首页

2020江苏无锡数学试卷

资源预览文档简介为自动调取,内容显示的完整度及准确度或有误差,请您下载后查看完整的文档内容。

1/25

2/25

剩余23页未读,查看更多内容需下载

2020年江苏省无锡市中考数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共计30分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请用2B铅笔把答题卷上相应的答案涂黑.)1.(3分)﹣7的倒数是(  )A.7B.C.﹣D.﹣72.(3分)函数y=2+中自变量x的取值范围是(  )A.x≥2B.x≥C.x≤D.x≠3.(3分)已知一组数据:21,23,25,25,26,这组数据的平均数和中位数分别是(  )A.24,25B.24,24C.25,24D.25,254.(3分)若x+y=2,z﹣y=﹣3,则x+z的值等于(  )A.5B.1C.﹣1D.﹣55.(3分)正十边形的每一个外角的度数为(  )A.36°B.30°C.144°D.150°6.(3分)下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是(  )A.圆B.等腰三角形C.平行四边形D.菱形7.(3分)下列选项错误的是(  )A.cos60°=B.a2•a3=a5C.D.2(x﹣2y)=2x﹣2y8.(3分)反比例函数y=与一次函数y=的图形有一个交点B(,m),则k的值为(  )A.1B.2C.D.9.(3分)如图,在四边形ABCD中(AB>CD),∠ABC=∠BCD=90°,AB=3,BC=,把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC,若tan∠AED=,则线段DE的长度(  )第25页(共25页) A.B.C.D.10.(3分)如图,等边△ABC的边长为3,点D在边AC上,AD=,线段PQ在边BA上运动,PQ=,有下列结论:①CP与QD可能相等;②△AQD与△BCP可能相似;③四边形PCDQ面积的最大值为;④四边形PCDQ周长的最小值为3+.其中,正确结论的序号为(  )A.①④B.②④C.①③D.②③二、填空题(本大题共8小题,每小题2分,共计16分.不需要写出解答过程,只需把答案直接填写在答题卷相应的位置)11.(2分)因式分解:ab2﹣2ab+a=  .12.(2分)2019年我市地区生产总值逼近12000亿元,用科学记数法表示12000是  .13.(2分)已知圆锥的底面半径为1cm,高为cm,则它的侧面展开图的面积为=  cm2.14.(2分)如图,在菱形ABCD中,∠B=50°,点E在CD上,若AE=AC,则∠BAE=  °.第25页(共25页) 15.(2分)请写出一个函数表达式,使其图象的对称轴为y轴:  .16.(2分)我国古代问题:以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺,若将绳四折测之,绳多一尺,井深几何?这段话的意思是:用绳子量井深,把绳三折来量,井外余绳四尺,把绳四折来量,井外余绳一尺,井深几尺?则该问题的井深是  尺.17.(2分)二次函数y=ax2﹣3ax+3的图象过点A(6,0),且与y轴交于点B,点M在该抛物线的对称轴上,若△ABM是以AB为直角边的直角三角形,则点M的坐标为  .18.(2分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,点D,E分别在边AB,AC上,且DB=2AD,AE=3EC,连接BE,CD,相交于点O,则△ABO面积最大值为  .三、解答题(本大题共10小题,共84分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(8分)计算:(1)(﹣2)2+|﹣5|﹣;(2).20.(8分)解方程:(1)x2+x﹣1=0;(2).21.(8分)如图,已知AB∥CD,AB=CD,BE=CF.求证:(1)△ABF≌△DCE;(2)AF∥DE.第25页(共25页) 22.(8分)现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片,将4张卡片的背面朝上,洗匀.(1)若从中任意抽取1张,抽的卡片上的数字恰好为3的概率是  ;(2)若先从中任意抽取1张(不放回),再从余下的3张中任意抽取1张,求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)23.(6分)小李2014年参加工作,每年年底都把本年度收入减去支出后的余额存入银行(存款利息记入收入),2014年底到2019年底,小李的银行存款余额变化情况如下表所示:(单位:万元)年份2014年2015年2016年2017年2018年2019年收入389a1418支出1456c6存款余额261015b34(1)表格中a=  ;(2)请把下面的条形统计图补充完整;(画图后标注相应的数据)(3)请问小李在哪一年的支出最多?支出了多少万元?24.(8分)如图,已知△ABC是锐角三角形(AC<AB).(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图:作直线l,使l上的各点到B、C两点的距离相等;设直线l与AB、BC分别交于点M、N,作一个圆,使得圆心O在线段MN上,且与边AB、BC相切;(不写作法,保留作图痕迹)第25页(共25页) (2)在(1)的条件下,若BM=,BC=2,则⊙O的半径为  .25.