2021年江苏省扬州市中考数学试卷

2021年江苏省扬州市中考数学试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．实数100的倒数是（　　）A．100B．﹣100C．D．﹣2．把如图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（　　）A．五棱锥B．五棱柱C．六棱锥D．六棱柱3．下列生活中的事件，属于不可能事件的是（　　）A．3天内将下雨B．打开电视，正在播新闻C．买一张电影票，座位号是偶数号D．没有水分，种子发芽4．不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（　　）A．x+1B．x2﹣1C．D．（x+1）25．如图，点A、B、C、D、E在同一平面内连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD＝100°，则∠A+∠B+∠D+∠E＝（　　）A．220°B．240°C．260°D．280°6．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（　　）A．2B．3C．4D．57．如图，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（　　）A．+B．3C．2+D．+8．如图，点P是函数y＝（k1＞0，x＞0）的图象上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数y＝（k2＞0，x＞0）的图象于点C、D，连接OC、OD、CD、AB，其中k1＞k2．下列结论：①CD∥AB；②S△OCD＝；③S△DCP＝，其中正确的是（　　）第21页（共21页） A．①②B．①③C．②③D．①二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．2021年扬州世界园艺博览会以“绿色城市，健康生活”为主题，在某搜索引擎中输入“扬州世界园艺博览会”约有3020000个相关结果，数据3020000用科学记数法表示为　　．10．计算：20212﹣20202＝　　．11．在平面直角坐标系中，若点P（1﹣m，5﹣m）在第二象限，则整数m的值为　　．12．已知一组数据：a、4、5、6、7的平均数为5，则这组数据的中位数是　　．13．扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马　　天追上慢马．14．如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为10cm的正方形，该果罐侧面积为　　cm2．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD，若CD＝5，BC＝8，则DE＝　　．16．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则▱ABCD的面积为　　．17．如图，在△ABC中，AC＝BC，矩形DEFG的顶点D、E在AB上，点F、G分别在BC、AC上，若CF＝4，BF＝3，且DE＝2EF，则EF的长为　　．18．将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为　　．第21页（共21页） 三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算或化简：（1）（﹣）0+|﹣3|+tan60°．（2）（a+b）÷（+）．20．（8分）已知方程组的解也是关于x、y的方程ax+y＝4的一个解，求a的值．21．（8分）为推进扬州市“青少年茁壮成长工程”，某校开展“每日健身操”活动，为了解学生对“每日健身操”活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查信息结果绘制成如下尚不完整的统计图表：抽样调查各类喜欢程度人数统计表喜欢程度人数A．非常喜欢50人B．比较喜欢m人C．无所谓n人D．不喜欢16人根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量是　　；（2）扇形统计图中表示A程度的扇形圆心角为　　°，统计表中m＝　　；（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000名学生中大约有多少名学生喜欢“每日健身操”活动（包含非常喜欢和比较喜欢）．22．（8分）一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上．（1）甲坐在①号座位的概率是　　；（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．第21页（共21页） 23．（10分）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问原先每天生产多少万剂疫苗？24．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．（1）试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；（2）若∠BAC＝90°，且AD＝2，求四边形AFDE的面积．25．（10分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）b＝　　，c＝　　；（2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标．27．（12分）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：（1）这样的点A唯一吗？（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．第21页（共21页） ①该弧所在圆的半径长为　　；②△ABC面积的最大值为　　；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P在直线CD的左侧，且tan∠DPC＝．①线段PB长的最小值为　　；②若S△PCD＝S△PAD，则线段PD长为　　．28．（12分）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是　　元；当每个公司租出的汽车为　　辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a＞0）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．