中考数学二模试卷二次函数汇编 压轴题汇编 高一数学对数函数及其性质重难点题型
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中考数学二模试卷二次函数汇编+压轴题汇编+高一数学对数函数及其性质重难点题型中考二模数学试卷精选汇编:二次函数专题24.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(3)小题4分)已知平面直角坐标系(如图7),直线的经过点和点.(1)求、的值;(2)如果抛物线经过点、,该抛物线的顶点为点,求的值;图7Oxy(3)设点在直线上,且在第一象限内,直线与轴的交点为点,如果,求点的坐标.24.解:(1)∵直线的经过点∴……………………1分∴………………………………1分∵直线的经过点∴……………………1分∴…………………………………………1分(2)由可知点的坐标为∵抛物线经过点、∴∴,∴抛物线的表达式为…………………1分∴抛物线的顶点坐标为……………1分∴,,∴∴……………………………………1分∴
∴…………………………………………1分(3)过点作轴,垂足为点,则∥轴∵,∴△∽△∴……………1分∵直线与轴的交点为点∴点的坐标为,又,∴,……………1分∵∴,∵∥轴∴∴∴……………………………………1分即点的纵坐标是又点在直线上点的坐标为……………1分长宁区24.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题3分,第(3)小题5分)如图在直角坐标平面内,抛物线与y轴交于点A,与x轴分别交于点B(-1,0)、点C(3,0),点D是抛物线的顶点.(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;(2)联结AD、DC,求的面积;(3)点P在直线DC上,联结OP,若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似,求点P的坐标.备用图第24题图
24.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题3分,第(3)小题5分)解:(1)点B(-1,0)、C(3,0)在抛物线上∴,解得(2分)∴抛物线的表达式为,顶点D的坐标是(1,-4)(2分)(2)∵A(0,-3),C(3,0),D(1,-4)∴,,∴∴(2分)∴(1分)(3)∵,,∴△CAD∽△AOB,∴∵OA=OC,∴∴,即(1分)若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似,且△ABC为锐角三角形则也为锐角三角形,点P在第四象限由点C(3,0),D(1,-4)得直线CD的表达式是,设()过P作PH⊥OC,垂足为点H,则,①当时,由得,∴,解得,∴(2分)②当时,由得,∴,解得,∴(2分)综上得或崇明区24.(本题满分12分,第(1)、(2)、(3)小题满分各4分)
已知抛物线经过点、、.(1)求抛物线的解析式;(2)联结AC、BC、AB,求的正切值;(3)点P是该抛物线上一点,且在第一象限内,过点P作交轴于点,当点在点的上方,且与相似时,求点P的坐标.(第24题图)yxABCO24.(本题满分12分,每小题4分)解:(1)设所求二次函数的解析式为,………………………1分将(,)、(,)、(,)代入,得解得………2分所以,这个二次函数的解析式为……………………………1分(2)∵(,)、(,)、(,)∴,,∴∴………………………………………………………2分∴……………………………………………2分
(3)过点P作,垂足为H设,则∵(,)∴,∵∴当△APG与△ABC相似时,存在以下两种可能:1°则即∴解得………………………1分∴点的坐标为……………………………………………………1分2°则即∴解得…………………………1分∴点的坐标为……………………………………………………1分奉贤区24.(本题满分12分,每小题满分各4分)图811已知平面直角坐标系(如图8),抛物线与轴交于点A、B(点A在点B左侧),与轴交于点C,顶点为D,对称轴为直线,过点C作直线的垂线,垂足为点E,联结DC、BC.(1)当点C(0,3)时,①求这条抛物线的表达式和顶点坐标;②求证:∠DCE=∠BCE;(2)当CB平分∠DCO时,求的值.
