2020年四川省绵阳市中考数学试卷
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2020年四川省绵阳市中考数学试卷一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题只有一个选项符合题目要求.1.(3分)﹣3的相反数是( )A.﹣3B.﹣C.D.32.(3分)如图是以正方形的边长为直径,在正方形内画半圆得到的图形,则此图形的对称轴有( )A.2条B.4条C.6条D.8条3.(3分)近年来,华为手机越来越受到消费者的青睐.截至2019年12月底,华为5G手机全球总发货量突破690万台.将690万用科学记数法表示为( )A.0.69×107B.69×105C.6.9×105D.6.9×1064.(3分)下列四个图形中,不能作为正方体的展开图的是( )A.B.C.D.5.(3分)若有意义,则a的取值范围是( )A.a≥1B.a≤1C.a≥0D.a≤﹣16.(3分)《九章算术》中记载“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三,问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,问合伙人数、羊价各是多少?此问题中羊价为( )A.160钱B.155钱C.150钱D.145钱第28页(共28页),7.(3分)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,DF∥BC,∠ABC的平分线BE交DF于点G,GH⊥DF,点E恰好为DH的中点,若AE=3,CD=2,则GH=( )A.1B.2C.3D.48.(3分)将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中,则恰有一个篮子为空的概率为( )A.B.C.D.9.(3分)在螳螂的示意图中,AB∥DE,△ABC是等腰三角形,∠ABC=124°,∠CDE=72°,则∠ACD=( )A.16°B.28°C.44°D.45°10.(3分)甲、乙二人同驾一辆车出游,各匀速行驶一半路程,共用3小时,到达目的地后,甲对乙说:“我用你所花的时间,可以行驶180km”,乙对甲说:“我用你所花的时间,只能行驶80km”.从他们的交谈中可以判断,乙驾车的时长为( )A.1.2小时B.1.6小时C.1.8小时D.2小时11.(3分)三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小完全相同.当水面刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为10米,孔顶离水面1.5米;当水位下降,大孔水面宽度为14米时,单个小孔的水面宽度为4米,若大孔水面宽度为20米,则单个小孔的水面宽度为( )第28页(共28页),A.4米B.5米C.2米D.7米12.(3分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=2,AD=2,将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C,当A′B′恰好经过点D时,△B′CD为等腰三角形,若BB′=2,则AA′=( )A.B.2C.D.二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.将答案填写在答题卡相应的横线上.13.(4分)因式分解:x3y﹣4xy3= .14.(4分)平面直角坐标系中,将点A(﹣1,2)先向左平移2个单位,再向上平移1个单位后得到的点A1的坐标为 .15.(4分)若多项式xy|m﹣n|+(n﹣2)x2y2+1是关于x,y的三次多项式,则mn= .16.(4分)我市认真落实国家“精准扶贫”政策,计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共100亩,根据市场调查,甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元,每亩的销售额分别为2万元、2.5万元,如果要求种植成本不少于98万元,但不超过100万元,且所有火龙果能全部售出,则该县在此项目中获得的最大利润是 万元.(利润=销售额﹣种植成本)17.(4分)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=60°,AD=BC=CD=4,点M是四边形ABCD内的一个动点,满足∠AMD=90°,则点M到直线BC的距离的最小值为 .第28页(共28页),18.(4分)若不等式>﹣x﹣的解都能使不等式(m﹣6)x<2m+1成立,则实数m的取值范围是 .三、解答题:本大题共7小题,共计90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(16分)(1)计算:|﹣3|+2cos60°﹣×﹣(﹣)0.