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2022届高考数学二轮专题复习15椭圆双曲线抛物线
2022届高考数学二轮专题复习15椭圆双曲线抛物线
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椭圆、双曲线、抛物线1.椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程1.已知,为椭圆()的两个焦点,过作椭圆的弦AB,若的周长为8,椭圆的离心率,则椭圆的方程是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由椭圆的定义知,所以,又因为,所以,,所以椭圆的方程为,故选D.2.已知椭圆,点与C的焦点不重合,若关于的焦点的对称点分别为,线段的中点在上,则.【答案】12【解析】如图,,,.3.已知点,,若曲线上存在点P满足,则下列正确的是()A.B.C.D.27 【答案】D【解析】点,,且,故点P在双曲线的下支上.设双曲线,其中,即,,则,所以双曲线的方程为,其渐近线方程为,又点P在曲线上,即点P在曲线上,即曲线与双曲线相交,,即,故选D.4.已知椭圆的左、右焦点分别为,,M为C上一点,且的内心为,若的面积为4b,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意可得,的内心到轴的距离就是内切圆的半径.又点在椭圆上,由椭圆的定义,得,,即.又,所以,因为,所以,即,所以,解得或(舍去),27 所以,故选B.5.已知O为坐标原点,F为抛物线的焦点,P为C上一点,若,则点F到直线PO的距离为()A.B.C.D.【答案】D【解析】设,,解得,代入抛物线方程得,则,直线的方程式,即,点到直线的距离,故选D.6.已知抛物线,过焦点F且倾斜角为的直线交C于A,B两点,则弦的中点到准线的距离为__________.【答案】【解析】由题意,抛物线,可得焦点,准线方程为,设,,直线的方程为,联立方程组,整理得,则,所以弦的中点的横坐标为,则弦的中点到准线的距离为,故答案为.7.已知双曲线的左、右焦点分别为,,点A在双曲线上且,若的内切圆的半径为()A.B.C.D.27 【答案】A【解析】由点A在双曲线上,由双曲线定义知,又,,,,即,,,设的内切圆的半径为,由的等面积法知,,即的内切圆的半径为,故选A.8.点在抛物线上,则到直线的距离与到直线的距离之和的最小值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】由抛物线定义到直线的距离等于到抛物线焦点距离,所以到直线的距离与到直线的距离之和的最小值,即焦点到直线的距离,故选B.9.已知双曲线的左焦点为,M为C右支上任意一点,D的坐标为,则的最大值为()A.3B.1C.D.【答案】D【解析】双曲线的实半轴长为,右焦点为,所以27 ,当且仅当M,,D三点共线时取等号,故选D.10.已知点是椭圆的一个焦点,点为椭圆上任意一点,点,则取最大值时,直线的斜率为_______.【答案】1【解析】如图所示,设椭圆的右焦点为,由题意可得,,.由椭圆的定义可得,连接并延长交椭圆于点,则,(当且仅当三点,,共线时,即运动到图中点取等号),故答案为1.11.已知动点到定点与定直线的距离的差为1,则动点的轨迹方程为________.【答案】,(注:也算对)【解析】由题意,若时,问题等价于,则,化简得,若,也满足题意.所以动点的轨迹方程为,.27 或者根据题意有,则,化简整理得,所以动点的轨迹方程为.故答案为,(注:也算对).12.已知椭圆的左、右焦点分别为,,点A,B是椭圆C上关于x轴对称的两点.若的周长的最大值为8,且的周长最大时,,则椭圆C的标准方程为______________.【答案】或【解析】设,,如图,∵的周长为,当且仅当AB过时,取等号,∴,即,此时,所以,故,又,,∴,,,又,∴,∴椭圆C的标准方程为.故答案为.27 13.已知双曲线的一条渐近线过点,是的左焦点,且,则双曲线的方程为()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意可知,双曲线的渐近线方程为,点在一条渐近线上,如图所示:所以,则,且两条渐近线的倾斜角分别为60°,120°,则,又,(为坐标原点),所以为等边三角形,从而,由,,解得,,所以双曲线的方程为,故选A.14.(多选)下图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯,杯身曲线内收,巧夺天工,是唐代金银细作的典范.