黄浦区24.(本题满分12分)已知抛物线经过点A(1,0)和B(0,3),其顶点为D.(1)求此抛物线的表达式;(2)求△ABD的面积;(3)设P为该抛物线上一点,且位于抛物线对称轴右侧,作PH⊥对称轴,垂足为H,若△DPH与△AOB相似,求点P的坐标.24.解:(1)由题意得:,———————————————————(2分)解得:,—————————————————————————(1分)所以抛物线的表达式为.——————————————(1分)(2)由(1)得D(2,﹣1),———————————————————(1分)作DT⊥y轴于点T,则△ABD的面积=.————————(3分)(3)令P.————————————————(1分)由△DPH与△AOB相似,易知∠AOB=∠PHD=90°,所以或,————————————(2分)解得:或,所以点P的坐标为(5,8),.————————————————(1分)
金山区24.(本题满分12分,每小题4分)平面直角坐标系xOy中(如图8),已知抛物线经过点A(1,0)和B(3,0),与y轴相交于点C,顶点为P.图8(1)求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标;(2)点E在抛物线的对称轴上,且EA=EC,求点E的坐标;(3)在(2)的条件下,记抛物线的对称轴为直线MN,点Q在直线MN右侧的抛物线上,∠MEQ=∠NEB,求点Q的坐标.24.解:(1)∵二次函数的图像经过点A(1,0)和B(3,0), ∴,解得:,.……………………………(2分)∴这条抛物线的表达式是…………………………………(1分)顶点P的坐标是(2,-1).………………………………………………(1分) (2)抛物线的对称轴是直线,设点E的坐标是(2,m).…(1分)根据题意得:,解得:m=2,…(2分)∴点E的坐标为(2,2).…………………………………………………(1分)(3)解法一:设点Q的坐标为,记MN与x轴相交于点F.作QD⊥MN,垂足为D,则,………………………(1分)∵∠QDE=∠BFE=90°,∠QED=∠BEF,∴△QDE∽△BFE,…………………(1分)
∴,∴,解得(不合题意,舍去),.……………………………(1分)∴,点E的坐标为(5,8).…………………………………………(1分)解法二:记MN与x轴相交于点F.联结AE,延长AE交抛物线于点Q,∵AE=BE,EF⊥AB,∴∠AEF=∠NEB,又∵∠AEF=∠MEQ,∴∠QEM=∠NEB,………………………………(1分)点Q是所求的点,设点Q的坐标为,作QH⊥x轴,垂足为H,则QH=,OH=t,AH=t-1,∵EF⊥x轴,∴EF∥QH,∴,∴,………(1分)解得(不合题意,舍去),.……………………………………(1分)∴,点E的坐标为(5,8).…………………………………………(1分)静安区24.(本题满分12分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分4分,第(3)小题满分4分)xBC第24题图Oy·在平面直角坐标系xOy中,已知点B(8,0)和点C(9,).抛物线(a,c是常数,a≠0)经过点B、C,且与x轴的另一交点为A.对称轴上有一点M,满足MA=MC.(1)求这条抛物线的表达式;(2)求四边形ABCM的面积;(3)如果坐标系内有一点D,满足四边形ABCD是等腰梯形,且AD//BC,求点D的坐标.24.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(3)小题4分)解:(1)由题意得:抛物线对称轴,即.…………(1分)点B(8,0)关于对称轴的对称点为点A(0,0)∴,…………(1分)将C(9,-3)代入,得…………………………(1分)∴抛物线的表达式:…………………………(1分)(2)∵点M在对称轴上,∴可设M(4,y)
又∵MA=MC,即∴,解得y=-3,∴M(4,-3)…………………(2分)y∵MC//AB且MC≠AB,∴四边形ABCM为梯形,,AB=8,MC=5,AB边上的高h=yM=3∴…………(2分)xO(3)将点B(8,0)和点C(9,﹣3)代入可得MACB,解得由题意得,∵AD//BC,∴,…(1分)又∵AD过(0,0),DC=AB=8,设D(x,-3x),…………………………(1分)解得(不合题意,舍去),…………………………(1分)∴∴点D的坐标.……………………(1分)闵行区24.(本题满分12分,其中每小题各4分)ABOCxy(第24题图)D如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴相交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标;(2)求证:∠DAB=∠ACB;(3)点Q在抛物线上,且△ADQ是以AD为底的等腰三角形,求Q点的坐标.24.解:(1)把B(1,0)和C(0,3)代入中,
