全国名校2022年中考数学模拟试卷分类汇编18 二次函数的图象和性质
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二次函数的图象和性质一、选择题1、(2022·湖州市中考模拟试卷7)函数在同一直角坐标系内的图象大致是()答案:C2、(2022·湖州市中考模拟试卷8)抛物线先向右平移1个单位,再向上平移3个单位,得到新的抛物线解析式是()A.B.C.D.答案:D3、(2022·湖州市中考模拟试卷10)已知抛物线(<0)过、、、四点,则与的大小关系是()A.>B.C.<D.不能确定答案:A4、(2022年河南西华县王营中学一摸)将抛物线向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,所得的抛物线的解析式为()A.B.C.D.答案:A5、(2022安徽芜湖一模)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:①b﹣2a=0;②abc>0;③a﹣2b+4c<0;④8a+c>0.其中正确结论的是__________.答案:②③④6、(2022吉林镇赉县一模)某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线(单位:米)的一部分,则水喷出的最大高度是()23\nA.4米B.3米C.2米D.1米答案:A7、(2022吉林镇赉县一模)如图,⊙O的半径为2,C1是函数的图象,C2是函数的图象,C3是函数的图象,则阴影部分的面积是平方单位(结果保留).答案:8、(2022江苏东台实中)抛物线的对称轴是().A、B、 C、D、答案:B9、(2022江苏东台实中)函数的图像与y轴的交点坐标是().A、(2,0)B、(-2,0)C、(0,4)D、(0,-4)答案:D10、(2022江苏东台实中)二次函数的图象如图所示,则下列结论中正确的是:()0Aa>0b<0c>0Ba<0b<0c>0Ca<0b>0c<0Da<0b>0c>0答案:D11、(2022江苏东台实中)已知函数的图象如图所示,则函数的图象是()答案:B12、(2022江苏东台实中)将抛物线y=2x经过怎样的平移可得到抛物线y=2(x+3)-4.()A、先向左平移3个单位,再向上平移4个单位B、先向左平移3个单位,再向下平移4个单位23\nC、先向右平移3个单位,再向上平移4个单位D、先向右平移3个单位,再向下平移4个单位答案:B13、(2022江苏东台实中)已知函数与x轴交点是,则的值是()A、2022B、2022C、2022D、、2022答案:A14、(2022江苏射阴特庸中学)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是()A.a>0B.当x>1时,y随x的增大而增大C.c<0D.3是方程ax2+bx+c=0的一个根答案:D11题图15、(2022江苏扬州弘扬中学二模)如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象,观察图象写出y2≥y1时,x的取值范围()A.x≥0 B.0≤x≤1C.-2≤x≤1 D.x≤1答案:C16、(2022江苏射阴特庸中学)已知二次函数的图象(-0.7≤x≤2)如右图所示.关于该函数在所给自变量x的取值范围内,下列说法正确的是()A.有最小值1,有最大值2B.有最小值-1,有最大值1C.有最小值-1,有最大值2D.有最小值-1,无最大值答案:C17、(2022江苏扬州弘扬中学二模)点A(2,y1)、B(3,y2)是二次函数y=x2-2x+1的图象上两点,则y1与y2的大小关系为y1_____y2(填“>”、“<”、“=”).答案:<18、(2022山东省德州一模)现掷A、B两枚均匀的小立方体(每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6),设两立方体朝上的数字分别为、,并以此确定点P(),那么各掷一次所确定的点P落在已知抛物线上的概率为()23\nA.B.C.D.答案:B19、(2022山东省德州一模)已知抛物线的图象如图所示,则下列结论:①>0;②;③<;④>1.其中正确的结论是()A.①②B.②③C.③④D.②④答案:D第15题(第16题)20、(2022山西中考模拟六)若二次函数(为常数)的图象如下,则的值为()A.B.C.1D.答案:D二、填空题1、(2022吉林镇赉县一模)抛物线开口向下,且经过原点,则=.答案:-32、(2022江苏东台实中)抛物线的对称轴是____,顶点坐标是____.