第21页（共21页） 2021年江苏省扬州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．实数100的倒数是（　　）A．100B．﹣100C．D．﹣【解答】解：100的倒数为，故选：C．2．把如图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（　　）A．五棱锥B．五棱柱C．六棱锥D．六棱柱【解答】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形，则该几何体为五棱锥，故选：A．3．下列生活中的事件，属于不可能事件的是（　　）A．3天内将下雨B．打开电视，正在播新闻C．买一张电影票，座位号是偶数号D．没有水分，种子发芽【解答】解：A、3天内将下雨，是随机事件；B、打开电视，正在播新闻，是随机事件；C、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件；D、没有水分，种子不可能发芽，故是不可能事件；故选：D．4．不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（　　）A．x+1B．x2﹣1C．D．（x+1）2【解答】解：A、当x＝﹣1时，x+1＝0，故不合题意；B、当x＝±1时，x2﹣1＝0，故不合题意；C、分子是1，而1≠0，则≠0，故符合题意；D、当x＝﹣1时，（x+1）2＝0，故不合题意；故选：C．5．如图，点A、B、C、D、E在同一平面内连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD＝100°，则∠A+∠B+∠D+∠E＝（　　）第21页（共21页） A．220°B．240°C．260°D．280°【解答】解：连接BD，∵∠BCD＝100°，∴∠CBD+∠CDB＝180°﹣100°＝80°，∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE＝360°﹣∠CBD﹣∠CDB＝360°﹣80°＝280°，故选：D．6．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（　　）A．2B．3C．4D．5【解答】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．故共有3个点，故选：B．7．如图，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B第21页（共21页） 顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（　　）A．+B．3C．2+D．+【解答】解：∵一次函数y＝x+的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝﹣，则A（﹣，0），B（0，），则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，∴AB＝＝2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，∵∠CAD＝∠OAB＝45°，∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，∴AC＝＝x，∵旋转，∴∠ABC＝30°，∴BC＝2CD＝2x，∴BD＝＝x，又BD＝AB+AD＝2+x，∴2+x＝x，解得：x＝+1，∴AC＝x＝（+1）＝，故选：A．8．如图，点P是函数y＝（k1＞0，x＞0）的图象上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数y＝（k2＞0，x＞0）的图象于点C、D，连接OC、OD、CD、AB，其中k1＞k2．下列结论：①CD∥AB；②S△OCD＝；③S△DCP＝，其中正确的是（　　）第21页（共21页） A．①②B．①③C．②③D．①【解答】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在上，点C，D在上，设P（m，），则C（m，），A（m，0），B（0，），令，则，即D（，），∴PC＝，PD＝，∵，，即，又∠DPC＝∠BPA，∴△PDC∽△PBA，∴∠PDC＝∠PBC，∴CD∥AB，故①正确；△PDC的面积＝＝，故③正确；S△OCD＝S四边形OAPB﹣S△OCA﹣S△DPC＝＝，故②错误；故选：B．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．2021年扬州世界园艺博览会以“绿色城市，健康生活”为主题，在某搜索引擎中输入“扬州世界园艺博览会”约有3020000个相关结果，数据3020000用科学记数法表示为　3.02×106　．【解答】解：将3020000用科学记数法表示为3.02×106．故答案为：3.02×106．10．计算：20212﹣20202＝　4041　．第21页（共21页） 【解答】解：20212﹣20202＝（2021+2020）（2021﹣2020）＝4041×1＝4041故答案为：4041．11．在平面直角坐标系中，若点P（1﹣m，5﹣m）在第二象限，则整数m的值为　2　．【解答】解：由题意得：，解得：，∴整数m的值为2，故答案为：2．12．已知一组数据：a、4、5、6、7的平均数为5，则这组数据的中位数是　5　．【解答】解：∵这组数据的平均数为5，则，解得：a＝3，将这组数据从小到大重新排列为：3，4，5，6，7，观察数据可知最中间的数是5，则中位数是5．故答案为：5．13．扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马　20　天追上慢马．【解答】解：设快马行x天追上慢马，则此时慢马行了（x+12）日，依题意，得：240x＝150（x+12），解得：x＝20，∴快马20天追上慢马，故答案为：20．14．如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为10cm的正方形，该果罐侧面积为　100π　cm2．【解答】解：由题意得圆柱的底面直径为10cm，高为10cm，∴侧面积＝10π×10＝100π(cm2)．故答案为：100π．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD，若CD＝5，BC＝8，则DE＝　3　．第21页（共21页） 【解答】解:∵∠ACB＝90°,DE⊥BC,∴DE∥AC,∵点D是AB的中点，∴E是BC的中点,AB＝2CD＝10,∴AC＝2DE,∵BC＝8,∴AC＝＝＝6,∴DE＝3．故答案为3．16．