(2)先化简,再求值:(x+2+)÷,其中x=﹣1.20.(12分)4月23日是“世界读书日”,甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动.甲书店:所有书籍按标价8折出售;乙书店:一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费,超过100元后的部分打6折.(1)以x(单位:元)表示标价总额,y(单位:元)表示应支付金额,分别就两家书店的优惠方式,求y关于x的函数解析式;(2)“世界读书日”这一天,如何选择这两家书店去购书更省钱?21.(12分)为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏,天天快餐公司积极投入到复工复产中.现有A、B两家农副产品加工厂到该公司推销鸡腿,两家鸡腿的价格相同,品质相近.该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的鸡腿.检察人员从两家分别抽取100个鸡腿,然后再从中随机各抽取10个,记录它们的质量(单位:克)如表:A加工厂74757575737778727675B加工厂78747873747574747575(1)根据表中数据,求A加工厂的10个鸡腿质量的中位数、众数、平均数;(2)估计B加工厂这100个鸡腿中,质量为75克的鸡腿有多少个?(3)根据鸡腿质量的稳定性,该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡腿?22.(12分)如图,△ABC内接于⊙O,点D在⊙O外,∠ADC=90°,BD交⊙O于点E,交AC于点F,∠EAC=∠DCE,∠CEB=∠DCA,CD=6,AD=8.(1)求证:AB∥CD;第28页(共28页),(2)求证:CD是⊙O的切线;(3)求tan∠ACB的值.23.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象与反比例函数y=(k<0)的图象在第二象限交于A(﹣3,m),B(n,2)两点.(1)当m=1时,求一次函数的解析式;(2)若点E在x轴上,满足∠AEB=90°,且AE=2﹣m,求反比例函数的解析式.24.(12分)如图,抛物线过点A(0,1)和C,顶点为D,直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B(,0),平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E,与直线AC交于点F,点F的横坐标为,四边形BDEF为平行四边形.(1)求点F的坐标及抛物线的解析式;(2)若点P为抛物线上的动点,且在直线AC上方,当△PAB面积最大时,求点P的坐标及△PAB面积的最大值;(3)在抛物线的对称轴上取一点Q,同时在抛物线上取一点R,使以AC为一边且以A,C,Q,R为顶点的四边形为平行四边形,求点Q和点R的坐标.第28页(共28页),25.(14分)如图,在矩形ABCD中,对角线相交于点O,⊙M为△BCD的内切圆,切点分别为N,P,Q,DN=4,BN=6.(1)求BC,CD;(2)点H从点A出发,沿线段AD向点D以每秒3个单位长度的速度运动,当点H运动到点D时停止,过点H作HI∥BD交AC于点I,设运动时间为t秒.①将△AHI沿AC翻折得△AH′I,是否存在时刻t,使点H′恰好落在边BC上?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由;②若点F为线段CD上的动点,当△OFH为正三角形时,求t的值.第28页(共28页),2020年四川省绵阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题只有一个选项符合题目要求.1.(3分)﹣3的相反数是( )A.﹣3B.﹣C.D.3【解答】解:﹣3的相反数是3,故选:D.2.(3分)如图是以正方形的边长为直径,在正方形内画半圆得到的图形,则此图形的对称轴有( )A.2条B.4条C.6条D.8条【解答】解:如图,因为以正方形的边长为直径,在正方形内画半圆得到的图形,所以此图形的对称轴有4条.故选:B.3.(3分)近年来,华为手机越来越受到消费者的青睐.截至2019年12月底,华为5G手机全球总发货量突破690万台.将690万用科学记数法表示为( )A.0.69×107B.69×105C.6.9×105D.6.9×106【解答】解:690万=6900000=6.9×106.第28页(共28页),故选:D.4.(3分)下列四个图形中,不能作为正方体的展开图的是( )A.B.C.D.【解答】解:正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”6种,“2﹣3﹣1型”3种,“2﹣2﹣2型”1种,“3﹣3型”1种,因此选项D符合题意,故选:D.5.(3分)若有意义,则a的取值范围是( )A.a≥1B.a≤1C.a≥0D.a≤﹣1【解答】解:若有意义,则a﹣1≥0,解得:a≥1.