2019年四川省绵阳市中考数学试卷

2019年四川省绵阳市中考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求．1.若，则的值为（）A.B.C.D.A.极差是B.众数是C.中位数是D.方差是2.据生物学可知，卵细胞是人体细胞中最大的细胞，其直径约为米．将数8.已知，，其中，为正整数，则的值为()用科学记数法表示为（）A.B.C.tD.tA.tB.C.tD.9.红星商店计划用不超过元的资金，购进甲、乙两种单价分别为元、3.不考虑颜色，对如图的对称性表述，正确的是（）元的商品共件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利元、元，两种商品均售完．若所获利润大于元，则该店进货方案有（）A.t种B.种C.种D.种10.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大A.轴对称图形正方形的面积是，小正方形面积是，则sincos＝（）B.中心对称图形C.既是轴对称图形又是中心对称图形D.既不是轴对称图形又不是中心对称图形4.下列几何体中，主视图是三角形的是tA.B.C.D.A.B.C.D.11.如图，二次函数＝ܿ的图象与轴交于两点，，，，其5.如图，在平面直角坐标系中，四边形쨁탿␀为菱形，，，쨁，，쨁␀＝，中．下列四个结论：①；②ܿ；③ܿ；则对角线交点的坐标为（）④，正确的个数是（）A.，tB.t，C.t，tD.t，t6.已知是整数，当t取最小值时，的值是（）A.B.C.tD.A.B.C.D.12.如图，在四边形쨁탿␀在中，쨁탿在␀，쨁在␀＝，쨁탿＝，␀在＝쨁在＝t，点7.帅帅收集了南街米粉店今年月日至月日每天的用水量（单位：吨），整理是线段␀在的三等分点，且靠近点␀，䁡的两边与线段쨁탿分别交于点、䁡，连并绘制成如下折线统计图．下列结论正确的是（）t接쨁␀分别交、䁡于点、．若탿䁡，䁡＝，则＝（）第1页共30页◎第2页共30页 如下：ttA.B.C.D.t二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线上．请根据统计图的信息，解答下列问题：13.因式分解：t________．（1）补全频数分布直方图，并求扇形统计图中扇形在对应的圆心角度数；14.如图，쨁탿␀在，쨁탿在的平分线与탿在␀的平分线交于点，则＝（2）成绩在在区域的选手，男生比女生多一人，从中随机抽取两人临时担任该校艺________．术节的主持人，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．21.辰星旅游度假村有甲种风格客房间，乙种风格客房间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为元；若甲、乙两种风格客房均有间入住，一天营业额为元．求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加元时，就会有两个房间空闲．如15.单项式与是同类项，则＝________．果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出元的各种费用．当每间房间定价16.一艘轮船在静水中的最大航速为t䁞㌳，它以最大航速沿江顺流航行䁞所为多少元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是多少元？用时间，与以最大航速逆流航行䁞所用时间相同，则江水的流速为䁞㌳．t22.如图，一次函数＝䁞䁞的图象与反比例函数且17.