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则▱ABCD的面积为　50　．【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，∵∠EBC＝30°，BE＝10，∴EF＝BE＝5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，又EC平分∠BED，即∠BEC＝∠DEC，∴∠BCE＝∠BEC，∴BE＝BC＝10，∴四边形ABCD的面积＝BC×EF＝10×5＝50，故答案为：50．17．如图，在△ABC中，AC＝BC，矩形DEFG的顶点D、E在AB上，点F、G分别在BC、AC上，若CF＝4，BF＝3，且DE＝2EF，则EF的长为　　．第21页（共21页） 【解答】解：∵DE＝2EF，设EF＝x，则DE＝2x，∵四边形DEFG是矩形，∴GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴，即，∴AB＝，∴AD+BE＝AB﹣DE＝，∵AC＝BC，在△ADG和△BEF中，，∴△ADG≌△BEF（AAS），∴AD＝BE＝，在△BEF中，BE2+EF2＝BF2，即，解得：x＝或﹣（舍），∴EF＝，故答案为：．18．将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为　1275　．【解答】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：＝3，第③个图形中的黑色圆点的个数为：＝6，第21页（共21页） 第④个图形中的黑色圆点的个数为：＝10，…第n个图形中的黑色圆点的个数为，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，…，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2＝16…1，16×3+2＝50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即＝1275，故答案为：1275．三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算或化简：（1）（﹣）0+|﹣3|+tan60°．（2）（a+b）÷（+）．【解答】解：（1）原式＝＝4；（2）原式＝＝＝ab．20．（8分）已知方程组的解也是关于x、y的方程ax+y＝4的一个解，求a的值．【解答】解：方程组，把②代入①得：2(y﹣1)+y＝7，解得：y＝3，代入①中，解得：x＝2，把x＝2，y＝3代入方程ax+y＝4得，2a+3＝4，解得：a＝．21．（8分）为推进扬州市“青少年茁壮成长工程”，某校开展“每日健身操”活动，为了解学生对“每日健身操”活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查信息结果绘制成如下尚不完整的统计图表：抽样调查各类喜欢程度人数统计表第21页（共21页） 喜欢程度人数A．非常喜欢50人B．比较喜欢m人C．无所谓n人D．不喜欢16人根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量是　200　；（2）扇形统计图中表示A程度的扇形圆心角为　90　°，统计表中m＝　94　；（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000名学生中大约有多少名学生喜欢“每日健身操”活动（包含非常喜欢和比较喜欢）．【解答】解：（1）16÷8%＝200，则样本容量是200；（2）×360°＝90°，则表示A程度的扇形圆心角为90°；200×（1﹣8%﹣20%﹣×100%）＝94，则m＝94；（3）＝1440名，∴该校2000名学生中大约有1440名学生喜欢“每日健身操”活动．22．（8分）一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上．（1）甲坐在①号座位的概率是　　；（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．【解答】解：（1）∵丙坐了一张座位，∴甲坐在①号座位的概率是；（2）画树状图如图：共有6种等可能的结果，甲与乙两同学恰好相邻而坐的结果有4种，第21页（共21页） ∴甲与乙相邻而坐的概率为．23．（10分）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问原先每天生产多少万剂疫苗？【解答】解：设原先每天生产x万剂疫苗，由题意可得：，解得：x＝40，经检验：x＝40是原方程的解，∴原先每天生产40万剂疫苗．24．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．（1）试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；（2）若∠BAC＝90°，且AD＝2，求四边形AFDE的面积．【解答】解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EDA＝∠EAD，∴AE＝DE，∴平行四边形AFDE是菱形；（2）∵∠BAC＝90°，∴四边形AFDE是正方形，∵AD＝，∴AF＝DF＝DE＝AE＝＝2，∴四边形AFDE的面积为2×2＝4．25．（10分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．第21页（共21页） 【解答】解：（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB．在△ABD和△FBD中，，∴△ABD≌△FBD（AAS），∴BF＝BA，则点F在圆B上，∴CD与⊙B相切；（2）∵∠BCD＝60°，CB＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠CBD＝60°∵BF⊥CD，∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，∴∠ABF＝60°，∵AB＝BF＝，∴AD＝DF＝AB·tan30°＝2，∴阴影部分的面积＝S△ABD﹣S扇形ABE＝＝．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）b＝　﹣2　，c＝　﹣3　；（2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标．