答案:;(2,5)3、(2022江苏东台实中)已知抛物线与x轴两交点分别是(-1,0),(3,0)另有一点(0,-3)也在图象上,则该抛物线的关系式________________.答案:4、(2022江苏射阴特庸中学)如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过点(0,-3),请你确定一个b的值,使该抛物线与x轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间.你所确定的b的值是(写出一个值即可).23\n答案:-1,0,……只要满足-2<b<2就行,答案不唯一。5、(2022·温州市中考模拟)如图,以O为顶点的两条抛物线分别经过正方形的四个顶点A、B、C、D,则阴影部分的面积为______.答案:16、(2022·湖州市中考模拟试卷3)如图为二次函数的图象,在下列结论中:①;②方程的根是;③;④当时,y随着x的增大而增大.正确的结论有_(请写出所有正确结论的序号).答案:②④7、(2022年河北省一摸)|如图9,抛物线与直线相交于O(0,0)和A(3,2)两点,则不等式的解集为 .答案:0<x<3图98、(2022年河北四摸)已知二次函数的图象经过点(-1,0),(0,2),当随的增大而增大时,的取值范围是 .答案:三、解答题1、(2022安徽芜湖一模)如图,已知:直线y=-x+3交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C(1,0)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点D的坐标为(-1,0),在直线y=-x+3上有一点P,使ΔABO与ΔADP23\n相似,求出点P的坐标;(3)在(2)的条件下,在x轴下方的抛物线上,是否存在点E,使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积?如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由.(本小题满分12分)解:(1):由题意得,A(3,0),B(0,3)∵抛物线经过A、B、C三点,∴把A(3,0),B(0,3),C(1,0)三点分别代入得方程组解得:∴抛物线的解析式为……………………………(4分)(2)由题意可得:△ABO为等腰三角形,如图所示,若△ABO∽△AP1D,则∴DP1=AD=4,∴P1若△ABO∽△ADP2,过点P2作P2M⊥x轴于M,AD=4,∵△ABO为等腰三角形,∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得:DM=AM=2=P2M,即点M与点C重合∴P2(1,2)……………………(8分)(3)如图设点E,则①当P1(-1,4)时,S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE23\n=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得:,即∵△=(-4)2-4×7=-12<0∴此方程无解②当P2(1,2)时,S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得:即,∵△=(-4)2-4×5=-4<0∴此方程无解综上所述,在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。………………………………(14分)2、(2022吉林镇赉县一模)如图,抛物线过A(0,2)、B(1,3)两点,CB⊥轴于C,四边形CDEF为正方形,点D在线段BC上,点E在此抛物线上,且在直线BC的左侧.(1)求此抛物线的函数关系式;(2)求正方形CDEF的边长.2题图答案:3、(2022吉林镇赉县一模)如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点A,与轴交于点B,与抛物线交于点C、D.已知点C的坐标为(1,7),点D的横坐标为5.23\n(1)求直线与抛物线的解析式;(2)将此抛物线沿对称轴向下平移几个单位,抛物线与直线AB只有一个交点.答案:3题图4、(2022吉林镇赉县一模)如图,已知抛物线与轴负半轴交于点A,与轴正半轴交于点B,且OA=OB.