在쨁탿␀中，若탿，쨁탿，쨁␀，则쨁탿␀的面积是________．18.如图，쨁탿␀、탿在都是等腰直角三角形，탿쨁＝탿␀，탿在＝탿，쨁␀＝，在＝t的图象在第一象限交于点쨁、탿，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点␀，过．将탿在绕点탿逆时针方向旋转后得탿在，当点恰好落在线段쨁在上时，쨁、탿分别作轴的垂线，垂足分别为、在．已知쨁，，␀＝␀在．则␀＝________．（1）求的值和反比例函数的解析式；（2）若点为一次函数图象上的动点，求长度的最小值．三、解答题：本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演23.如图，쨁탿是的直径，点␀为탿在的中点，␀为的弦，且␀쨁탿，垂算步骤足为，连接탿在交␀于点䁡，连接␀在，쨁在，탿．19.（1）计算：tant；19.t（2）先化简，再求值：，其中，＝．20.胜利中学为丰富同学们的校园生活，举行“校园电视台主待人“选拔赛，现将t名参赛选手的成绩（单位：分）统计并绘制成频数分布直方图和扇形统计图，部分信息（1）求证：탿䁡␀在䁡；第3页共30页◎第4页共30页 （2）若쨁在＝탿＝，求탿的长．24.在平面直角坐标系中，将二次函数＝ܿ的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点쨁、탿（点쨁在点탿的左侧），쨁＝，经过点쨁的一次函数＝䁞䁞的图象与轴正半轴交于点␀，且与抛物线的另一个交点为在，쨁탿在的面积为．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求쨁␀面积的最大值，并求出此时点的坐标；t（3）若点为轴上任意一点，在（2）的结论下，求쨁的最小值．25.如图，在以点为中心的正方形쨁탿␀在中，쨁在＝，连接쨁␀，动点从点出发沿␀以每秒个单位长度的速度匀速运动，到达点␀停止．在运动过程中，쨁在的外接圆交쨁탿于点，连接在交쨁␀于点䁡，连接，将䁡沿翻折，得到．（1）求证：在是等腰直角三角形；（2）当点恰好落在线段탿␀上时，求的长；（3）设点运动的时间为秒，䁡的面积为，求关于时间的关系式．第5页共30页◎第6页共30页 参考答案与试题解析2019年四川省绵阳市中考数学试卷∴쨁쨁，쨁쨁t，一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选∴＝쨁쨁＝＝t，项符合题目要求．∴t，t．1.B6.A【解答】【解答】若，则＝，∵tt，2.D∴t，【解答】且与t最接近的整数是，将数用科学记数法表示为，∴当t取最小值时，的值是，3.B7.D【解答】【解答】如图所示：是中心对称图形．由图可知，月日至月日每天的用水量是：，，，t，．故选：탿．쨁．极差＝t＝，结论错误，故쨁不符合题意；탿．众数为，，，t，，结论错误，故탿不符合题意；␀．这个数按从小到大的顺序排列为：t，，，，，中位数为，结论错误，故␀不符合题意；在．平均数是t＝，4.C方差t＝．【解答】解：쨁，正方体的主视图是正方形，故此选项错误；结论正确，故在符合题意；탿，圆柱的主视图是长方形，故此选项错误；8.A␀，圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；【解答】在，六棱柱的主视图是长方形，中间还有两条竖线，故此选项错误.解：∵，，故选␀.∴5.Dt【解答】过点作轴于点，∵四边形쨁탿␀为菱形，쨁␀＝，.故选쨁.