得,解得.……………………………………(2分)∴抛物线的解析式是:.……………………………(1分)∴顶点坐标D(-1,4).……………………………………………(1分)(2)令,则,,,∴A(-3,0)∴,∴∠CAO=∠OCA.…………………………………(1分)在中,.………………………………(1分)∵,,,∴,;∴,是直角三角形且,∴,又∵∠DAC和∠OCB都是锐角,∴∠DAC=∠OCB.…………………(1分)∴,即.……………………………………………………(1分)(3)令,且满足,,0),,4)∵是以AD为底的等腰三角形,∴,即,化简得:.………………………………………………(1分)由,……………………………………………………(1分)解得,.∴点Q的坐标是,.…(2分)普陀区24.(本题满分12分)如图10,在平面直角坐标系中,直线与轴、轴分别相交于点、,并与抛物线的对称轴交于点,抛物线的顶点是点.(1)求和的值;(2)点是轴上一点,且以点、、为顶点的三角形与△相似,求点的坐标;(3)在抛物线上是否存在点:它关于直线的对称点恰好在轴上.如果存在,直接写出点的坐标,如果不存在,试说明理由.图10xy11O
24.解:(1)由直线经过点,可得.(1分)由抛物线的对称轴是直线,可得.(1分)(2)∵直线与轴、轴分别相交于点、,∴点的坐标是,点的坐标是.(2分)∵抛物线的顶点是点,∴点的坐标是.(1分)∵点是轴上一点,∴设点的坐标是.∵△BCG与△BCD相似,又由题意知,,∴△BCG与△相似有两种可能情况:(1分)①如果,那么,解得,∴点的坐标是.(1分)②如果,那么,解得,∴点的坐标是.(1分)综上所述,符合要求的点有两个,其坐标分别是和.(3)点的坐标是或.(2分+2分)青浦区24.(本题满分12分,第(1)、(2)、(3)小题,每小题4分)已知:如图8,在平面直角坐标系xOy中,抛物线的图像与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,顶点C在直线上,将抛物线沿射线AC的方向平移,当顶点C恰好落在y轴上的点D处时,点B落在点E处.(1)求这个抛物线的解析式;(2)求平移过程中线段BC所扫过的面积;
(3)已知点F在x轴上,点G在坐标平面内,且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形,求点F的坐标.备用图图8.24.解:(1)∵顶点C在直线上,∴,∴.(1分)将A(3,0)代入,得,(1分)解得,.(1分)∴抛物线的解析式为.(1分)(2)过点C作CM⊥x轴,CN⊥y轴,垂足分别为M、N.∵=,∴C(2,).(1分)∵,∴∠MAC=45°,∴∠ODA=45°,∴.(1分)∵抛物线与y轴交于点B,∴B(0,),∴.(1分)∵抛物线在平移的过程中,线段BC所扫过的面积为平行四边形BCDE的面积,∴.(1分)(3)联结CE.∵四边形是平行四边形,∴点是对角线与的交点,即.(i)当CE为矩形的一边时,过点C作,交轴于点,设点,在中,,即,解得,∴点(1分)同理,得点(1分)(ii)当CE为矩形的对角线时,以点为圆心,长为半径画弧分别交轴于点、,可得,得点、(2分)综上所述:满足条件的点有,,),.
松江区24.(本题满分12分,每小题各4分)如图,已知抛物线y=ax2+bx的顶点为C(1,),P是抛物线上位于第一象限内的一点,直线OP交该抛物线对称轴于点B,直线CP交x轴于点A.(1)求该抛物线的表达式;(2)如果点P的横坐标为m,试用m的代数式表示线段BC的长;(3)如果△ABP的面积等于△ABC的面积,求点P坐标.(第24题图)yPOxCBA24.(本题满分12分,每小题各4分)(第24题图)yPOxCBA解:(1)∵抛物线y=ax2+bx的顶点为C(1,)∴…………………………………2分解得:…………………………………1分∴抛物线的表达式为:y=x2-2x;…………………………1分(2)∵点P的横坐标为m,∴P的纵坐标为:m2-2m……………………………1分令BC与x轴交点为M,过点P作PN⊥x轴,垂足为点N∵P是抛物线上位于第一象限内的一点,∴PN=m2-2m,ON=m,OM=1由得………………………1分∴BM=m-2…………………………………………………1分∵点C的坐标为(1,),∴BC=m-2+1=m-1………………………………………1分(3)令P(t,t2-2t)………………………………………………1分△ABP的面积等于△ABC的面积∴AC=AP
过点P作PQ⊥BC交BC于点Q∴CM=MQ=1∴t2-2t=1…………………………………………………1分∴(舍去)………………………………1分∴P的坐标为()……………………………………1分徐汇区24.如图,已知直线与轴、轴分别交于点、,抛物线过点、,且与轴交于另一个点.(1)求该抛物线的表达式;(2)点是线段上一点,过点作直线∥轴交该抛物线于点,当四边形是平行四边形时,求它的面积;(3)联结,设点是该抛物线上的一点,且满足,求点的坐标.