(1)求+的值;(2)若点C在抛物线上,且四边形OABC是平行四边形,求抛物线的解析式;(3)在(2)条件下,点P(不与A、C重合)是抛物线上的一点,点M是轴上一点,当△BPM是等腰直角三角形时,求点M的坐标.25题图答案:23\n5、(2022江苏东台实中)若抛物线的顶点坐标是(1,16),并且抛物线与轴两交点间的距离为8,(1)试求该抛物线的关系式;(2)求出这条抛物线上纵坐标为12的点的坐标。答案:(1)或(4分)(2)(-1,12)(2分)(3,12)(2分)(合计4分)6、(2022江苏东台实中)已知抛物线过点A(-1,0),B(0,6),对称轴为直线x=1(1)求抛物线的解析式(2)画出抛物线的草图(3)根据图象回答:当x取何值时,y>0答案:(1)(4分)(2)图略(3分)(3)7、(2022江苏东台实中)某企业投资100万元引进一条农产品加工线,若不计维修、保养费用,预计投产后每年可获利33万元,该生产线投资后,从第1年到第年的维修、保养费用累计为(万元),且,若第1年的维修、保养费用为2万元,第2年为4万元。(1)求与之间的关系式;(2)投产后,这个企业在第几年就能收回投资?答案:(1)(5分)23\n(2)设投产后的纯收入为,则即:(2分)由于当时,随的增大而增大,且当=1,2,3时,的值均小于0,当=4时,(2分)可知:投产后第四年该企业就能收回投资。(1分)8、(2022江苏东台实中)如图,抛物线交轴于A、B两点,交轴于点C,点P是它的顶点,点A的横坐标是3,点B的横坐标是1.(1)求、的值;(2)求直线PC的解析式;(3)请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC的位置关系,并说明理由.(参考数据,,)答案:(1)(4分)(2)(3分)(3)⊙A与直线PC相交(可用相似知识,也可三角函数,求得圆心A到PC的距离d与r大小比较,从而确定直线和圆的位置关系。)(3分)9、(2022江苏射阴特庸中学)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A(-2,0)和点B,与y轴相交于点C,顶点D(1,-).(1)求抛物线对应的函数关系式;(2)求四边形ACDB的面积;(3)若平移(1)中的抛物线,使平移后的抛物线与坐标轴仅有两个交点,请直接写出一个平移后的抛物线的关系式.]答案:(1)设二次函数为y=a(x-1)2-9/2,……1分求得,a=1/2,……3分23\n∴y=1/2(x-1)2-9/2.……4分(2)令y=0,得x1=-2,x2=4,∴B(4,0),……6分令x=0,得y=-4,∴C(0,-4),……7分S四边形ACDB=15.∴四边形ACDB的面积为15.……8分(3)如:向上平移9/2个单位,y=1/2(x-1)2;向上平移4个单位,y=1/2(x-1)2-1/2;向右平移2个单位,y=1/2(x-3)2-9/2;向左平移4个单位y=1/2(x+3)2-9/2.(写出一种情况即可).……10分10、(2022江苏射阴特庸中学)如图a,在平面直角坐标系中,A(0,6),B(4,0).(1)按要求画图:在图a中,以原点O为位似中心,按比例尺1:2,将△AOB缩小,得到△DOC,使△AOB与△DOC在原点O的两侧;并写出点A的对应点D的坐标为,点B的对应点C的坐标为;(2)已知某抛物线经过B、C、D三点,求该抛物线的函数关系式,并画出大致图象;(3)连接DB,若点P在CB上,从点C向点B以每秒1个单位运动,点Q在BD上,从点B向点D以每秒1个单位运动,若P、Q两点同时分别从点C、点B点出发,经过t秒,当t为何值时,△BPQ是等腰三角形?答案:(1)画图1分;C(-2,0),D(0,-3).……3分(2)∵C(-2,0),B(4,0).设抛物线y=a(x+2)(x-4),将D(0,-3)代入,得a=3/8.……5分∴y=3/8(x+2)(x-4),即y=3/8x2-3/4x-3.……6分大致图象如图所示.……7分(3)设经过ts,△BPQ为等腰三角形,此时CP=t,BQ=t,∴BP=6-t.∵OD=3,OB=4,∴BD=5.①若PQ=PB,过P作PH⊥BD于H,则BH=1/2BQ=1/2t,[由△BHP∽△BOD,得BH:BO=BP:BD,∴t=48/13s.……9分②若QP=QB,过Q作QG⊥BC于G,BG=1/2(6-t).由△BGQ∽△BOD,得BG:BO=BQ:BD,∴t=30/13s.……10分③若BP=BQ,则6-t=t,t=3s.……11分∴当t=48/13s或30/13s或3s时,△BPQ为等腰三角形.……12分23\n11、(2022江苏扬州弘扬中学二模)如图所示,已知抛物线的图象与y轴相交于点B(0,1),点C(m,n)在该抛物线图象上,且以BC为直径的⊙M恰好经过顶点A.(1)求k的值;(2)求点C的坐标;(3)若点P的纵坐标为t,且点P在该抛物线的对称轴l上运动,试探索:①当S1<S<S2时,求t的取值范围(其中:S为△PAB的面积,S1为△OAB的面积,S2为四边形OACB的面积);②当t取何值时,点P在⊙M上.(写出t的值即可)答案:解:(1)k=1-------1分