(8分)如图,DB过⊙O的圆心,交⊙O于点A、B,DC是⊙O的切线,点C是切点,已知∠D=30°,DC=.(1)求证:△BOC∽△BCD;(2)求△BCD的周长.26.(10分)有一块矩形地块ABCD,AB=20米,BC=30米.为美观,拟种植不同的花卉,如图所示,将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形,其中梯形的高相等,均为x米.现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉;在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉;在矩形EFGH中种植丙种花卉.甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2,设三种花卉的种植总成本为y元.(1)当x=5时,求种植总成本y;(2)求种植总成本y与x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米,求三种花卉的最低种植总成本.27.(10分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点E为边CD上的一点(与C、D第25页(共25页) 不重合),四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME,延长ME交AB于点P,记四边形PADE的面积为S.(1)若DE=,求S的值;(2)设DE=x,求S关于x的函数表达式.28.(10分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线OA交二次函数y=x2的图象于点A,∠AOB=90°,点B在该二次函数的图象上,设过点(0,m)(其中m>0)且平行于x轴的直线交直线OA于点M,交直线OB于点N,以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN.(1)若点A的横坐标为8.①用含m的代数式表示M的坐标;②点P能否落在该二次函数的图象上?若能,求出m的值;若不能,请说明理由.(2)当m=2时,若点P恰好落在该二次函数的图象上,请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式.第25页(共25页) 2020年江苏省无锡市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共计30分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请用2B铅笔把答题卷上相应的答案涂黑.)1.(3分)﹣7的倒数是(  )A.7B.C.﹣D.﹣7【解答】解:﹣7的倒数是﹣.故选:C.2.(3分)函数y=2+中自变量x的取值范围是(  )A.x≥2B.x≥C.x≤D.x≠【解答】解:由题意得,3x﹣1≥0,解得x≥.故选:B.3.(3分)已知一组数据:21,23,25,25,26,这组数据的平均数和中位数分别是(  )A.24,25B.24,24C.25,24D.25,25【解答】解:这组数据的平均数是:(21+23+25+25+26)÷5=24;把这组数据从小到大排列为:21,23,25,25,26,最中间的数是25,则中位数是25;故选:A.4.(3分)若x+y=2,z﹣y=﹣3,则x+z的值等于(  )A.5B.1C.﹣1D.﹣5【解答】解:∵x+y=2,z﹣y=﹣3,∴(x+y)+(z﹣y)=2+(﹣3),整理得:x+y+z﹣y=2﹣3,即x+z=﹣1,则x+z的值为﹣1.故选:C.5.(3分)正十边形的每一个外角的度数为(  )A.36°B.30°C.144°D.150°第25页(共25页) 【解答】解:正十边形的每一个外角都相等,因此每一个外角为:360°÷10=36°,故选:A.6.(3分)下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是(  )A.圆B.等腰三角形C.平行四边形D.菱形【解答】解:A、圆既是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项不合题意;B、等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形,故本选项符合题意;C、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形,故此选项不合题意;D、菱形是中心对称图形但不是轴对称图形,故此选项不合题意.故选:B.7.(3分)下列选项错误的是(  )A.cos60°=B.a2•a3=a5C.D.2(x﹣2y)=2x﹣2y【解答】解:A.cos60°=,故本选项不合题意;B.a2•a3=a5,故本选项不合题意;C.,故本选项不合题意;D.2(x﹣2y)=2x﹣4y,故本选项符合题意.故选:D.8.(3分)反比例函数y=与一次函数y=的图形有一个交点B(,m),则k的值为(  )A.1B.2C.D.【解答】解:∵一次函数y=的图象过点B(,m),∴m=×+=,∴点B(,),∵反比例函数y=过点B,∴k=×=,第25页(共25页) 故选:C.9.