∴쨁쨁␀t，쨁＝，9.C∵쨁，，【解答】∴쨁＝，设该店购进甲种商品件，则购进乙种商品件，∴쨁쨁，根据题意，得：，ܿ解得：，第7页共30页◎第8页共30页 ∵为整数，t∵抛物线的对称轴在，∴＝、、、t、，∴该店进货方案有种，t∴关于对称轴对称点的横坐标在和之间，10.A【解答】t由图象可知在和之间为负值，和之间为正值，∵大正方形的面积是，小正方形面积是，∴大正方形的边长为，小正方形的边长为，∴与的关系不能确定，∴cossin＝，故③错误；∴cossin，④∵ܿ，∴，∴sincos．∴ܿ，11.Cܿ，【解答】ܿ，①∵抛物线开口向上，∵ܿ，，∴ܿ，∴，∵抛物线对称轴在轴的右侧，∴，∴，∵抛物线与轴的交点在轴上方，即，∴ܿ，∴，所以①正确；故④正确．②∵图象与轴交于两点，，，，其中，12.B【解答】∴，∵쨁在␀＝，␀在＝쨁在＝t，t∴쨁␀＝t，∴，t∵쨁탿＝，탿䁡，t当时，ܿt，∴쨁䁡，∵当＝时，＝＝，∵쨁탿在␀，∴＝，∴␀쨁䁡，␀␀∴ܿt，∴，쨁䁡쨁䁡∴ܿ，故②正确；␀∴，쨁䁡③当时，的值为，␀∴，쨁䁡给乘以，即可化为，∵␀쨁＝t，第9页共30页◎第10页共30页 ∴쨁탿在␀在탿＝，∴␀，t∵탿是쨁탿在的平分线，过作쨁탿于，∴쨁탿在，则四边形쨁在是矩形，∴＝쨁在＝t，쨁＝在＝，∵탿是탿在␀的平分线，t∴䁡，∴␀在탿，∴＝，t∴䁡䁡，15.【解答】∵，䁡由题意知，∴＝，＝，∴，t则＝（1）＝，∵＝␀＝，＝␀，故答案为：．∴␀，16.t【解答】∴，t设江水的流速为䁞㌳，根据题意可得：∴设＝t，，，∵␀，tt解得：＝，∴，␀经检验得：＝是原方程的根，t答：江水的流速为䁞㌳．∴，tt故答案为：．17.或解得：，【解答】解：过点쨁作쨁在탿␀，垂足为在.∴，①如图，当쨁탿␀为锐角三角形时，二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线上．13.【解答】解：t在쨁탿在中，쨁在쨁탿sin탿，탿在쨁탿cos탿；．在쨁␀在中，쨁在，쨁␀，故答案为：.∴␀在쨁␀쨁在，14.∴탿␀탿在␀在，【解答】∵쨁탿␀在，∴쨁탿␀탿␀쨁在．第11页共30页◎第12页共30页 ②当쨁탿␀为钝角三角形时，，当，＝时，原式．【解答】同理可得：탿␀탿在␀在，∴탿␀쨁在．쨁탿␀tantt故答案为：或.t18.tt【解答】tt如图，连接␀，＝；∵쨁탿␀、탿在都是等腰直角三角形，탿쨁＝탿␀，탿在＝탿，쨁␀＝，在＝，∴쨁탿＝탿␀＝，탿在＝탿＝，原式∵将탿在绕点탿逆时针方向旋转后得탿在，∴在탿＝탿＝탿在＝，在탿＝，在탿在＝쨁탿，∴쨁탿在＝␀탿，∴쨁탿在␀탿쨁，∴在＝␀탿＝，，过탿作탿␀于，当，＝时，原式．在탿中，탿＝탿，在탿␀中，␀탿␀탿，20.的频数为t䁨＝，∴␀，则的频数为＝，的频数为t＝，三、解答题：本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演补全图形如下：算步骤19.tanttttttt＝；扇形统计图中扇形在对应的圆心角度数为t；原式t画树状图为：第13页共30页◎第14页共30页 t，解得，∴甲、乙两种客房是t元和元.设每天的定价增加了个元，则有个房间空闲，共有种等可能的结果数，其中抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数为根据题意有：，，t所以抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为．∵，【解答】∴当时，取得最大值，最大值为，此时房间的定价为的频数为t䁨＝，元．则的频数为＝，答：当每间房间定价为元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是的频数为t＝，元．补全图形如下：【解答】解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是元，元，，根据题意得，，t，解得，∴甲、乙两种客房是t元和元.