2012年四川省绵阳市中考数学试卷

2012年四川省绵阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．）)1.的算术平方根是()A.B.C.D.2.点‴㤱⸸䁃关于原点对称的点的坐标是（）A.‴㤱⸸䁃B.‴㤱⸸䁃C.‴㤱⸸䁃D.‴⸸㤱䁃3.下列事件中，是随机事件的是（）A.度量四边形的内角和为㤱䁞B.通常加热到㤱䁞䁞，水沸腾C.袋中有个黄球，个绿球，共五个球，随机摸出一个球是红球D.抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.5.绵阳市统计局发布䁞㤱年一季度全市完成⻈ݧ共㤱㐠亿元，居全省第二位，将这一数据用科学记数法表示为（）A.㤱䁞㐠㤱䁞元B.䁞㤱㐠㤱䁞㤱䁞元C.䁞㤱㐠㤱䁞㤱㤱元D.㤱䁞㐠㤱䁞㤱䁞元6.把一个正五棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（）A.B.C.D.7.如图，将等腰直角三角形虚线剪去顶角后，㤱ᦙ‴䁃A.䁞B.䁞C.㐠䁞D.与虚线的位置有关8.已知ᦙ䁪，䁞，则下列关系一定成立的是（）䁪A.ᦙ䁪B.ᦙC.ᦙ䁪D.ᦙ䁪试卷第1页，总10页 9.图‴㤱䁃是一个长为，宽为݊‴ᦙ݊䁃的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图‴䁃那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是()A.݊B.‴݊䁃C.‴݊䁃D.݊10.在同一直角坐标系中，正比例函数ᦙ例的图象与反比例函数ᦙ的图象没例有交点，则实数的取值范围在数轴上表示为（）A.B.C.D.㤱11.已知香中，ᦙ䁞，tanᦙ，⻈是上一点，香⻈ᦙ，则sin香⻈ᦙ‴䁃㤱䁞㤱䁞A.B.C.D.䁞䁞㤱䁞㤱䁞12.如图，ݧ香到䁞转旋针时顺香点绕ݧ香把，点一外香角直腰等是ݧ㘮，已知ݧ㘮香＝㤱䁞，ݧ㘮ܣݧ㘮＝㤱ܣ，则ݧ㘮ܣݧ香＝（）A.㤱ܣB.㤱ܣC.ܣD.㤱ܣ二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）)13.比㤱低的温度是________．（用数字填写）14.如图，香⻈，⻈与香交于点，是香⻈的平分线，若㤱ᦙ䁞，ᦙ䁞，则香ᦙ________度．试卷第2页，总10页 15.如图，香ᦙ，㤱ᦙ，要使香⻈，则应添加的一个条件为________．（答案不唯一，只需填一个）．16.如图，正方形的边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为________（结果保留两位有效数字，参考数据䁞㤱）17.一个长方形的长减少䁞，宽增加，就变成了一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则原长方形的面积为________．例䁞18.如果关于例的不等式组的整数解仅有㤱，，那么适合这个不等式组例䁪䁞的整数，䁪组成的有序数对‴⸸䁪䁃共有________个．三、解答题（本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）)䁞19.（1）计算：‴䁃‴䁃；19.㤱㤱例（2）化简：‴㤱䁃‴例䁃例例20.课外阅读是提高学生素养的重要途径，亚光初中为了了解学校学生的阅读情况，组织调查组对全校三个年级共㤱䁞䁞䁞名学生进行了抽样调查，抽取的样本容量为䁞䁞．已知该校有初一学生䁞䁞名，初二学生䁞䁞䁞名，初三学生䁞䁞名．