(2)由(1)知抛物线为:∴顶点A为(2,0),--------------2分∴OA=2,OB=1;过C(m,n)作CD⊥x轴于D,则CD=n,OD=m,∴AD=m-2,由已知得∠BAC=90°,-----------------3分[w*ww.~z#zs%tep.co@m]∴∠CAD+∠BAO=90°,又∠BAO+∠OBA=90°,∴∠OBA=∠CAD,∴Rt△OAB∽Rt△DCA,∴,即---------4分∴n=2(m-2);23\n又点C(m,n)在上,∴,解得:m=2或m=10;[w*ww.z#@z&step.c^om]当m=2时,n=0,当m=10时,n=16;∴符合条件的点C的坐标为(2,0)或(10,16).---------6分(3)①依题意得,点C(2,0)不符合条件,∴点C为(10,16)此时S1=,S2=SBODC-S△ACD=21;----------7分又点P在函数图象的对称轴x=2上,∴P(2,t),AP=|t|,∴=|t|------------------8分∵S1<S<S2,∴当t≥0时,S=t,∴1<t<21.----------------9分∴当t<0时,S=-t,∴-21<t<-1∴t的取值范围是:1<t<21或-21<t<-1--------10分[来&源:z*zstep.c@~om%]②t=0,1,17-----12分12、(2022山东省德州一模)如图,在平面直角坐标系中,半径为1的圆的圆心在坐标原点,且与两坐标轴分别交于四点.抛物线与轴交于点,与直线交于点,且分别与圆相切于点和点.(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线的对称轴交轴于点,连结,并延长交圆于,求的长.OxyNCDEFBMA(3)过点作圆的切线交的延长线于点,判断点是否在抛物线上,说明理由.23\n答案:解:(1)圆心在坐标原点,圆的半径为1,点的坐标分别为抛物线与直线交于点,且分别与圆相切于点和点,.点在抛物线上,将的坐标代入,得:解之,得:抛物线的解析式为:.(2)抛物线的对称轴为,OxyNCDEFBMAP.连结,,,又,,13、(2022山东省德州一模)如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(,0)、(0,4),抛物线23\n经过B点,且顶点在直线上.(1)求抛物线对应的函数关系式;(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;第13题(3)若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M的横坐标为t,MN的长度为l.求l与t之间的函数关系式,并求l取最大值时,点M的坐标.解:(1)由题意,可设所求抛物线对应的函数关系式为∴∴∴所求函数关系式为:(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,∴∵四边形ABCD是菱形∴BC=CD=DA=AB=5∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0).当时,当时,∴点C和点D在所求抛物线上.(3)设直线CD对应的函数关系式为,则解得:.∴∵MN∥y轴,M点的横坐标为t,∴N点的横坐标也为t.则,,23\n∴∵,∴当时,,此时点M的坐标为(,).[www#.~zz%ste@p.^co14、(2022温州市一模)如图,经过原点的抛物线与轴的另一个交点为A.过点作直线轴于点H,直线AP交轴于点.(点C不与点H重合)(1)当时,求点A的坐标及的长.[www.zz^s@t#%ep.~com](2)当时,问为何值时?(3)是否存在,使?若存在,求出所有满足要求的的值,并定出[w&^ww~.*zz@step.com]相对应的点坐标;若不存在,请说明理由.HOPA解:(1)当时,,令,解得∵HP∥OA,∴△CHP∽△COA,∴∵∴∴(2)(3)①当时(如图1),23\n(舍去)②当时(如图2),∵,又∵,∴∵∴不存在的值使.③当时(如图3),PA[④当时(如图4),综上所述当时,点;HOPA(图4)当时,点.HOPA(图3)15、(2022·吉林中考模拟)如图,在平面直角坐标系中,已知点坐标为(2,4),直线与轴相交于点,连结,抛物线从点沿方向平移,与直线交于点,顶点到点时停止移动.