故选:A.6.(3分)《九章算术》中记载“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三,问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,问合伙人数、羊价各是多少?此问题中羊价为( )A.160钱B.155钱C.150钱D.145钱【解答】解:设共有x人合伙买羊,羊价为y钱,依题意,得:,解得:.故选:C.7.(3分)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,DF∥BC,∠ABC的平分线BE交DF于点G,GH⊥DF,点E恰好为DH的中点,若AE=3,CD=2,则GH=( )第28页(共28页),A.1B.2C.3D.4【解答】解:过E作EM⊥BC,交FD于点H,∵DF∥BC,∴EH⊥DF,∴EH∥HG,∴=,∵E为HD中点,∴=,∴=,即HG=2EH,∴∠DHM=∠HMC=∠C=90°,∴四边形HMCD为矩形,∴HM=DC=2,∵BE平分∠ABC,EA⊥AB,EM⊥BC,∴EM=AE=3,∴EH=EM﹣HM=3﹣2=1,则HG=2EH=2.故选:B.第28页(共28页),8.(3分)将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中,则恰有一个篮子为空的概率为( )A.B.C.D.【解答】解:三个不同的篮子分别用A、B、C表示,根据题意画图如下:共有9种等可能的情况数,其中恰有一个篮子为空的有6种,则恰有一个篮子为空的概率为=.故选:A.9.(3分)在螳螂的示意图中,AB∥DE,△ABC是等腰三角形,∠ABC=124°,∠CDE=72°,则∠ACD=( )A.16°B.28°C.44°D.45°【解答】解:延长ED,交AC于F,∵△ABC是等腰三角形,∠ABC=124°,∴∠A=∠ACB=28°,∵AB∥DE,∴∠CFD=∠A=28°,∵∠CDE=∠CFD+∠ACD=72°,∴∠ACD=72°﹣28°=44°,故选:C.第28页(共28页),10.(3分)甲、乙二人同驾一辆车出游,各匀速行驶一半路程,共用3小时,到达目的地后,甲对乙说:“我用你所花的时间,可以行驶180km”,乙对甲说:“我用你所花的时间,只能行驶80km”.从他们的交谈中可以判断,乙驾车的时长为( )A.1.2小时B.1.6小时C.1.8小时D.2小时【解答】解:设乙驾车时长为x小时,则乙驾车时长为(3﹣x)小时,根据两人对话可知:甲的速度为km/h,乙的速度为km/h,根据题意得:,解得:x1=1.8或x2=9,经检验:x1=1.8或x2=9是原方程的解,x2=9不合题意,舍去,故选:C.11.(3分)三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小完全相同.当水面刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为10米,孔顶离水面1.5米;当水位下降,大孔水面宽度为14米时,单个小孔的水面宽度为4米,若大孔水面宽度为20米,则单个小孔的水面宽度为( )A.4米B.5米C.2米D.7米【解答】解:如图,建立如图所示的平面直角坐标系,由题意可得MN=4,EF=14,BC=10,DO=,第28页(共28页),设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+,∵BC=10,∴点B(﹣5,0),∴0=a×(﹣5)2+,∴a=﹣,∴大孔所在抛物线解析式为y=﹣x2+,设点A(b,0),则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m(x﹣b)2,∵EF=14,∴点E的横坐标为﹣7,∴点E坐标为(﹣7,﹣),∴﹣=m(x﹣b)2,∴x1=+b,x2=﹣+b,∴MN=4,∴|+b﹣(﹣+b)|=4∴m=﹣,∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=﹣(x﹣b)2,∵大孔水面宽度为20米,∴当x=﹣10时,y=﹣,∴﹣=﹣(x﹣b)2,第28页(共28页),∴x1=+b,x2=﹣+b,∴单个小孔的水面宽度=|(+b)﹣(﹣+b)|=5(米),故选:B.12.(3分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=2,AD=2,将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C,当A′B′恰好经过点D时,△B′CD为等腰三角形,若BB′=2,则AA′=( )A.B.2C.D.