(3分)如图,在四边形ABCD中(AB>CD),∠ABC=∠BCD=90°,AB=3,BC=,把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC,若tan∠AED=,则线段DE的长度(  )A.B.C.D.【解答】解:方法一:如图,延长ED交AC于点M,过点M作MN⊥AE于点N,设MN=m,∵tan∠AED=,∴=,∴NE=2m,∵∠ABC=90°,AB=3,BC=,∴∠CAB=30°,由翻折可知:∠EAC=30°,∴AM=2MN=2m,∴AN=MN=3m,∵AE=AB=3,∴5m=3,∴m=,第25页(共25页) ∴AN=,MN=,AM=,∵AC=2,∴CM=AC﹣AM=,∵MN=,NE=2m=,∴EM==,∵∠ABC=∠BCD=90°,∴CD∥AB,∴∠DCA=30°,由翻折可知:∠ECA=∠BCA=60°,∴∠ECD=30°,∴CD是∠ECM的角平分线,∴==,∴=,解得ED=.方法二:如图,过点D作DM⊥CE,由折叠可知:∠AEC=∠B=90°,∴AE∥DM,∵∠ACB=60°,∠ECD=30°,∴∠AED=∠EDM=30°,设EM=m,由折叠性质可知,EC=CB=,∴CM=3﹣m,第25页(共25页) ∴tan∠MCD===,解得m=,∴DM=,EM=,在直角三角形EDM中,DE2=DM2+EM2,解得DE=.故选:B.10.(3分)如图,等边△ABC的边长为3,点D在边AC上,AD=,线段PQ在边BA上运动,PQ=,有下列结论:①CP与QD可能相等;②△AQD与△BCP可能相似;③四边形PCDQ面积的最大值为;④四边形PCDQ周长的最小值为3+.其中,正确结论的序号为(  )A.①④B.②④C.①③D.②③【解答】解:①利用图象法可知PC>DQ,故①错误.②∵∠A=∠B=60°,∴当∠ADQ=∠CPB时,△ADQ∽△BPC,故②正确.③设AQ=x,则四边形PCDQ的面积=×32﹣×x××﹣×3×(3﹣x﹣)×=+x,∵x的最大值为3﹣=,∴x=时,四边形PCDQ的面积最大,最大值=,故③正确,如图,作点D关于AB的对称点D′,作D′F∥PQ,使得D′F=PQ,连接CF交AB第25页(共25页) 于点P′,此时四边形P′CD′Q′的周长最小.过点C作CH⊥D′F交D′F的延长线于H,交AB于J.由题意,DD′=2AD•sin60°=,HJ=DD′=,CJ=,FH=﹣﹣=,∴CH=CJ+HJ=,∴CF===,∴四边形P′CDQ′的周长的最小值=3+,故④错误,故选:D.二、填空题(本大题共8小题,每小题2分,共计16分.不需要写出解答过程,只需把答案直接填写在答题卷相应的位置)11.(2分)因式分解:ab2﹣2ab+a= a(b﹣1)2 .【解答】解:原式=a(b2﹣2b+1)=a(b﹣1)2;故答案为:a(b﹣1)2.12.(2分)2019年我市地区生产总值逼近12000亿元,用科学记数法表示12000是 1.2×104 .【解答】解:12000=1.2×104.故答案为:1.2×104.13.(2分)已知圆锥的底面半径为1cm,高为cm,则它的侧面展开图的面积为= 2π cm2.【解答】解:根据题意可知,圆锥的底面半径r=1cm,高h=cm,∴圆锥的母线l==2,∴S侧=πrl=π×1×2=2π(cm2).故答案为:2π.第25页(共25页) 14.(2分)如图,在菱形ABCD中,∠B=50°,点E在CD上,若AE=AC,则∠BAE= 115 °.【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,∴AC平分∠BCD,AB∥CD,∴∠BAE+∠AEC=180°,∠B+∠BCD=180°,∴∠BCD=180°﹣∠B=180°﹣50°=130°,∴∠ACE=∠BCD=65°,∵AE=AC,∴∠AEC=∠ACE=65°,∴∠BAE=180°﹣∠AEC=115°;故答案为:115.15.(2分)请写出一个函数表达式,使其图象的对称轴为y轴: y=x2 .【解答】解:∵图象的对称轴是y轴,∴函数表达式y=x2(答案不唯一),故答案为:y=x2(答案不唯一).16.(2分)我国古代问题:以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺,若将绳四折测之,绳多一尺,井深几何?这段话的意思是:用绳子量井深,把绳三折来量,井外余绳四尺,把绳四折来量,井外余绳一尺,井深几尺?则该问题的井深是 8 尺.【解答】解:设绳长是x尺,井深是y尺,依题意有,解得.故井深是8尺.故答案为:8.第25页(共25页) 17.(2分)二次函数y=ax2﹣3ax+3的图象过点A(6,0),且与y轴交于点B,点M在该抛物线的对称轴上,若△ABM是以AB为直角边的直角三角形,则点M的坐标为 (,﹣9)或(,6) .【解答】解:把点A(6,0)代入y=ax2﹣3ax+3得,0=36a﹣18a+3,解得:a=﹣,∴y=﹣x2+x+3,∴B(0,3),抛物线的对称轴为x=﹣=,设点M的坐标为:(,m),当∠ABM=90°,过B作BD⊥对称轴于D,则∠1=∠2=∠3,∴tan∠2=tan∠1==2,∴=2,∴DM=3,∴M(,6),当∠M′AB=90°,∴tan∠3==tan∠1==2,∴M′N=9,∴M′(,﹣9),综上所述,点M的坐标为(,﹣9)或(,6).第25页(共25页) 18.