(1)求线段OA所在直线的函数解析式;(2)设抛物线顶点的横坐标为,当为何值时,线段最短;(3)当线段最短时,相应的抛物线上是否存在点,使△的面积与△的面积相等,若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.23\n解:(1)设所在直线的函数解析式为,∵(2,4),∴,,∴所在直线的函数解析式为.……………………………………3分(2)∵顶点M的横坐标为,且在线段上移动,∴(0≤≤2).∴顶点的坐标为(,).∴抛物线函数解析式为.∴当时,(0≤≤2).∴==,又∵0≤≤2,∴当时,PB最短.……………………………………7分(3)当线段最短时,此时抛物线的解析式为.假设在抛物线上存在点,使.设点的坐标为(,).①当点落在直线的下方时,过作直线//,交轴于点,∵,,∴,∴,∴点的坐标是(0,).∵点的坐标是(2,3),∴直线的函数解析式为.∵,∴点落在直线上.∴=.解得,即点(2,3).23\n∴点与点重合.∴此时抛物线上不存在点,使△与△的面积相等.………………9分②当点落在直线的上方时,作点关于点的对称称点,过作直线//,交轴于点,∵,∴,∴、的坐标分别是(0,1),(2,5),∴直线函数解析式为.∵,∴点落在直线上.∴=.16、(2022·温州市中考模拟)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y1=mx2-(2m+3)x+m+3与x轴交于点A、点B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(其中m>0)。(1)求:点A、点B的坐标(含m的式子表示);(2)若OB=4·AO,点D是线段OC(不与点O、点C重合)上一动点,在线段OD的右侧作正方形ODEF,连接CE、BE,设线段OD=t,△CEB的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;23\n答案:解:(1)A(1,0)、(2)m=1(或解析式)当2<t<4时,S=4t-817、(2022·湖州市中考模拟试卷3)已知:如图,抛物线与轴的交点是、,与轴的交点是C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)设(0<<6)是抛物线上的动点,过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q.①当取何值时,线段PQ的长度取得最大值?其最大值是多少?②是否存在这样的点P,使△OAQ为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.∴点C的坐标为(0,2).设直线BC的函数表达式是.则有解得:∴直线BC的函数表达式是.………………………5分23\n∴=………………………7分=.………………………8分∴当时,线段PQ的长度取得最大值.最大值是1.…………9分②当时,点P与点A重合,∴P(3,0)…………10分当时,点P与点C重合,∴(不合题意)…11分当时,设PQ与轴交于点D.,.又∴⊿ODQ∽⊿QDA.∴,即.∴,…………………………………………12分,∴.………………………13分∴.∴或.∴所求的点P的坐标是P(3,0)或或.……14分①如图①,当时,,.解得(舍去);...解得.抛物线的解析式为………………………………………2分23\n②如图②,当时,,.解得(舍去)………………………2分③当时,,这种情况不存在.………………………1分综上所述,符合条件的抛物线解析式是.(3)存在点,使得四边形的周长最小.如图③,作点关于轴的对称点,作点关于轴的对称点,连接,分别与轴、轴交于点,则点就是所求点.…………………………1分,..又,,此时四边形的周长最小值是.………………………………………………………2分图2。23\n19、(2022·湖州市中考模拟试卷7)已知关于的函数的图像与坐标轴只有2个交点,求的值.解:分情况讨论:(ⅰ)时,得.此时与坐标轴有两个交点,符合题意.……………………………1分(ⅱ)时,得到一个二次函数.23.抛物线与x轴只有一个交点,…………………1分解得…………………………………………………………2分②抛物线与x轴有两个交点,其中一个交点是(0,0)…………………1分把(0,0)带入函数解析式,易得………………………………1分23
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