（1）为使调查的结果更加准确地反映全校的总体情况，应分别在初一年级随机抽取________人；在初二年级随机抽取________人；在初三年级随机抽取________人．（请直接填空）（2）调查组对本校学生课外阅读量的统计结果分别用扇形统计图和频数分布直方图表示如下请根据上统计图，计算样本中各类阅读量的人数，并补全频数分布直方图．（3）根据（2）的调查结果，从该校中随机抽取一名学生，他最大可能的阅读量是多少本？为什么？试卷第3页，总10页 21.如图，ݧ接连，香、于切别分香ݧ、ݧ、香相交于⻈，是上一点，ᦙ䁞．（1）求ݧ香的大小；（2）若ݧᦙ䁞，求香的面积．22.已知关于例的方程例‴䁃例‴㤱䁃ᦙ䁞．‴㤱䁃求证：方程一定有两个不相等的实数根；‴䁃若此方程的一根是㤱，求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．23.某种子商店销售“黄金一号”玉米种子，为惠民促销，推出两种销售方案供采购者选择．方案一：每千克种子价格为元，无论购买多少均不打折；方案二：购买千克以内（含千克）的价格为每千克䁞元，若一次性购买超过千克的，则超过千克的部分的种子价格打㐠折．（1）请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量例（千克）和付款金额（元）之间的函数关系式；（2）若你去购买一定量的种子，你会怎样选择方案？说明理由．24.如图，正方形香⻈中，、分别是边⻈、⻈上的点，⻈＝，与香相交于，⻈，垂足为．（1）求证：香；（2）试探究线段、香、的长度之间的数量关系；（3）若ܣ＝ܣ䁞，试确定点的位置．试卷第4页，总10页 25.如图㤱，在直角坐标系中，是坐标原点，点在轴正半轴上，二次函数ᦙ㤱例例的图象交例轴于香、两点，交轴于点，其中香‴⸸䁞䁃，‴䁞⸸㤱䁃．已知ᦙ香．（1）求二次函数的解析式；（2）证明：在抛物线上存在点⻈，使、香、、⻈四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线香⻈的解析式；（3）在（2）的条件下，设直线过⻈且分别交直线香、香于不同的ݧ、两点，、香⻈相交于．㤱㤱①若直线香⻈，如图㤱，试求的值；香ݧ香②若为满足条件的任意直线．如图．①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例．试卷第5页，总10页 参考答案与试题解析2012年四川省绵阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.A2.C3.D4.B5.B6.B7.C8.D9.C10.C11.A12.B二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）13.14.䁞15.ᦙ⻈16.㤱䁞㐠㤱䁞䁞17.18.三、解答题（本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）19.解：（1）原式ᦙ㤱‴䁃ᦙ㤱‴䁃‴䁃ᦙ㤱㤱ᦙ；例㤱例㤱例（2）原式ᦙ例例例㤱例㤱ᦙ例例㤱ᦙ．例㤱20.㤱䁞,㤱䁞䁞,䁞㐠（2）根据扇形图得出：㤱䁞本的有䁞䁞ᦙ䁞（人），䁞䁞‴㤱䁞㐠㤱䁞䁞䁃ᦙ㤱䁞（人），䁞试卷第6页，总10页 䁞本的有䁞䁞ᦙ㤱（人），㤱䁞本的有䁞䁞ᦙ（人），补全频数分布直方图，如图所示：（3）根据扇形图可知㤱䁞本以上所占比例最大，故从该校中随机抽取一名学生，他最大可能的阅读量是㤱䁞本以上．21.