(2分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,点D,E分别在边AB,AC上,且DB=2AD,AE=3EC,连接BE,CD,相交于点O,则△ABO面积最大值为  .【解答】解:如图,过点D作DF∥AE,则==,∵=,∴DF=2EC,∴DO=2OC,∴DO=DC,∴S△ADO=S△ADC,S△BDO=S△BDC,∴S△ABO=S△ABC,∵∠ACB=90°,第25页(共25页) ∴C在以AB为直径的圆上,设圆心为G,当CG⊥AB时,△ABC的面积最大为:4×2=8,此时△ABO的面积最大为:×4=.故答案为:.三、解答题(本大题共10小题,共84分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(8分)计算:(1)(﹣2)2+|﹣5|﹣;(2).【解答】解:(1)原式=4+5﹣4=5;(2)原式===.20.(8分)解方程:(1)x2+x﹣1=0;(2).【解答】解:(1)∵a=1,b=1,c=﹣1,∴△=12﹣4×1×(﹣1)=5,x=,∴x1=,x2=;(2),解①得x≥0,解②得x<1,所以不等式组的解集为0≤x<1.第25页(共25页) 21.(8分)如图,已知AB∥CD,AB=CD,BE=CF.求证:(1)△ABF≌△DCE;(2)AF∥DE.【解答】证明:(1)∵AB∥CD,∴∠B=∠C,∵BE=CF,∴BE﹣EF=CF﹣EF,即BF=CE,在△ABF和△DCE中,∵,∴△ABF≌△DCE(SAS);(2)∵△ABF≌△DCE,∴∠AFB=∠DEC,∴∠AFE=∠DEF,∴AF∥DE.22.(8分)现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片,将4张卡片的背面朝上,洗匀.(1)若从中任意抽取1张,抽的卡片上的数字恰好为3的概率是  ;(2)若先从中任意抽取1张(不放回),再从余下的3张中任意抽取1张,求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)【解答】解:(1)从中任意抽取1张,抽的卡片上的数字恰好为3的概率=;故答案为;(2)画树状图为:第25页(共25页) 共有12种等可能的结果数,其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数为4,所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率==.23.(6分)小李2014年参加工作,每年年底都把本年度收入减去支出后的余额存入银行(存款利息记入收入),2014年底到2019年底,小李的银行存款余额变化情况如下表所示:(单位:万元)年份2014年2015年2016年2017年2018年2019年收入389a1418支出1456c6存款余额261015b34(1)表格中a= 11 ;(2)请把下面的条形统计图补充完整;(画图后标注相应的数据)(3)请问小李在哪一年的支出最多?支出了多少万元?【解答】解:(1)10+a﹣6=15,解得a=11,故答案为11;(2)根据题意得,解得,即存款余额为22万元,条形统计图补充为:第25页(共25页) (3)小李在2018年的支出最多,支出了为7万元.24.(8分)如图,已知△ABC是锐角三角形(AC<AB).(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图:作直线l,使l上的各点到B、C两点的距离相等;设直线l与AB、BC分别交于点M、N,作一个圆,使得圆心O在线段MN上,且与边AB、BC相切;(不写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,若BM=,BC=2,则⊙O的半径为  .【解答】解:(1)如图直线l,⊙O即为所求.(2)过点O作OE⊥AB于E.设OE=ON=r,∵BM=,BC=2,MN垂直平分线段BC,∴BN=CN=1,∴MN===,∵s△BNM=S△BNO+S△BOM,∴×1×=×1×r+××r,解得r=.故答案为.第25页(共25页) 25.(8分)如图,DB过⊙O的圆心,交⊙O于点A、B,DC是⊙O的切线,点C是切点,已知∠D=30°,DC=.(1)求证:△BOC∽△BCD;(2)求△BCD的周长.【解答】证明:(1)∵DC是⊙O的切线,∴∠OCD=90°,∵∠D=30°,∴∠BOC=∠D+∠OCD=30°+90°=120°,∵OB=OC,∴∠B=∠OCB=30°,∴∠DCB=120°=∠BOC,又∵∠B=∠D=30°,∴△BOC∽△BCD;(2)∵∠D=30°,DC=,∠OCD=90°,∴DC=OC=,DO=2OC,∴OC=1=OB,DO=2,∵∠B=∠D=30°,∴DC=BC=,∴△BCD的周长=CD+BC+DB=++2+1=3+2.第25页(共25页) 26.(10分)有一块矩形地块ABCD,AB=20米,BC=30米.为美观,拟种植不同的花卉,如图所示,将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形,其中梯形的高相等,均为x米.现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉;在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉;在矩形EFGH中种植丙种花卉.甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2,设三种花卉的种植总成本为y元.