杨浦区24、(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(3)小题4分)如图8,在平面直角坐标系中,抛物线于X轴交于点A、B,于y轴交于点C,直线经过点A、C,点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点。(1)求抛物线的表达式(2)如图(1),当CP//AO时,求∠PAC的正切值。(3)当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时,求出此时点P的坐标。
九年级中考二模数学试卷精选汇编:压轴题专题25.(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题5分,第(3)小题5分)在圆中,、是圆的半径,点在劣弧上,,,∥,联结.(1)如图8,求证:平分;(2)点在弦的延长线上,联结,如果△是直角三角形,请你在如图9中画出点的位置并求的长;(3)如图10,点在弦上,与点不重合,联结与弦交于点,设点与点的距离为,△的面积为,求与的函数关系式,并写出自变量的取值范围.图8图9图10图825.(1)证明:∵、是圆的半径∴…………1分∴…………1分∵∥∴…………1分∴∴平分…………1分(2)解:由题意可知不是直角,所以△是直角三角形只有以下两种情况:和①当,点的位置如图9-1……………1分图9-1过点作,垂足为点∵经过圆心∴
∵∴在Rt△中,∵∴∵∥∴∵∴∴四边形是矩形图9-2∴∴……………2分②当,点的位置如图9-2由①可知,在Rt△中,∴……………2分综上所述,的长为或.说明:只要画出一种情况点的位置就给1分,两个点都画正确也给1分.(3)过点作,垂足为点图10由(1)、(2)可知,由(2)可得:∵∴……………1分∵∥∴……………1分又,,∴∴……………1分∴∴……………1分自变量的取值范围为……………1分
长宁区25.(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(3)小题6分)在圆O中,C是弦AB上的一点,联结OC并延长,交劣弧AB于点D,联结AO、BO、AD、BD.已知圆O的半径长为5,弦AB的长为8.(1)如图1,当点D是弧AB的中点时,求CD的长;(2)如图2,设AC=x,,求y关于x的函数解析式并写出定义域;(3)若四边形AOBD是梯形,求AD的长.图1图2备用图第25题图tututu图25.(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(3)小题6分)解:(1)∵OD过圆心,点D是弧AB的中点,AB=8,∴OD⊥AB,(2分)在Rt△AOC中,,AO=5,∴(1分),(1分)(2)过点O作OH⊥AB,垂足为点H,则由(1)可得AH=4,OH=3∵AC=x,∴在Rt△HOC中,,AO=5,∴,(1分)∴()(3分)
(3)①当OB//AD时,过点A作AE⊥OB交BO延长线于点E,过点O作OF⊥AD,垂足为点F,则OF=AE,∴在Rt△AOF中,,AO=5,∴∵OF过圆心,OF⊥AD,∴.(3分)②当OA//BD时,过点B作BM⊥OA交AO延长线于点M,过点D作DG⊥AO,垂足为点G,则由①的方法可得,在Rt△GOD中,,DO=5,∴,,在Rt△GAD中,,∴(3分)综上得崇明区25.(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(3)小题6分)如图,已知中,,,,D是AC边上一点,且,联结BD,点E、F分别是BC、AC上两点(点E不与B、C重合),,AE与BD相交于点G.(1)求证:BD平分;(2)设,,求与之间的函数关系式;(3)联结FG,当是等腰三角形时,求BE的长度.(备用图)ABCD(第25题图)ABCDGEF25.(满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(3)小题6分)(1)∵,又∵
∴∴……………………………1分∵∴又∵是公共角∴…………………………1分∴,∴∴∴………………………1分∴∴平分………………………1分(2)过点作交的延长线于点∵∴∵,∴∴……1分∵∴∴∴…1分∵即∵∴又∵∴……………………………………………………………1分∴∴∴…………………………………………………………1分(3)当△是等腰三角形时,存在以下三种情况:1°易证,即,得到………2分2°易证,即,…………2分
3°易证,即………2分奉贤区25.(本题满分14分,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分4分)已知:如图9,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C在半径OB上,AC的垂直平分线交OA于点D,交弧AB于点E,联结BE、CD.(1)若C是半径OB中点,求∠OCD的正弦值;(2)若E是弧AB的中点,求证:;(3)联结CE,当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时,求CD的长.图9ABCDOE备用图ABO备用图ABO
黄浦区25.(本题满分14分)如图,四边形ABCD中,∠BCD=∠D=90°,E是边AB的中点.已知AD=1,AB=2.(1)设BC=x,CD=y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;(2)当∠B=70°时,求∠AEC的度数;(3)当△ACE为直角三角形时,求边BC的长.