扇形统计图中扇形在对应的圆心角度数为t；t设每天的定价增加了个元，则有个房间空闲，画树状图为：根据题意有：，∵，∴当时，取得最大值，最大值为，此时房间的定价为元．答：当每间房间定价为元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是共有种等可能的结果数，其中抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数为元．，tt22.将点쨁，代入，所以抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为．得，t＝，21.解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是元，元，解得，＝，＝，，根据题意得，∴的值为或；反比例函数解析式为：；，∵탿在轴，쨁轴，∴␀在탿＝␀쨁＝，第15页共30页◎第16页共30页 ∴␀在탿␀쨁，∴␀在탿＝␀쨁＝，␀在탿在∴␀在탿␀쨁，∴，␀쨁␀在탿在∴，∵␀＝␀在，␀쨁∴쨁＝탿在，∵␀＝␀在，∵쨁，，∴쨁＝탿在，∴쨁＝，∵쨁，，∴탿在＝，∴쨁＝，∴탿＝，∴탿在＝，∴탿＝，∴탿，∴탿，∴탿，，将쨁，，탿，代入＝䁞，∴탿，，䁞将쨁，，탿，代入＝䁞，得，，䁞䁞得，，解得，䁞＝，＝，䁞∴쨁탿＝，解得，䁞＝，＝，设直线쨁탿与轴交点为，∴쨁탿＝，当＝时，＝；当＝时＝，设直线쨁탿与轴交点为，∴␀，，，，当＝时，＝；当＝时＝，则␀＝＝，∴␀，，，，∴␀为等腰直角三角形，则␀＝＝，∴␀␀＝，∴␀为等腰直角三角形，则当垂直␀于时，由垂线段最知可知，有最小值，∴␀␀＝，则当垂直␀于时，由垂线段最知可知，有最小值，即␀．即␀．【解答】t23.∵␀是탿在的中点，将点쨁，代入，∴␀在탿␀，得，t＝，∵쨁탿是的直径，且␀쨁탿，解得，＝，＝，∴탿␀탿，∴␀在탿，∴的值为或；反比例函数解析式为：；∴␀在＝탿，∵탿在轴，쨁轴，在탿䁡和␀在䁡中，第17页共30页◎第18页共30页 ∴쨁␀탿＝，␀在䁡∵䁡탿在䁡␀，∴쨁␀탿＝탿␀＝，탿␀在∵탿␀＝쨁탿␀，∴탿䁡␀在䁡쨁쨁；∴탿␀탿␀쨁，解法一：如图，连接，设的半径为，탿␀탿∴，쨁탿탿␀∴탿␀＝쨁탿탿＝＝，∴탿＝탿␀＝t．解法三：如图，连接␀，交탿在于，쨁在탿中，탿在＝쨁탿쨁在，即탿在＝，中，＝，即＝，∵␀在탿␀탿，∴탿在␀，∴탿在＝␀，∵␀是탿在的中点，∴탿在＝␀＝＝，∴␀탿在，即＝，∴在＝탿，解得：＝（舍）或t，∵쨁＝탿，∴탿＝탿＝tt＝，∴쨁在＝，∴탿＝t；解法二：如图，过␀作␀쨁在于，连接쨁␀、탿␀，∵␀＝탿，␀＝탿，탿＝␀＝，∴␀탿쨁쨁，∴＝＝，∴␀＝t，∴탿탿t．∵␀在탿␀，【解答】∴쨁␀＝탿쨁␀，∵␀是탿在的中点，∵␀쨁탿，∴␀在탿␀，∴␀＝␀，∵쨁탿是的直径，且␀쨁탿，∵쨁␀＝쨁␀，∴탿␀탿，∴쨁␀쨁␀ሺ，∴␀在탿，∴쨁＝쨁，∴␀在＝탿，∵␀＝␀，␀在＝␀탿，在탿䁡和␀在䁡中，∴␀在␀탿ሺ，␀在䁡∴在＝탿＝，∵䁡탿在䁡␀，∴쨁＝쨁＝＝，탿␀在∴쨁탿＝＝，∴탿䁡␀在䁡쨁쨁；∵쨁탿是的直径，解法一：如图，连接，设的半径为，第19页共30页◎第20页共30页 탿␀탿∴，쨁탿탿␀∴탿␀＝쨁탿탿＝＝，∴탿＝탿␀＝t．解法三：如图，连接␀，交탿在于，쨁在탿中，탿在＝쨁탿쨁在，即탿在＝，中，＝，即＝，∵␀在탿␀탿，∴탿在␀，∴탿在＝␀，∴탿在＝␀＝＝，∵␀是탿在的中点，即＝，∴␀탿在，解得：＝（舍）或t，∴在＝탿，∴탿＝탿＝tt＝，∵쨁＝탿，∴탿＝t；∴쨁在＝，解法二：如图，过␀作␀쨁在于，连接쨁␀、탿␀，∵␀＝탿，␀＝탿，탿＝␀＝，∴␀탿쨁쨁，∴＝＝，∴␀＝t，∴탿탿t．∵␀在탿␀，∴쨁␀＝탿쨁␀，24.