第21页（共21页） 【解答】解：（1）∵点A和点B在二次函数y＝x2+bx+c图像上，则，解得：，故答案为：﹣2，﹣3；（2）连接BC，由题意可得：A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），y＝x2﹣2x﹣3，∴S△ABC＝＝6，∵S△ABD＝2S△ABC，设点D（m，m2﹣2m﹣3），∴|yD|＝2×6，即×4×|m2﹣2m﹣3|＝2×6，解得：m＝或，代入y＝x2﹣2x﹣3，可得：y值都为6，∴D（，6）或（，6）；（3）设P（n，n2﹣2n﹣3），∵点P在抛物线位于x轴上方的部分，∴n＜﹣1或n＞3，当点P在点A左侧时，即n＜﹣1，可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离，∴S△APC＜S△APB，不成立；当点P在点B右侧时，即n＞3，∵△APC和△APB都以AP为底，若要面积相等，则点B和点C到AP的距离相等，即BC∥AP，设直线BC的解析式为y＝kx+p，则，解得：，则设直线AP的解析式为y＝x+q，将点A（﹣1，0）代入，第21页（共21页） 则﹣1+q＝0，解得：q＝1，则直线AP的解析式为y＝x+1，将P（n，n2﹣2n﹣3）代入，即n2﹣2n﹣3＝n+1，解得：n＝4或n＝﹣1（舍），n2﹣2n﹣3＝5，∴点P的坐标为（4，5）．27．（12分）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段BC＝2，使用作图工具作∠BAC＝30°，尝试操作后思考：（1）这样的点A唯一吗？（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为　2　；②△ABC面积的最大值为　　；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P在直线CD的左侧，且tan∠DPC＝．①线段PB长的最小值为　　；②若S△PCD＝S△PAD，则线段PD长为　　．【解答】解：（1）①设O为圆心，连接BO，CO，∵∠BCA＝30°，∴∠BOC＝60°，又OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝2，即半径为2；第21页（共21页） ②∵△ABC以BC为底边，BC＝2，∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，如图，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，∴BE＝CE＝1，DO＝BO＝2，∴OE＝，∴DE＝，∴△ABC的最大面积为＝；（2）如图，延长BA′，交圆于点D，连接CD，∵点D在圆上，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BA′C＝∠BDC+∠A′CD，∴∠BA′C＞∠BDC，∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；（3）①如图，当点P在BC上，且PC＝时，∵∠PCD＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∴tan∠DPC＝，为定值，连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，PD为半径画圆，∴当点P在优弧CPD上时，tan∠DPC＝，连接BQ，与圆Q交于P′，此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊥BE，垂足为E，∵点Q是PD中点，∴点E为PC中点，即QE＝CD＝1，PE＝CE＝PC＝，∴BE＝BC﹣CE＝3﹣＝，∴BQ＝，∵PD＝，∴圆Q的半径为，第21页（共21页） ∴BP′＝BQ﹣P′Q＝，即BP的最小值为；②∵AD＝3，CD＝2，S△PCD＝S△PAD，则，∴△PAD中AD边上的高＝△PCD中CD边上的高，即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，则点P到AD和CD的距离相等，即点P在∠ADC的平分线上，如图，过点C作CF⊥PD，垂足为F，∵PD平分∠ADC，∴∠ADP＝∠CDP＝45°，∴△CDF为等腰直角三角形，又CD＝2，∴CF＝DF＝，∵tan∠DPC＝，∴PF＝，∴PD＝DF+PF＝．28．（12分）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是　48000　元；当每个公司租出的汽车为　37　辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a＞0）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．【解答】解：（1）[（50﹣10）×50+3000]×10﹣200×10＝48000元，当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；第21页（共21页） 设每个公司租出的汽车为x辆，由题意可得：[（50﹣x)×50+3000]x﹣200x＝3500x﹣1850，解得：x＝37或x＝﹣1（舍），∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，则y甲＝[（50﹣x)×50+3000]x﹣200x，y乙＝3500x﹣1850，当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，y＝y甲﹣y乙＝[（50﹣x)×50+3000]x﹣200x﹣(3500x﹣1850)＝﹣50x2+1800x+1850，当x＝＝18时，利润差最大，且为18050元；当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，y＝y乙﹣y甲＝3500x﹣1850﹣[(50﹣x)×50+3000]x+200x＝50x2﹣1800x﹣1850，∵对称轴为直线x＝＝18，当x＝50时，利润差最大，且为33150元；综上：两公司月利润差的最大值为33150元；（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，则利润差为y＝﹣50x2+1800x+1850﹣ax＝﹣50x2+(1800﹣a)x+1850，对称轴为直线x＝，∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，∴，解得：50＜a＜150．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/6/238:58:16；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第21页（共21页）