(1)当x=5时,求种植总成本y;(2)求种植总成本y与x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米,求三种花卉的最低种植总成本.【解答】解:(1)当x=5时,EF=20﹣2x=10,EH=30﹣2x=20,y=2×(EH+AD)×20x+2×(GH+CD)×x×60+EF•EH×40=(20+30)×5×20+(10+20)×5×60+20×10×40=22000;(2)EF=20﹣2x,EH=30﹣2x,参考(1),由题意得:y=(30×30﹣2x)•x•20+(20+20﹣2x)•x•60+(30﹣2x)(20﹣2x)•40=﹣400x+24000(0<x<10);(3)S甲=2×(EH+AD)×2x=(30﹣2x+30)x=﹣2x2+60x,同理S乙=﹣2x2+40x,∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2,∴﹣2x2+60x﹣(﹣2x2+40x)≤120,解得:x≤6,故0<x≤6,而y=﹣400x+24000随x的增大而减小,故当x=6时,y的最小值为21600,第25页(共25页) 即三种花卉的最低种植总成本为21600元.27.(10分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点E为边CD上的一点(与C、D不重合),四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME,延长ME交AB于点P,记四边形PADE的面积为S.(1)若DE=,求S的值;(2)设DE=x,求S关于x的函数表达式.【解答】解:(1)当DE=,∵AD=1,∴tan∠AED=,AE=,∴∠AED=60°,∵AB∥CD,∴∠BAE=60°,∵四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME,∴∠AEC=∠AEM,∵∠PEC=∠DEM,∴∠AEP=∠AED=60°,∴△APE为等边三角形,∴S=×()2+×1=;(2)过E作EF⊥AB于F,由(1)可知,∠AEP=∠AED=∠PEA,∴AP=PE,设AP=PE=a,AF=ED=x,第25页(共25页) 则PF=a﹣x,EF=AD=1,在Rt△PEF中,(a﹣x)2+1=a2,解得:a=,∴S=.28.(10分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线OA交二次函数y=x2的图象于点A,∠AOB=90°,点B在该二次函数的图象上,设过点(0,m)(其中m>0)且平行于x轴的直线交直线OA于点M,交直线OB于点N,以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN.(1)若点A的横坐标为8.①用含m的代数式表示M的坐标;②点P能否落在该二次函数的图象上?若能,求出m的值;若不能,请说明理由.(2)当m=2时,若点P恰好落在该二次函数的图象上,请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式.【解答】解:(1)①∵点A在y=x2的图象上,横坐标为8,∴A(8,16),∴直线OA的解析式为y=2x,∵点M的纵坐标为m,∴M(m,m).第25页(共25页) ②假设能在抛物线上,∵∠AOB=90°,∴直线OB的解析式为y=﹣x,∵点N在直线OB上,纵坐标为m,∴N(﹣2m,m),∴MN的中点的坐标为(﹣m,m),∴P(﹣m,2m),把点P坐标代入抛物线的解析式得到m=.(2)①当点A在y轴的右侧时,设A(a,a2),∴直线OA的解析式为y=ax,∴M(,2),∵OB⊥OA,∴直线OB的解析式为y=﹣x,可得N(﹣,2),∴P(﹣,4),代入抛物线的解析式得到,﹣=4,解得a=4±4,∴直线OA的解析式为y=(±1)x.②当点A在y轴的左侧时,即为①中点B的位置,∴直线OA的解析式为y=﹣x=﹣(±1)x,综上所述,满足条件的直线OA的解析式为y=(±1)x或y=﹣(±1)x.声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布第25页(共25页) 日期:2020/7/199:21:02;用户:柯瑞;邮箱:ainixiaoke00@163.com;学号:500557第25页(共25页)

版权提示

  • 温馨提示:
  • 1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
  • 2. 本文档由用户上传,版权归属用户,莲山负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
  • 3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
  • 4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服vx:lianshan857处理。客服热线:13123380146(工作日9:00-18:00)

文档下载

发布时间:2022-02-26 13:43:41 页数:25
价格:¥5 大小:397.50 KB
文章作者:180****8757

推荐特供

MORE