将二次函数＝ܿ的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，∵␀쨁탿，得到的抛物线解析式为＝，∴␀＝␀，∵쨁＝，∵쨁␀＝쨁␀，∴点쨁的坐标为，，代入抛物线的解析式得，＝，∴쨁␀쨁␀ሺ，∴，∴쨁＝쨁，∵␀＝␀，␀在＝␀탿，t∴抛物线的解析式为，即．∴␀在␀탿ሺ，∴在＝탿＝，令＝，解得＝，＝t，∴쨁＝쨁＝＝，∴탿t，，∴쨁탿＝＝，∴쨁탿＝쨁탿＝，∵쨁탿是的直径，∵쨁탿在的面积为，∴쨁␀탿＝，∴쨁탿在쨁탿在，∴쨁␀탿＝탿␀＝，∵탿␀＝쨁탿␀，t∴在，代入抛物线解析式得，，∴탿␀탿␀쨁，解得＝，＝，第21页共30页◎第22页共30页 쨁䁡∴在，，∴，䁡t设直线쨁在的解析式为＝䁞，∵쨁䁡＝쨁＝䁡t䁞䁞∴sin쨁䁡，∴，解得：，쨁쨁䁞t∴쨁，∴直线쨁在的解析式为．∵、关于轴对称，t∴＝，过点作轴交쨁在于，如图，设，，则，，t∴쨁＝＝，此时最小，∵，쨁䁡＝，쨁䁡∴sin쨁䁡sin，쨁∴t．ttt∴，∴쨁的最小值是t．t【解答】∴쨁␀＝쨁␀t，将二次函数＝ܿ的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的t抛物线解析式为＝，，∵쨁＝，tt∴点쨁的坐标为，，代入抛物线的解析式得，＝，∴当时，쨁␀的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为，．∴，作关于轴的对称点，连接交轴于点䁡，过点作쨁于点，交轴于点，t∴抛物线的解析式为，即．令＝，解得＝，＝t，∴탿t，，∴쨁탿＝쨁탿＝，∵쨁탿在的面积为，∴쨁탿在쨁탿在，tt∵，，쨁＝，∴在，代入抛物线解析式得，，t解得＝，＝，∴쨁䁡＝，䁡，∴在，，第23页共30页◎第24页共30页 设直线쨁在的解析式为＝䁞，䁡t∴sin쨁䁡，쨁쨁䁞䁞∴，解得：，t䁞∴쨁，∵、关于轴对称，∴直线쨁在的解析式为．∴＝，tt过点作轴交쨁在于，如图，设，，则，，∴쨁＝＝，此时最小，∵，쨁䁡＝，쨁䁡∴sin쨁䁡sin，쨁∴t．t∴쨁的最小值是t．tt∴，25.证明：∵四边形쨁탿␀在是正方形，∴在쨁␀＝␀쨁탿＝，t∴쨁␀＝쨁␀t，t，tt∴当时，쨁␀的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为，．∴在＝␀쨁탿，在＝在쨁␀，作关于轴的对称点，连接交轴于点䁡，过点作쨁于点，交∴在＝在＝，轴于点，∴在＝，∴在是等腰直角三角形；设＝，连接在，∴在＝在쨁＝，∵在＝在쨁，∴在在쨁，在∴，쨁쨁在t∴쨁，∵，，쨁＝，t∴쨁䁡＝，䁡，쨁䁡∴，䁡t又∵쨁＝쨁在䁡，쨁＝在쨁䁡，∵쨁䁡＝쨁＝∴쨁쨁在䁡，第25页共30页◎第26页共30页 ∴在＝在＝，쨁쨁∴，쨁在쨁䁡∴在＝，∴쨁䁡쨁쨁在쨁，∴在是等腰直角三角形；又∵쨁＝쨁＝，设＝，连接在，∴在＝在쨁＝，∴쨁䁡，∵在＝在쨁，∴在在쨁，∴䁡＝쨁쨁䁡，在∴，当点恰好落在线段탿␀上在＝在＝＝，쨁쨁在∴쨁在탿，∴쨁，탿∴，在쨁在∵쨁␀在，䁡쨁∴，在䁡␀在又∵쨁＝쨁在䁡，쨁＝在쨁䁡，䁡∴쨁쨁在䁡，∴，在쨁쨁∴，쨁在쨁䁡∴，∴쨁䁡쨁쨁在쨁，解得：，（舍去），又∵쨁＝쨁＝，∴䁡＝t；∴쨁䁡，过点作쨁␀于点，∴䁡＝쨁쨁䁡，由（2）得䁡，当点恰好落在线段탿␀上在＝在＝＝，∵在＝，在＝，∴쨁在탿，∴在＝，탿∴，∴在쨁쨁，在쨁在∴＝＝，∵쨁␀在，t䁡쨁∴䁡䁡．∴，在䁡␀在【解答】䁡∴，证明：∵四边形쨁탿␀在是正方形，在∴在쨁␀＝␀쨁탿＝，∴，解得：，（舍去），∴䁡＝t；∴在＝␀쨁탿，在＝在쨁␀，过点作쨁␀于点，第27页共30页◎第28页共30页 由（2）得䁡，∵在＝，在＝，∴在＝，∴在쨁쨁，∴＝＝，t∴䁡䁡．第29页共30页◎第30页共30页