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线,,围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体,若该金杯主体部分的上口外直径为27 ,下底外直径为,双曲线C与坐标轴交于D,E,则()A.双曲线C的方程为B.双曲线与双曲线C共渐近线C.存在一点,使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点D.存在无数个点,使它与D,E两点的连线的斜率之积为3【答案】ABD【解析】依题意可知,,将、的坐标分别代入,得,解得,,所以双曲线C的方程为,其渐近线为,故A正确;对于B,由,可知其渐近线为,故B正确;对于C,由双曲线的性质可知,渐近线与双曲线没有交点,与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点,故不存在点,使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点,故C错误;27 对于D,设双曲线上一点,则,即,由题可知,,则,,,即存在无数个点,使它与D,E两点的连线的斜率之积为3,故D正确,故选ABD.2.圆锥曲线的几何性质1.已知为椭圆的左焦点,P为椭圆上一点,则的取值范围为_________.【答案】【解析】由题意,,设,则,所以,因为,所以的范围是.故答案为.2.已知双曲线的两个焦点为,,为双曲线上一点,,的内切圆的圆心为,则()27 A.B.C.D.【答案】A【解析】因为双曲线的两个焦点为,,为双曲线上一点,,所以,,,因为,所以,设的内切圆的半径为,则,即,解得,如图,设的内切圆与边相切于点,则,,所以,所以,故选A.3.已知椭圆的焦点为,,第一象限点在C上,且,则的内切圆半径为()A.B.C.1D.【答案】A【解析】由已知条件得,,,则,,设点的坐标为,则,,27 ,即①,∵第一象限点在C上,∴则,即②,联立解得,由椭圆的定义得,设的内切圆半径为,则,又∵,∴,即,故选A.4.(多选)已知椭圆的左、右焦点为、,点为椭圆上的点不在轴上),则下列选项中正确的是()A.椭圆的长轴长为B.椭圆的离心率C.的周长为D.的取值范围为【答案】ACD【解析】椭圆,,椭圆的长轴长为,故A正确;椭圆的离心率,故B错误;的周长为,故C正确;设,则,且,故,,又,则,故,,,,故的取值范围是,故D正确,27 故选ACD.5.(多选)已知椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线l交椭圆于A,B两点,若的最大值为5,则下列说法正确的是()A.椭圆的短轴长为B.当最大时,C.椭圆离心率为D.面积最大值为【答案】BC【解析】由题意:,根据椭圆的定义可知,,则的最大值为5,根据椭圆的性质可知:当轴时,最小,此时最大,如图:将代入椭圆方程得,则,所以短轴长为,A错误;此时,B正确;,C正确;对D,设,,代入椭圆方程得,27 则,所以,记,于是,由对勾函数的图象和性质可知:函数在上是增函数,则函数在上是减函数,于是,当u=1,即t=0时,面积最大值为,故D错误,故选BC.6.(多选)已知椭圆的焦点为、,点在椭圆的内部,点在椭圆上,则()A.B.椭圆的离心率的取值范围为C.存在点使得D.【答案】ACD【解析】对于A选项,由已知可得,可得,则,A对;27 对于B选项,椭圆的离心率为,B错;对于C选项,设、分别为椭圆的左、右焦点,则、,记,设点,,,因为,则,所以,点在圆上,联立可得,即圆与椭圆有公共点,C对;对于D选项,,D对,故选ACD.7.(多选)已知双曲线的左、右焦点分别为,点在双曲线C右支上,若,的面积为,则下列选项正确的是()A.若,则B.若,则C.若为锐角三角形,则D.若的重心为G,随着点P的运动,点G的轨迹方程为【答案】ACD【解析】由,得,则,27 焦点三角形的面积公式,将代入可知,故A正确;当S=4时,,由,可得,故B错误;当时,S=4,当时,,因为为锐角三角形,所以,故C正确;设,则,由题设知,则,所以,故D正确,故选ACD.8.椭圆的左、右顶点分别为,,左焦点为,为坐标原点,若,,成等比数列,则的离心率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】设,则,,,根据题意,可得,整理得且,解得,故选D.9.已知双曲线,过左焦点F作一条渐近线的垂线,记垂足为P,点Q在双曲线上,且满,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.2【答案】B27 【解析】设在渐近线上,直线的方程为,由,得,即,由,得,因为在双曲线上,所以,化简得,,故选B.10.已知是椭圆的左焦点,是椭圆上一点,轴,(为原点,为右顶点,为上顶点),则该椭圆的离心率为__________.