25.解:(1)过A作AH⊥BC于H,————————————————————(1分)由∠D=∠BCD=90°,得四边形ADCH为矩形.在△BAH中,AB=2,∠BHA=90°,AH=y,HB=,所以,——————————————————————(1分)则.———————————————(2分)(2)取CD中点T,联结TE,————————————————————(1分)则TE是梯形中位线,得ET∥AD,ET⊥CD.∴∠AET=∠B=70°.———————————————————————(1分)又AD=AE=1,∴∠AED=∠ADE=∠DET=35°.——————————————————(1分)由ET垂直平分CD,得∠CET=∠DET=35°,————————————(1分)所以∠AEC=70°+35°=105°.——————————————————(1分)(3)当∠AEC=90°时,易知△CBE≌△CAE≌△CAD,得∠BCE=30°,则在△ABH中,∠B=60°,∠AHB=90°,AB=2,得BH=1,于是BC=2.——————————————————————(2分)当∠CAE=90°时,易知△CDA∽△BCA,又,则(舍负)—————(2分)易知∠ACE<90°.所以边BC的长为2或.——————————————————(1分)
金山区25.(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题5分,第(3)小题5分)如图9,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD=5,,P是线段BC上一点,以P为圆心,PA为半径的⊙P与射线AD的另一个交点为Q,射线PQ与射线CD相交于点E,设BP=x.(1)求证△ABP∽△ECP;(2)如果点Q在线段AD上(与点A、D不重合),设△APQ的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;(3)如果△QED与△QAP相似,求BP的长.ABPCDQEABCD图9备用图25.解:(1)在⊙P中,PA=PQ,∴∠PAQ=∠PQA,……………………………(1分)∵AD∥BC,∴∠PAQ=∠APB,∠PQA=∠QPC,∴∠APB=∠EPC,……(1分)∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,∴∠B=∠C,…………………………(1分)∴△APB∽△ECP.…………………………………………………………(1分)(2)作AM⊥BC,PN⊥AD,∵AD∥BC,∴AM∥PN,∴四边形AMPN是平行四边形,∴AM=PN,AN=MP.………………………………………………………(1分)在Rt△AMB中,∠AMB=90°,AB=5,sinB=,∴AM=3,BM=4,∴PN=3,PM=AN=x-4,……………………………………(1分)∵PN⊥AQ,∴AN=NQ,∴AQ=2x-8,……………………………………(1分)∴,即,………………………(1分)
定义域是.………………………………………………………(1分)(3)解法一:由△QED与△QAP相似,∠AQP=∠EQD,①如果∠PAQ=∠DEQ,∵△APB∽△ECP,∴∠PAB=∠DEQ,又∵∠PAQ=∠APB,∴∠PAB=∠APB,∴BP=BA=5.………………………(2分)②如果∠PAQ=∠EDQ,∵∠PAQ=∠APB,∠EDQ=∠C,∠B=∠C,∴∠B=∠APB,∴AB=AP,∵AM⊥BC,∴BM=MP=4,∴BP=8.………(2分)综上所述BP的长为5或者8.………………………………………………(1分)解法二:由△QAP与△QED相似,∠AQP=∠EQD,在Rt△APN中,,∵QD∥PC,∴,∵△APB∽△ECP,∴,∴,①如果,∴,即,解得………………………………………………………………………(2分)②如果,∴,即,解得………………………………………………………………………(2分)综上所述BP的长为5或者8.…………………………………………………(1分)静安区25.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分4分)A第25题图BPOCDE·如图,平行四边形ABCD中,已知AB=6,BC=9,.对角线AC、BD交于点O.动点P在边AB上,⊙P经过点B,交线段PA于点E.设BP=x.(1)求AC的长;(2)设⊙O的半径为y,当⊙P与⊙O外切时,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;第25题备用图ABOCD(3)如果AC是⊙O的直径,⊙O经过点E,求⊙O与⊙P的圆心距OP的长.
25.(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题4分)A·第25题图(1)BPOCHED解:(1)作AH⊥BC于H,且,AB=6,那么…………(2分)BC=9,HC=9-2=7,,……………………(1分)﹒………(1分)·A第25题图(2)BPOCDHEI(2)作OI⊥AB于I,联结PO,AC=BC=9,AO=4.5∴∠OAB=∠ABC,∴Rt△AIO中,∴AI=1.5,IO=……………………(1分)∴PI=AB-BP-AI=6-x-1.5=,……………………(1分)∴Rt△PIO中,……(1分)∵⊙P与⊙O外切,∴……………………(1分)∴=…………………………(1分)∵动点P在边AB上,⊙P经过点B,交线段PA于点E.∴定义域:0<x≤3…………(1分)(3)由题意得:∵点E在线段AP上,⊙O经过点E,∴⊙O与⊙P相交∵AO是⊙O半径,且AO>OI,∴交点E存在两种不同的位置,OE=OA=①当E与点A不重合时,AE是⊙O的弦,OI是弦心距,∵AI=1.5,AE=3,∴点E是AB中点,,,,IO=……………………(2分)
①当E与点A重合时,点P是AB中点,点O是AC中点,……(2分)∴或.闵行区25.(本题满分14分,其中第(1)小题4分,第(2)、(3)小题各5分)如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90o,AC=6,BC=8,点F在线段AB上,以点B为圆心,BF为半径的圆交BC于点E,射线AE交圆B于点D(点D、E不重合).(1)如果设BF=x,EF=y,求y与x之间的函数关系式,并写出它的定义域;(2)如果,求ED的长;(3)联结CD、BD,请判断四边形ABDC是否为直角梯形?说明理由.(第25题图)CBEFDA(备用图)CBA25.解:(1)在Rt△ABC中,,,∴.……………………………………………………………(1分)过E作EH⊥AB,垂足是H,易得:,,.…………………………(1分)在Rt△EHF中,,∴.………………………………………(1分+1分)(2)取的中点P,联结BP交ED于点G∵,P是的中点,∴.∴∠FBE=∠EBP=∠PBD.