解：（1）∵ݧ、ݧ香分别切于、香，∴ݧ香，ݧ香，∴ݧᦙݧ香ᦙ䁞，∵ᦙ䁞，∴香ᦙᦙ䁞ᦙ㤱䁞，∴ݧݧ䁞ᦙ香ݧ香香ᦙ䁞；（2）∵ݧ、ݧ香分别切于、香，㤱㤱∴ݧᦙݧ，䁞ᦙ䁞ᦙ香ݧᦙݧ，䁞ᦙ香ݧᦙݧ香，∴ݧ在香的垂直平分线上，∵ᦙ香，∴在香的垂直平分线上，即ݧ是香的垂直平分线，㤱即⻈香，⻈ᦙ香⻈ᦙ香，∵ݧᦙ䁞，∴ݧᦙ䁞，㤱㤱在ݧᦙ，中ݧᦙ䁞ᦙ㤱䁞‴䁃，在⻈中，⻈ᦙsin䁞ᦙ㤱䁞ᦙ䁞‴䁃，⻈ᦙcos䁞ᦙ㤱䁞㤱ᦙ䁞‴䁃，∴香ᦙ⻈ᦙ㤱䁞，㤱㤱∴香的面积为：香⻈ᦙ㤱䁞䁞ᦙ䁞‴䁃．22.‴㤱䁃证明：∵ᦙ‴䁃‴㤱䁃ᦙ‴䁃，∴在实数范围内，无论取何值，‴䁃ᦙ䁞，即ᦙ䁞，∴关于例的方程例‴䁃例‴㤱䁃ᦙ䁞恒有两个不相等的实数根；‴䁃解：根据题意，得㤱㤱‴䁃‴㤱䁃ᦙ䁞，解得，ᦙ，则方程的另一根为：㤱ᦙ㤱ᦙ；试卷第7页，总10页 ①当该直角三角形的两直角边是㤱、时，由勾股定理得斜边的长度为：㤱䁞；该直角三角形的周长为㤱㤱䁞ᦙ㤱䁞；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是㤱、时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为㤱ᦙ．23.解：（1）方案一的函数是：㤱ᦙ例，䁞例‴䁞例䁃方案二的函数是：ᦙ；䁞䁞䁞䁞㐠‴例䁃‴例ᦙ䁃（2）当例时，选择方案一；当例ᦙ时，例ᦙ䁞䁞䁞䁞㐠‴例䁃，解得：例ᦙ，例ᦙ㤱䁞䁞䁞䁞䁞㐠‴例䁃，解得：例ᦙ；当例䁞䁞䁞䁞㐠‴例䁃，解得：䁞例．故当䁞例时，选择方案一；当例ᦙ时，选择两种方案都可以；当例ᦙ时，选择方案二．24.证明：∵香⻈为正方形，且⻈＝，∴＝⻈，香＝⻈，香＝⻈＝䁞，在香和⻈，∵$left{egin{matrix}{AE=DF}{AB=AD}{ngleBAE=ngleADF=90}end{matrix} ight.$，∴香⻈，∴香＝⻈，又∵香香＝䁞，∴⻈香＝䁞，∴＝䁞，即香；香＝．理由：由（1）的结论可知，香＝⻈，香＝⻈＝䁞，香＝⻈，在香和⻈中，∵$left{egin{matrix}{ngleABE=ngleDAF}{ngleAOB=ngleDGA=90}{AB=AD}end{matrix} ight.$，则香⻈，所以，香＝＝；过点作⻈，垂足为，由矩形的性质，得＝，∵⻈＝，ܣ＝ܣ䁞，∴ܣ⻈＝ܣ䁞，∵香，⻈，∴⻈，∴香＝⻈，香⻈，∴香ܣ香＝ܣ⻈＝ܣ䁞，在香中，ܣ香＝ܣ，故ܣ⻈＝ܣ，即ᦙ⻈．试卷第8页，总10页 㤱25.解：（1）∵二次函数ᦙ例例的图象经过点香‴⸸䁞䁃，‴䁞⸸㤱䁃，㤱‴䁃ᦙ䁞∴，ᦙ㤱㤱解得ᦙ，ᦙ㤱．㤱㤱∴二次函数的解析式为：ᦙ例例㤱．㤱㤱（2）由二次函数的解析式为：ᦙ例例㤱，㤱㤱令ᦙ䁞，得例例㤱ᦙ䁞，解得例㤱ᦙ，例ᦙ，∴‴⸸䁞䁃，∴香ᦙ䁞；令例ᦙ䁞，得ᦙ㤱，∴‴䁞⸸㤱䁃，ᦙ㤱．又ᦙ香，∴ᦙᦙ，∴‴䁞⸸䁃．设⻈例轴，交抛物线于点⻈，如图㤱所示，㤱㤱则⻈ᦙ例例㤱ᦙᦙ，解得例㤱ᦙ䁞，例ᦙ（位于第二象限，舍去）∴⻈点坐标为‴䁞⸸䁃．∴⻈ᦙ香ᦙ䁞，又∵⻈香，∴四边形香⻈为平行四边形．即在抛物线上存在点⻈，使、香、、⻈四点连接而成的四边形恰好是平行四边形．设直线香⻈解析式为：ᦙ例䁪，∵香‴⸸䁞䁃，⻈‴䁞⸸䁃，䁪ᦙ䁞∴，䁞䁪ᦙ㤱解得：ᦙ，䁪ᦙ，㤱∴直线香⻈解析式为：ᦙ例．（3）在香中，香ᦙ香ᦙ䁞，又⻈ᦙ香ᦙ䁞，∴香⻈是菱形．①若直线香⻈，如图㤱所示．∵四边形香⻈是菱形，∴香⻈，∴直线，香香香㤱∴ᦙᦙᦙ，香ݧ香香⻈∵香ᦙ香ᦙ䁞，∴香ݧᦙ香ᦙ㤱䁞，试卷第9页，总10页 㤱㤱㤱㤱㤱∴ᦙᦙ；香ݧ香㤱䁞㤱䁞䁞②若为满足条件的任意直线，如图所示，此时①中的结论依然成立，理由如下：∵⻈香，⻈香，∴ݧ⻈⻈，ݧ⻈∴ᦙ，⻈∴ݧᦙ⻈⻈ᦙ䁞䁞ᦙ䁞．㤱㤱∴香ݧ香㤱㤱ᦙ香ݧ香㤱㤱ᦙ䁞ݧ䁞‴䁞ݧ䁃‴䁞䁃ᦙ‴䁞ݧ䁃‴䁞䁃㤱䁞ݧᦙ䁞䁞‴ݧ䁃ݧ㤱䁞ݧᦙ䁞䁞䁞‴ݧ䁃㤱ᦙ．䁞试卷第10页，总10页