【答案】【解析】令椭圆半焦距为c,因轴,则由,得,即,因(为原点,为右顶点,为上顶点),则,即有,因此,,整理得,则,所以椭圆的离心率为.故答案为.27 11.已知双曲线的左、右焦点分别为,曲线上存在一点使得为等腰直角三角形,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】由双曲线的对称性不妨令点P在第一象限,其半焦距为c,因为等腰直角三角形,则,,,由双曲线定义得,即,于是得,所以双曲线的离心率为,故选D.12.已知椭圆的左、右焦点分别为,,过点且斜率为的直线与在轴上方的交点为.若,则的离心率是()A.B.C.D.【答案】A【解析】设,则,,27 又,在中,由余弦定理可得,∴,∴,∴,故选A.13.已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为,若,为坐标原点,则双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】因为,一条渐近线方程为,则,,在中,,又因为,在中,,所以,即,因此,即,所以,故答案为2.27 14.已知双曲线的右焦点为,坐标原点为,左、右顶点分别为,双曲线上一点且轴.连接交轴于,连接交直线于,,则双曲线的离心率为()A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】由,与相似,与相似,,,即,.当时,,解得,设点在轴上方,如图则,设,则,,,由,可得,即,所以,即,,所以,故选B.27 15.如图,已知椭圆,双曲线,若以椭圆的长轴为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于A,B两点,且椭圆与该渐近线的两交点将线段AB三等分,则双曲线的离心率为()A.9B.5C.D.3【答案】D【解析】如图,渐近线与椭圆交点为C,则由题意得,即,联立与,解得,联立与圆,解得,从而,解得,故双曲线离心率为,故选D.27 16.已知双曲线的左,右焦点分别为,,过的直线与的右支交于两点.若,,则双曲线的离心率()A.B.C.2D.3【答案】C【解析】由,得,由,得,所以,,,,由题,在中,,在中,,由,得,化简得,即,故选C.27 17.已知双曲线的左、右焦点分别为,,过的直线l交双曲线C的渐近线于A,B两点,若,(表示的面积),则双曲线C的离心率的值为()A.B.C.D.或【答案】D【解析】若直线斜率不存在,不妨设点,则,所以,则离心率;若直线斜率存在,设,中点,不妨设M在x轴上方,由,得,故点M在圆上,由,得,则,所以.由,得,即.27 当时,,得;当时,,矛盾,舍去,综上所述,或,故选D.18.若直线与双曲线的右支交于不同的两点,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】联立方程组,整理得,设方程的两根为,因为直线与双曲线的右支交于不同的两点,则满足,解得,又由,解得,所以的取值范围是,故选D.19.双曲线C过点,且与双曲线有共同的渐近线,则双曲线C的方程为_________.【答案】27 【解析】因为双曲线C与双曲线有相同的渐近线,所以设双曲线C的方程为,又因为双曲线C过点,所以,解得,所以,所以双曲线C的方程为.故答案为.20.已知双曲线的离心率,过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为,直线交另一条渐近线于,则等于()A.2B.C.D.【答案】B【解析】由双曲线的离心率,得,即,所以,渐近线方程为,如图,,,27 则,,所以,所以,所以,故选B.21.已知双曲线的左、右焦点分别为,过作圆的切线,交双曲线右支于点M,若,则双曲线的渐近线方程为()A.B.C.D.【答案】C【解析】如图,作于点,于点B,因为与圆相切,所以,在中,,所以,.又点M在双曲线上,由双曲线的定义可得:27 所以,整理得,所以,所以双曲线的渐近线方程为,故选C.22.设点分别为双曲线的左右焦点,点A,B分别在双曲线C的左、右支上,若,,且,则双曲线C渐近线的斜率为()A.B.C.D.【答案】A【解析】,故,即,由勾股定理得,设,则,,由双曲线定义及勾股定理得,即,整理得,解得或,因为,即,解得,从而(舍去),当时,,,所以,在三角形中,,27 解得,即,双曲线渐近线方程为,故选A.27
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-03-16 15:00:04
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文章作者:随遇而安
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