∵,BP过圆心,∴BG⊥ED,ED=2EG=2DG.…………(1分)又∵∠CEA=∠DEB,∴∠CAE=∠EBP=∠ABC.……………………………………………(1分)又∵BE是公共边,∴.∴.在Rt△CEA中,∵AC=6,,,∴.……………………………(1分)∴.……………………………………………(1分)∴.……………………………………(1分)(3)四边形ABDC不可能为直角梯形.…………………………………(1分)①当CD∥AB时,如果四边形ABDC是直角梯形,只可能∠ABD=∠CDB=90o.在Rt△CBD中,∵,∴,.∴,;∴.∴CD不平行于AB,与CD∥AB矛盾.∴四边形ABDC不可能为直角梯形.…………………………(2分)②当AC∥BD时,如果四边形ABDC是直角梯形,只可能∠ACD=∠CDB=90o.∵AC∥BD,∠ACB=90o,∴∠ACB=∠CBD=90o.∴∠ABD=∠ACB+∠BCD>90o.与∠ACD=∠CDB=90o矛盾.∴四边形ABDC不可能为直角梯形.…………………………(2分)普陀区25.(本题满分14分)
已知是的直径延长线上的一个动点,的另一边交于点C、D,两点位于AB的上方,=6,,,如图11所示.另一个半径为6的经过点C、D,圆心距.(1)当时,求线段的长;(2)设圆心在直线上方,试用的代数式表示;(3)△在点P的运动过程中,是否能成为以为腰的等腰三角形,如果能,试求出此时的值;如果不能,请说明理由.OAB备用图PDOABC图1125.解:(1)过点作⊥,垂足为点,联结.在Rt△中,∵,,∴.(1分)∵=6,∴.(1分)由勾股定理得.(1分)∵⊥,∴.(1分)(2)在Rt△中,∵,,∴.(1分)在Rt△中,.(1分)在Rt△中,.(1分)可得,解得.(2分)(3)△成为等腰三角形可分以下几种情况:●当圆心、在弦异侧时
①,即,由解得.(1分)即圆心距等于、的半径的和,就有、外切不合题意舍去.(1分)②,由,解得,即,解得.(1分)●当圆心、在弦同侧时,同理可得.∵是钝角,∴只能是,即,解得.(2分)综上所述,的值为或.青浦区25.(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题4分)如图9-1,已知扇形MON的半径为,∠MON=,点B在弧MN上移动,联结BM,作ODBM,垂足为点D,C为线段OD上一点,且OC=BM,联结BC并延长交半径OM于点A,设OA=x,∠COM的正切值为y.(1)如图9-2,当ABOM时,求证:AM=AC;(2)求y关于x的函数关系式,并写出定义域;(3)当△OAC为等腰三角形时,求x的值.图9-1图9-2备用图25.解:(1)∵OD⊥BM,AB⊥OM,∴∠ODM=∠BAM=90°.(1分)∵∠ABM+∠M=∠DOM+∠M,∴∠ABM=∠DOM.(1分)∵∠OAC=∠BAM,OC=BM,∴△OAC≌△ABM,(1分)∴AC=AM.(1分)(2)过点D作DE//AB,交OM于点E.(1分)
∵OB=OM,OD⊥BM,∴BD=DM.(1分)∵DE//AB,∴,∴AE=EM,∵OM=,∴AE=.(1分)∵DE//AB,∴,(1分)∴,∴.()(2分)(3)(i)当OA=OC时,∵,在Rt△ODM中,.∵,∴.解得,或(舍).(2分)(ii)当AO=AC时,则∠AOC=∠ACO,∵∠ACO>∠COB,∠COB=∠AOC,∴∠ACO>∠AOC,∴此种情况不存在.(1分)(ⅲ)当CO=CA时,则∠COA=∠CAO=,∵∠CAO>∠M,∠M=,∴>,∴>,∴,∵,∴此种情况不存在.(1分)松江区25.(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题每个小题各5分)如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2,AC=3,以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D,过点A作AE∥CD,交BC延长线于点E.(1)求CE的长;
(2)P是CE延长线上一点,直线AP、CD交于点Q.①如果△ACQ∽△CPQ,求CP的长;(备用图)CBADE(第25题图)CBADE②如果以点A为圆心,AQ为半径的圆与⊙C相切,求CP的长.25.(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题每个小题各5分)(第25题图)CBADE解:(1)∵AE∥CD∴…………………………………1分∵BC=DC∴BE=AE…………………………………1分设CE=x则AE=BE=x+2∵∠ACB=90°,∴即………………………1分CBADEPQ∴即…………………………………1分(2)①∵△ACQ∽△CPQ,∠QAC>∠P∴∠ACQ=∠P…………………………………1分又∵AE∥CD∴∠ACQ=∠CAE∴∠CAE=∠P………………………………1分∴△ACE∽△PCA,…………………………1分
∴…………………………1分即∴……………………………1分②设CP=t,则∵∠ACB=90°,∴∵AE∥CD∴……………………………1分即∴……………………………1分若两圆外切,那么此时方程无实数解……………………………1分若两圆内切切,那么∴解之得………………………1分又∵∴………………………1分徐汇区25.已知四边形是边长为10的菱形,对角线、相交于点,过点作∥交延长线于点,联结交于点.(1)如图1,当时,求的长;
(2)如图2,以为直径作⊙,⊙经过点交边于点(点、不重合),设的长为,的长为;①求关于的函数关系式,并写出定义域;①联结,当是以为腰的等腰三角形时,求的长.