【解答】解:过D作DE⊥BC于E,则∠DEC=∠DEB=90°,∵AD∥BC,∠ABC=90°,∴∠DAB=∠ABC=90°,∴四边形ABED是矩形,∴BE=AD=2,DE=AB=2,∵将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C,∴∠DB′C=∠ABC=90°,B′C=BC,A′C=AC,∠A′CA=∠B′CB,∴△A′CA∽△B′CB,∴=,∵△B′CD为等腰三角形,∴△B′CD为等腰直角三角形,∴CD=B′C,设B′C=BC=x,则CD=x,CE=x﹣2,∵CD2=CE2+DE2,∴(x)2=(x﹣2)2+(2)2,∴x=4(负值舍去),第28页(共28页),∴BC=4,∴AC==2,∴=,∴A′A=,故选:A.二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.将答案填写在答题卡相应的横线上.13.(4分)因式分解:x3y﹣4xy3= xy(x+2y)(x﹣2y) .【解答】解:x3y﹣4xy3,=xy(x2﹣4y2),=xy(x+2y)(x﹣2y).故答案为:xy(x+2y)(x﹣2y).14.(4分)平面直角坐标系中,将点A(﹣1,2)先向左平移2个单位,再向上平移1个单位后得到的点A1的坐标为 (﹣3,3) .【解答】解:∵将点A(﹣1,2)先向左平移2个单位,横坐标﹣2,再向上平移1个单位纵坐标+1,∴平移后得到的点A1的坐标为:(﹣3,3).故答案为:(﹣3,3).15.(4分)若多项式xy|m﹣n|+(n﹣2)x2y2+1是关于x,y的三次多项式,则mn= 0或8 .【解答】解:∵多项式xy|m﹣n|+(n﹣2)x2y2+1是关于x,y的三次多项式,∴n﹣2=0,1+|m﹣n|=3,∴n=2,|m﹣n|=2,∴m﹣n=2或n﹣m=2,第28页(共28页),∴m=4或m=0,∴mn=0或8.故答案为:0或8.16.(4分)我市认真落实国家“精准扶贫”政策,计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共100亩,根据市场调查,甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元,每亩的销售额分别为2万元、2.5万元,如果要求种植成本不少于98万元,但不超过100万元,且所有火龙果能全部售出,则该县在此项目中获得的最大利润是 125 万元.(利润=销售额﹣种植成本)【解答】解:设甲种火龙果种植x亩,乙钟火龙果种植(100﹣x)亩,此项目获得利润w,甲、乙两种火龙果每亩利润为1.1万元,1.4万元,由题意可知:,解得:50≤x≤60,此项目获得利润w=1.1x+1.4(100﹣x)=140﹣0.3x,当x=50时,w的最大值为140﹣15=125万元.17.(4分)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=60°,AD=BC=CD=4,点M是四边形ABCD内的一个动点,满足∠AMD=90°,则点M到直线BC的距离的最小值为 3﹣2 .【解答】解:取AD的中点O,连接OM,过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E,点点O作OF⊥BC于F,交CD于G,则OM+ME≥OF.第28页(共28页),∵∠AMD=90°,AD=4,OA=OD,∴OM=AD=2,∵AB∥CD,∴∠GCF=∠B=60°,∴∠DGO=∠CGE=30°,∵AD=BC,∴∠DAB=∠B=60°,∴∠ADC=∠BCD=120°,∴∠DOG=30°=∠DGO,∴DG=DO=2,∵CD=4,∴CG=2,∴OG=2,GF=,OF=3,∴ME≥OF﹣OM=3﹣2,∴当O,M,E共线时,ME的值最小,最小值为3﹣2.18.(4分)若不等式>﹣x﹣的解都能使不等式(m﹣6)x<2m+1成立,则实数m的取值范围是 ≤m≤6 .【解答】解:解不等式>﹣x﹣得x>﹣4,∵x>﹣4都能使不等式(m﹣6)x<2m+1成立,①当m﹣6=0,即m=6时,则x>﹣4都能使0•x<13恒成立;②当m﹣6≠0,则不等式(m﹣6)x<2m+1的解要改变方向,∴m﹣6<0,即m<6,∴不等式(m﹣6)x<2m+1的解集为x>,∵x>﹣4都能使x>成立,∴﹣4≥,∴﹣4m+24≤2m+1,∴m≥,第28页(共28页),综上所述,m的取值范围是≤m≤6.故答案为:≤m≤6.三、解答题:本大题共7小题,共计90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(16分)(1)计算:|﹣3|+2cos60°﹣×﹣(﹣)0.(2)先化简,再求值:(x+2+)÷,其中x=﹣1.【解答】解:(1)原式=3﹣+2×﹣×2﹣1=3﹣+﹣2﹣1=0;(2)原式=(+)÷=•=,当x=﹣1时,原式===1﹣.20.(12分)4月23日是“世界读书日”,甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动.甲书店:所有书籍按标价8折出售;乙书店:一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费,超过100元后的部分打6折.