两边分别相加，得，即③移项再两边分别平方得④7 两边再平方得，整理得，所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆．2．已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程．【答案】．【解析】设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得，．．∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12，故所求轨迹方程为．3．一动圆与圆外切，而与圆内切，那么动圆的圆心M的轨迹是（）A.抛物线B．圆C．椭圆D．双曲线一支【答案】D【解析】令动圆半径为R，则有，则，满足双曲线定义，故选D．3．相关点法求轨迹方程1．点是椭圆上的动点，为定点，求线段的中点的轨迹方程．【答案】．【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0），7 则由M为线段AB中点，可得，即点B坐标可表为，，，，．2．双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程．【答案】．【解析】设点坐标各为，∴在已知双曲线方程中，∴，∴已知双曲线两焦点为，∵存在，∴，由三角形重心坐标公式有，即，∵，∴，已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有，即所求重心的轨迹方程为．3．如图，从双曲线上一点引直线的垂线，垂足为，求线段7 的中点的轨迹方程．【答案】．【解析】设，则．在直线上，①又，得，即．②联解①②得，又点在双曲线上，，化简整理得，此即动点的轨迹方程．4．参数法求轨迹方程1．过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程．【答案】．【解析】设，直线的斜率为，则直线的斜率为．直线OA的方程为，由，解得，即，7 同理可得．由中点坐标公式，得，消去，得，此即点的轨迹方程．2．设点A和B为抛物线上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．【答案】M的轨迹方程为，它表示以(2p，0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．【解析】解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)(x≠0)，直线AB的方程为x=my+a，由OM⊥AB，得，由y2=4px及x=my+a，消去x，得y2－4pmy－4pa=0，所以，，所以，由OA⊥OB，得，所以，故，用代入，得，故动点M的轨迹方程为，它表示以(2p，0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．解法二：设OA的方程为，代入得，则OB的方程为，代入得，∴AB的方程为，过定点，由OM⊥AB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外），7 故动点M的轨迹方程为，它表示以(2p，0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．解法三：设，OA的方程为，代入得，则OB的方程为，代入得，由OM⊥AB，得：M既在以OA为直径的圆……①上，又在以OB为直径的圆……②上（O点除外），①+②得，故动点M的轨迹方程为，它表示以(2p，0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．7