杨浦区25、(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题4分)如图9,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC=5,AD=1,BC=9,点P为边BC上一动点,作PH⊥DC,垂足H在边DC上,以点P为圆心PH为半径画圆,交射线PB于点E.
(1)当圆P过点A时,求圆P的半径;(2)分别联结EH和EA,当△ABE△CEH时,以点B为圆心,r为半径的圆B与圆P相交,试求圆B的半径r的取值范围;(3)将劣弧沿直线EH翻折交BC于点F,试通过计算说明线段EH和EF的比值为定值,并求出此定值。2.2.2对数函数及其性质重难点题型【举一反三系列】
【知识点1对数函数的定义】1.对数函数的概念一般地,把函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).2.两种特殊的对数函数(1)常用对数函数:以10为底的对数函数.(2)自然对数函数:以无理数e为底的对数函数.【知识点2对数函数的图象与性质】对数函数的图象与性质列表如下:a>10<a<1图象性质定义域(0,+∞)值域R
过定点过定点(1,0),即x=1时,y=0函数值的变化当0<x<1时,y<0;当x>1时,y>0当0<x<1时,y>0;当x>1时,y<0单调性是(0,+∞)上的增函数是(0,+∞)上的减函数温馨提示:掌握对数函数的图象和性质,其关键是理解图象的特征,利用几何直观掌握函数的性质.【知识点3反函数】在指数函数中,x是自变量,y是x的函数,其定义域是R,值域是(0,+);在对数函数中,y是自变量,x是y的函数,其定义域是R,值域是(0,+),像这样的两个函数叫作互为反函数.【考点1对数函数的概念】【例1】(2019秋•林芝县校级月考)下列函数是对数函数的是( )A.y=log3(x+1)B.y=loga(2x)(a>0,且a≠1)C.y=lnxD.【变式1-1】给出下列函数:①y=x2;②y=log3(x﹣1);③y=logx+1x;④y=logπx.其中是对数函数的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【变式1-2】下列函数表达式中,是对数函数的有( )①y=logx2;②y=logax(a∈R)③y=log8x;④y=lnx⑤y=logx(x+2);⑥y=2log4x⑦y=log2(x+1)A.1个B.2个C.3个D.4个【变式1-3】下列函数中,是对数函数的个数为( )①y=logax2(a>0,且a≠1);②y=log2x﹣1;③y=2log8x;④y=logxa(x>0,且x≠1);⑤y=log5x;⑥y=logax(a>0,a≠1)A.1B.2C.3D.4【考点2利用对数函数的性质比较大小】
【例2】(2019秋•福田区校级月考)设,则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<b<a【变式2-1】(2019秋•天山区校级月考)已知正实数a,b,c满足loga2=2,log3b=,c6=7,则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b【变式2-2】(2019秋•沙坪坝区校级月考)已知a=log30.3,b=30.3,c=0.30.2,则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a【变式2-3】(2019•西湖区校级模拟)下列关系式中,成立的是( )A.B.C.D.【考点3与对数函数有关的函数图象识别】【例3】(2018秋•合阳县期末)已知a>0,b>0,且ab=1,a≠1,则函数f(x)=ax与函数g(x)=﹣logbx在同一坐标系中的图象可能是( )A.B.C.D.【变式3-1】(2019•西湖区校级模拟)若当x∈R时,函数f(x)=a|x|始终满足0<|f(x)|≤1,则函数y=loga||的图象大致为( )A.B.