(1)以x(单位:元)表示标价总额,y(单位:元)表示应支付金额,分别就两家书店的优惠方式,求y关于x的函数解析式;(2)“世界读书日”这一天,如何选择这两家书店去购书更省钱?【解答】解:(1)甲书店:y=0.8x,第28页(共28页),乙书店:y=.(2)令0.8x=0.6x+40,解得:x=200,当x<200时,选择甲书店更省钱,当x=200,甲乙书店所需费用相同,当x>200,选择乙书店更省钱.21.(12分)为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏,天天快餐公司积极投入到复工复产中.现有A、B两家农副产品加工厂到该公司推销鸡腿,两家鸡腿的价格相同,品质相近.该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的鸡腿.检察人员从两家分别抽取100个鸡腿,然后再从中随机各抽取10个,记录它们的质量(单位:克)如表:A加工厂74757575737778727675B加工厂78747873747574747575(1)根据表中数据,求A加工厂的10个鸡腿质量的中位数、众数、平均数;(2)估计B加工厂这100个鸡腿中,质量为75克的鸡腿有多少个?(3)根据鸡腿质量的稳定性,该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡腿?【解答】解:(1)把这些数从小到大排列,最中间的数是第5和第6个数的平均数,则中位数是=75(克);因为75出现了4次,出现的次数最多,所以众数是75克;平均数是:(74+75+75+75+73+77+78+72+76+75)=75(克);(2)根据题意得:100×=30(个),答:质量为75克的鸡腿有30个;(3)选B加工厂的鸡腿.∵A、B平均值一样,B的方差比A的方差小,B更稳定,第28页(共28页),∴选B加工厂的鸡腿.22.(12分)如图,△ABC内接于⊙O,点D在⊙O外,∠ADC=90°,BD交⊙O于点E,交AC于点F,∠EAC=∠DCE,∠CEB=∠DCA,CD=6,AD=8.(1)求证:AB∥CD;(2)求证:CD是⊙O的切线;(3)求tan∠ACB的值.【解答】(1)证明:∵∠BAC=∠CEB,∠CEB=∠DCA,∴∠BAC=∠DCA,∴AB∥CD;(2)证明:连接EO并延长交⊙O于G,连接CG,如图1所示:则EG为⊙O的直径,∴∠ECG=90°,∵OC=OG,∴∠OCG=∠EGC,∵∠EAC=∠EGC,∠EAC=∠DCE,∴∠DCE=∠EGC=∠OCG,∵∠OCG+∠OCE=∠ECG=90°,∴∠DCE+∠OCE=90°,即∠DCO=90°,∵OC是⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线;(3)解:在Rt△ADC中,由勾股定理得:AC===10,∴cos∠ACD===,∵CD是⊙O的切线,AB∥CD,∴∠ABC=∠ACD=∠CAB,第28页(共28页),∴BC=AC=10,AB=2BC•cos∠ABC=2×10×=12,过点B作BG⊥AC于C,如图2所示:设GC=x,则AG=10﹣x,由勾股定理得:AB2﹣AG2=BG2=BC2﹣GC2,即:122﹣(10﹣x)2=102﹣x2,解得:x=,∴GC=,∴BG===,∴tan∠ACB===.23.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象与反比例函数y=(k<0)的图象在第二象限交于A(﹣3,m),B(n,2)两点.(1)当m=1时,求一次函数的解析式;(2)若点E在x轴上,满足∠AEB=90°,且AE=2﹣m,求反比例函数的解析式.第28页(共28页),【解答】解:(1)当m=1时,点A(﹣3,1),∵点A在反比例函数y=的图象上,∴k=﹣3×1=﹣3,∴反比例函数的解析式为y=﹣;∵点B(n,2)在反比例函数y=﹣图象上,∴2n=﹣3,∴n=﹣,设直线AB的解析式为y=ax+b,则,∴,∴直线AB的解析式为y=x+3;(2)如图,过点A作AM⊥x轴于M,过点B作BN⊥x轴于N,过点A作AF⊥BN于F,交BE于G,则四边形AMNF是矩形,∴FN=AM,AF=MN,∵A(﹣3,m),B(n,2),∴BF=2﹣m,∵AE=2﹣m,∴BF=AE,第28页(共28页),在△AEG和△BFG中,,∴△AEG≌Rt△BFG(AAS),∴AG=BG,EG=FG,∴BE=BG+EG=AG+FG=AF,∵点A(﹣3,m),B(n,2)在反比例函数y=的图象上,∴k=﹣3m=2n,∴m=﹣n,∴BF=BN﹣FN=BN﹣AM=2﹣m=2+n,MN=n﹣(﹣3)=n+3,∴BE=AF=n+3,∵∠AEM+∠MAE=90°,∠AEM+∠BEN=90°,∴∠MAE=∠NEB,∵∠AME=∠ENB=90°,∴△AME∽△ENB,∴====,∴ME=BN=,在Rt△AME中,AM=m,AE=2﹣m,根据勾股定理得,AM2+ME2=AE2,∴m2+()2=(2﹣m)2,∴m=,∴k=﹣3m=﹣,∴反比例函数的解析式为y=﹣.第28页(共28页),24.