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2022届高考数学二轮专题复习21导数与切线方程

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导数与切线方程1.切线方程的求解1.已知,则曲线在点处的切线方程为_________.【答案】【解析】∵点在上,又,,∴曲线在处的切线方程为,即.故答案为.2.曲线过点的切线方程是()A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意可得点不在曲线上,设切点为,因为,所以所求切线的斜率,所以.因为点是切点,所以,所以,即.设,明显在上单调递增,且,所以有唯一解,则所求切线的斜率,故所求切线方程为,故选B.3.已知函数(且).14 (1)求曲线在点处的切线方程;(2)讨论函数的单调区间.【答案】(1);(2)见解析.【解析】(1)∵,∴,∴,又,∴,∴所求切线方程为.(2)由题意知,函数的定义域为,由(1)知,∴,易知,①当时,令,得或;令,得.②当时,,令,得;令,得或.③当时,.④当时,,令,得;令,得或.综上,当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为,;当时,函数在上单调递减;当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为,14 ;当时,函数的单调递增区间为,,单调递减区间为.2.已知切线方程求参数的取值范围1.已知,直线与曲线相切,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】因为直线与曲线相切,所以设切点为,则,因为,所以,则切线方程为,因为过点,代入可得.令,则在上恒成立,所以在上单调递增,且,所以切点为,则,故选B.2.已知,直线与曲线相切,则的最小值是________.【答案】【解析】根据题意,设直线与曲线的切点为,因为,直线的斜率为,14 所以,,,所以,因为,所以,当且仅当时等号成立.所以的最小值是,故答案为.3.公切线问题1.若曲线在点处的切线也是曲线的一条切线,则________.【答案】或【解析】因为,所以,则,所以曲线在点处的切线方程为,设与相切于点,因为,所以,则,,可得,从而,故答案为.2.已知(e为自然对数的底数),,则与的公切线条数为_______.【答案】2【解析】根据题意,设直线与相切于点,与相切于点,14 对于,其导数为,则有,则直线的方程为,即,对于,其导数为,则有,则直线的方程为,即,直线是与的公切线,则,可得,则或,故直线的方程为或,则与的公切线条数是2条,故答案为2.3.若函数与存在两条公切线,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】设切线与曲线相切于点,对函数求导得,所以,曲线在点处的切线方程为,即,联立可得,由题意可得且,可得,令,其中,则.当时,,此时函数单调递增,14 当时,,此时函数单调递减,所以,.且当时,,当时,,如下图所示:由题意可知,直线与曲线有两个交点,则,解得,故选D.4.若函数与函数的图象存在公切线,则实数的取值范围为()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为,设切点为,则,则公切线方程为,即,联立,可得,所以,,整理可得,由可得,解得,令,其中,则,14 令,则,函数在上单调递增,当时,,即,此时函数单调递减,当时,,即,此时函数单调递增,所以,,且当时,,所以,函数的值域为,故,故选A.5.若存在斜率为的直线与曲线与都相切,则实数的取值范围为()A.B.C.D.【答案】A【解析】设直线与、的切点分别为、,因为,,所以,,因为直线与、都相切,所以,解得,则两切点重合,即,,,设,则,当时,,单调递增;当时,,单调递减,则,因为时,,所以,,14 实数的取值范围为,故选A.6.已知函数,.(1)求函数的极值;(2)证明:有且只有两条直线与函数,的图象都相切.【答案】(1)极大值为,没有极小值;(2)证明见解析.【解析】(1)的定义域为,且,当时,;当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以是的极大值点,故的极大值为,没有极小值.(2)设直线分别切,的图象于点,,由可得,得的方程为,即;由可得,得的方程,即.比较的方程,得,消去,得.令(),则.14 当时,;当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,所以.因为,所以在上有一个零点;由,得,所以在上有一个零点,所以在上有两个零点,故有且只有两条直线与函数,的图象都相切.4.其他1.若过点可以作曲线且的两条切线,则()A.B.C.D.与的大小关系与有关【答案】D【解析】设切点为,则,所以切线方程为,因为点在切线上,所以,即,令,则,令,得,当时,;当时,,所以当时,取得极小值,因为过点可以作曲线且的两条切线,14 所以,即,所以与的大小关系与有关,故选D.2.已知函数,若曲线存在两条过点的切线,则a的取值范围是________.【答案】或【解析】由题得,设切点坐标为,则切线方程为,又切线过点,可得,整理得,因为曲线存在两条切线,故方程有两个不等实根且,若,则,为两个重根,不成立,即满足,解得或,故的取值范围是或,故答案为或.3.在平面直角坐标系中,已知,,则的最小值为()A.9B.C.D.【答案】B【解析】由,则,又,的最小值转化为上的点与14 上的点的距离的平方的最小值,由,得,与平行的直线的斜率为1,∴,解得或(舍),可得切点为,切点到直线之间的距离的平方,即为的最小值,的最小值为,故选B.4.如图所示,动点P,Q分别在函数,上运动,则的最小值为________.【答案】【解析】如题图,两个函数都是定义域上的单调递增函数,又,在定义域上分别单调递增、单调递减,所以函数递增的速度由慢到快,递增的速度由快到慢,设动点,,当且仅当满足时,取得最小值,由图象的示意图不难发现,该方程组有唯一一组解:,,所以,,所以的最小值为,14 故答案为.5.设点P在曲线上,点Q在曲线上,则|PQ|的最小值为_______.【答案】【解析】令、分别向上平移一个单位可得、,而与关于对称,∴当两条曲线在P、Q处的切线均与平行时,P、Q关于对称,|PQ|有最小值,对应曲线平移到、后,P、Q关于对称即可,∴令,则,∴有,则,即,∴到的距离,∴.故答案为.6.(多选)若函数的图象上存在两点,使得的图象在这两点处的切线互相垂直,则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.B.C.,D.【答案】ACD【解析】当时,,当时,满足条件;14 当时,恒成立,不满足条件;当,时,,当,满足条件;当时,,函数单调递增,且,,所以存在,,满足条件,故选ACD.7.(多选)已知函数,若的图象存在两条相互垂直的切线,则的值可以是()A.B.C.D.【答案】AB【解析】∵函数,定义域为,∴,∴,当且仅当时,取等号,要使的图象存在两条相互垂直的切线,则,,所以的值必有一正一负,当时,,不合题意,当时,,不合题意,当时,,则,,例如,,故的值可以是,14 当时,,则,,例如,,故的值可以是,所以的值可以是或,故选AB.14

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发布时间:2022-03-16 15:00:05 页数:14
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文章作者:随遇而安

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