C.D.【变式3-2】(2018秋•船营区校级月考)函数f(x)=的图象可能是( )A.B.C.D.【变式3-3】(2019秋•洛南县期末)函数y=|lg(x+1)|的图象是( )A.B.C.D.【考点4对数函数图象过定点问题】【例4】(2018秋•赣州期中)函数y=loga(x﹣1)+loga(x+1)(a>0且a≠1)的图象必过定点( )A.()B.(0,﹣)C.()D.()【变式4-1】(2019秋•水富县校级月考)已知函数y=3+loga(2x+3)(a>0,a≠1)的图象必经过定点P,则P点坐标是( )A.(1,3)B.(﹣,4)C.(﹣1,3)D.(﹣1,4)【变式4-2】(2018秋•烟台期中)函数y=loga(x+2)+ax+1+2(a>0,且a≠1)的图象必经过的点是( )A.(0,2)B.(2,2)C.(﹣1,2)D.(﹣1,3)【变式4-3】(2019秋•赣州期末)已知a>0,a≠1,则f(x)=loga的图象恒过点( )A.(1,0)B.(﹣2,0)C.(﹣1,0)D.(1,4)【考点5有关对数函数奇偶性问题】
【例5】(2018•肇庆二模)已知f(x)=lg(10+x)+lg(10﹣x),则f(x)是( )A.f(x)是奇函数,且在(0,10)是增函数B.f(x)是偶函数,且在(0,10)是增函数C.f(x)是奇函数,且在(0,10)是减函数D.f(x)是偶函数,且在(0,10)是减函数【变式5-1】(2019秋•南充期末)已知函数f(x)=loga(x﹣m)的图象过点(4,0)和(7,1),则f(x)在定义域上是( )A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数【变式5-2】(2019秋•新宁县校级期中)对于函数,下列说法正确的是( )A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数C.f(x)是非奇非偶函数D.f(x)既是奇函数又是偶函数【变式5-3】(2016春•石家庄校级月考)函数f(x)=ln(1+2x),g(x)=ln(1﹣2x),则f(x)+g(x)为( )A.奇函数B.偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数【考点6与对数函数有关的定义域问题】【例6】(2018秋•肇庆期末)函数y=的定义域为( )A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪[3,+∞)【变式6-1】(2019•西湖区校级模拟)函数的定义域是( )A.B.C.D.【变式6-2】(2018秋•宜宾期末)函数y=的定义域是( )A.(,+∞)B.(,1]C.(﹣∞,1]D.[1,+∞)【变式6-3】(2018春•连城县校级月考)函数y=的定义域是( )A.[1,+∞)B.(,+∞)C.(1,+∞)D.(,1]
【考点7与对数函数有关的值域问题】【例7】(2019秋•南昌校级期中)函数y=log4(2x+3﹣x2)值域为 .【变式7-1】(2019春•赣榆区校级月考)函数的值域为 .【变式7-2】(2019秋•九原区校级期末)函数y=(x)2﹣x2+5在2≤x≤4时的值域为 .【变式7-3】(2019秋•松江区期末)函数的值域为 .【考点8与对数函数有关的最值问题】【例8】(2019秋•离石区校级月考)设x≥0,y≥0且x+2y=,则函数u=log0.5(8xy+4y2+1)的最大值为 .【变式8-1】(2019秋•田阳县校级月考)函数f(x)=loga(x+1)在[0,3]上的最大值与最小值的差为2,则a的值为 .【变式8-2】(2019春•天津期末)若函数y=loga(x2﹣ax+1)有最小值,则a的取值范围是 .【变式8-3】(2019秋•会宁县校级期中)已知函数f(x)=2+log3x,x∈[1,9],函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值为 .【考点9与对数函数的单调性有关的问题】【例9】(2019春•吉林期末)已知函数f(x)=loga(x+3)﹣loga(3﹣x),a>0且a≠1.(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性;(3)若a>1,指出函数的单调性,并求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值.【变式9-1】(2018秋•南岗区校级期中)已知f(x)=loga(a>0,且a≠1,m≠﹣1)是定义在区间(﹣1,1)上的奇函数,(1)求f(0)的值和实数m的值;(2)判断函数f(x)在区间(﹣1,1)上的单调性,并说明理由;(3)若f()>0且f(b﹣2)+f(2b﹣2)>0成立,求实数b的取值范围.【变式9-2】(2019秋•番禺区校级期中)已知函数.(1)求函数的定义域.(2)讨论函数f(x)的奇偶性.(3)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明.
【变式9-3】(2019秋•荔湾区校级期末)已知函数f(x)=log3(1+x)﹣log3(1﹣x).(1)求函数f(x)定义域,并判断f(x)的奇偶性.(2)判断函数f(x)在定义域内的单调性,并用单调性定义证明你的结论.(3)解关于x的不等式f(1﹣x)+f(1﹣x2)>0.
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