(12分)如图,抛物线过点A(0,1)和C,顶点为D,直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B(,0),平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E,与直线AC交于点F,点F的横坐标为,四边形BDEF为平行四边形.(1)求点F的坐标及抛物线的解析式;(2)若点P为抛物线上的动点,且在直线AC上方,当△PAB面积最大时,求点P的坐标及△PAB面积的最大值;(3)在抛物线的对称轴上取一点Q,同时在抛物线上取一点R,使以AC为一边且以A,C,Q,R为顶点的四边形为平行四边形,求点Q和点R的坐标.【解答】解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),∵A(0,1),B(,0),设直线AB的解析式为y=kx+m,∴,解得,∴直线AB的解析式为y=﹣x+1,第28页(共28页),∵点F的横坐标为,∴F点纵坐标为﹣+1=﹣,∴F点的坐标为(,﹣),又∵点A在抛物线上,∴c=1,对称轴为:x=﹣,∴b=﹣2a,∴解析式化为:y=ax2﹣2ax+1,∵四边形DBFE为平行四边形.∴BD=EF,∴﹣3a+1=a﹣8a+1﹣(﹣),解得a=﹣1,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+1;(2)设P(n,﹣n2+2n+1),作PP'⊥x轴交AC于点P',则P'(n,﹣n+1),∴PP'=﹣n2+n,S△ABP=OB•PP'=﹣n=﹣+,∴当n=时,△ABP的面积最大为,此时P(,).(3)∵,第28页(共28页),∴x=0或x=,∴C(,﹣),设Q(,m),①当AQ为对角线时,∴R(﹣),∵R在抛物线y=+4上,∴m+=﹣+4,解得m=﹣,∴Q,R;②当AR为对角线时,∴R(),∵R在抛物线y=+4上,∴m﹣+4,解得m=﹣10,∴Q(,﹣10),R().综上所述,Q,R;或Q(,﹣10),R().25.(14分)如图,在矩形ABCD中,对角线相交于点O,⊙M为△BCD的内切圆,切点分别为N,P,Q,DN=4,BN=6.(1)求BC,CD;(2)点H从点A出发,沿线段AD向点D以每秒3个单位长度的速度运动,当点H运动到点D时停止,过点H作HI∥BD交AC于点I,设运动时间为t秒.①将△AHI沿AC翻折得△AH′I,是否存在时刻t,使点H′恰好落在边BC上?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由;②若点F为线段CD上的动点,当△OFH为正三角形时,求t的值.第28页(共28页),【解答】解:(1)∵⊙M为△BCD的内切圆,切点分别为N,P,Q,DN=4,BN=6,∴BP=BN=6,DQ=DN=4,CP=CQ,BD=BN+DN=10,设CP=CQ=a,则BC=6+a,CD=4+a,∵四边形ABCD是矩形,∴∠BCD=90°,∴BC2+CD2=BD2,即(6+a)2+(4+a)2=102,解得:a=2,∴BC=6+2=8,CD=4+2=6;(2)①存在时刻t=s,使点H′恰好落在边BC上;理由如下:如图1所示:由折叠的性质得:∠AH'I=∠AHI,AH'=AH=3t,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=8,AD∥BC,∠BCD=90°,OA=OC=AC,OB=OD=BD,AC=BD,∴AC=BD===10,OA=OD=5,∴∠ADO=∠OAD,∵HI∥BD,∴∠AHI=∠ADO,∴∠AH'I=∠AHI=∠ADO=∠OAD=∠ACH',∴△AIH'∽△AH'C,∴=,∴AH'2=AI×AC,∵HI∥BD,第28页(共28页),∴△AIH∽△AOD,∴=,即=,解得:AI=t,∴(3t)2=t×10,解得:t=,即存在时刻t=s,使点H′恰好落在边BC上;②作PH⊥OH于H,交OF的延长线于P,作OM⊥AD于M,PN⊥AD于N,如图2所示:则OM∥CD∥PN,∠OMH=∠HNP=90°,OM是△ACD的中位线,∴OM=CD=3,∵△OFH是等边三角形,∴OF=FH,∠OHF=∠HOF=60°,∴∠FHP=∠HPO=30°,∴FH=FP=OF,HP=OH,∴DF是梯形OMNP的中位线,∴DN=DM=4,∵∠MHO+∠MOH=∠MHO+∠NHP=90°,∴∠MOH=∠NHP,∴△OMH∽△HNP,∴==,∴HN=OM=3,∴DH=HN﹣DN=3﹣4,∴AH=AD﹣DH=12﹣3,∴t==4﹣,即当△OFH为正三角形时,t的值为(4﹣)s.第28页(共28页),声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2020/8/613:42:10;用户:柯瑞;邮箱:ainixiaoke00@163.com;学号:500557第28页(共28页)
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