2013年四川省成都市中考数学试卷

2013年四川省成都市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.每小题均有四个选项.其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）)1.的相反数是()A.B.C.D.2.如图所示的几何体的俯视图可能是（）A.B.C.D.3.要使分式有意义，则的取值范围是（）A.B.㌳C.香D.4.如图，在香䁨中，香䁨，香，则䁨的长为（）A.B.C.D.5.下列运算正确的是（）A.＝B.䁜＝C.＝D.＝6.参加成都市今年初三毕业会考的学生约有万人，将万用科学记数法表示应为（）A.香B.C.香D.香7.如图，将矩形香䁨沿对角线香折叠，使点䁨和点䁨重合，若香，则䁨的长为()试卷第1页，总14页 A.B.C.D.8.在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（）A.B.C.D.9.一元二次方程＝的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根10.如图，点，香，䁨在上，，则香䁨的度数为()A.B.C.䁜D.二．填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）)11.不等式㌳的解集是________．12.今年月日在雅安市芦山县发生了香级的大地震，全川人民众志成城，抗震救灾．某班组织“捐零花钱，献爱心”活动，全班名学生的捐款情况如图所示，则本次捐款金额的众数是________元．13.如图，香，若香䁨，䁨香平分䁨，则䁨________度．14.如图，某山坡的坡面香米，坡角香䁨，则该山坡的高香䁨的长为试卷第2页，总14页 ________米．三、解答题（本大题共6个小题，共54分）)15.（1）计算：香香sin15.（2）解方程组：．16.化简．17.如图，在边长为的小正方形组成的方格纸上，将香䁨绕着点顺时针旋转（1）画出旋转之后的香䁨；（2）求线段䁨旋转过程中扫过的扇形的面积．18.“中国梦”关乎每个人的幸福生活，为进一步感知我们身边的幸福，展现成都人追梦的风采，我市某校开展了以“梦想中国，逐梦成都”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品．现将参赛的件作品的成绩（单位：分）进行统计如下：等级成绩（用表示）频数频率香䁜香䁜香䁨香䁜香合计请根据上表提供的信息，解答下列问题：（1）表中的的值为________，的值为________（2）将本次参赛作品获得等级的学生依次用，，，…表示，现该校决定从本次参赛作品中获得等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请用树状图或列表法求恰好抽到学生和的概率．19.如图，一次函数＝的图象与反比例函数为常数，且的图象都经过点过点试卷第3页，总14页 （1）求点的坐标及反比例函数的表达式；（2）结合图象直接比较：当㌳时，和的大小．20.如图，点香在线段䁨上，点、在䁨同侧，＝䁨＝，香香，＝香䁨．（1）求证：䁨＝䁨；（2）若＝，䁨＝，点为线段香上的动点，连接，作，交直线香于点；′当点与、香两点不重合时，求的值；′′当点从点运动到䁨的中点时，求线段的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，）)21.已知点点在直线＝，为常数，且上，则的值为________．22.若正整数使得在计算的过程中，各数位均不产生进位现象，则称为“本位数”．例如和是“本位数”，而和不是“本位数”．现从所有大于且小于的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为________．23.若关于的不等式组，恰有三个整数解，则关于的一次函数的图象与反比例函数的图象的公共点的个数为________．24.在平面直角坐标系中，直线＝（为常数）与抛物线交于，香两点，且点在轴左侧，点的坐标为点，连接，香．有以下说法：①＝香；②当㌳时，香香的值随的增大而增大；试卷第4页，总14页 ③当时，香＝香香；④香面积的最小值为．其中正确的是________．25.如图，，香，䁨为上相邻的三个等分点，香香䁨，点在香䁨上，为的直径，将沿折叠，使点与重合，点香与香重合，连接香，䁨，．设香，䁨⸱，．现探究，⸱，三者的数量关系：发现当时，⸱．请继续探究，⸱，三者的数量关系：当时，________；当时，________．（参考数据：sincos，cossin）五、解答题（本小题共三个小题，共30分.答案写在答题卡上）)26.某物体从点运动到点所用时间为秒，其运动速度（米每秒）关于时间（秒）的函数关系如图所示．某学习小组经过探究发现：该物体前进秒运动的路程在数值上等于矩形香的面积．由物理学知识还可知：该物体前香秒运动的路程在数值上等于矩形香的面积与梯形香h的面积之和．根据以上信息，完成下列问题：（1）当香时，用含的式子表示；（2）分别求该物体在和香时，运动的路程（米）关于时间（秒）的函数关系式；并求该物体从点运动到总路程的时所用的时间．27.如图，的半径＝，四边形香䁨内接于圆，䁨香于点，为䁨延长线上的一点，且＝香．试卷第5页，总14页 （1）试判断与的位置关系，并说明理由；（2）若tan香，，求香的长；（3）在（2）的条件下，求四边形香䁨的面积．28.在平面直角坐标系中，已知抛物线⸱（，⸱为常数）的顶点为，等腰直角三角形香䁨的顶点的坐标为点，䁨的坐标为点，直角顶点香在第四象限．（1）如图，若该抛物线过，香两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点在直线䁨上滑动，且与䁨交于另一点．㌠若点在直线䁨下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以、、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点的坐标；㌠㌠取香䁨的中点h，连接h，香．试探究是否存在最大值？若存在，求出该h香最大值；若不存在，请说明理由．试卷第6页，总14页 参考答案与试题解析2013年四川省成都市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.每小题均有四个选项.其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1.B2.C3.A4.D5.B6.A7.B8.C9.A10.D二．填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11.㌳12.13.14.三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15.原式＝；，①+②可得：＝，解得：＝，将＝代入①可得：＝，故方程组的解为．16.原式＝．17.香䁨如图所示；由图可知，䁨＝，∴线段䁨旋转过程中扫过的扇形的面积．18.,香依题得获得等级的学生有人，用，，，表示，画树状图如下：试卷第7页，总14页 由上图可知共有种结果，且每一种结果可能性都相同，其中抽到学生和的有两种结果，所以从本次参赛作品中获得等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，恰好抽到学生和的概率为：．19.将的坐标代入＝，得：过＝，解得：过＝，故点坐标为点，将点的坐标代入：，得：，解得：＝，则反比例函数的表达式；结合函数图象可得：当香香时，香；当＝时，＝；当㌳时，㌳．20.证明：∵香香，∴＝䁜＝，∵䁨＝，∴＝䁜＝，∴＝，∵在香和䁨香中，䁨，香䁨∴香䁨香，∴香＝䁨，∴䁨＝香香䁨＝䁨；′如图，过点作香䁨于，则香香䁨，香∴，香䁨䁨香即，∴香，∵，∴＝䁜＝，∵＝䁜＝，∴＝，试卷第8页，总14页 又∵＝＝，∴，∴，即，香∴香＝香，整理得，香＝，∵点与，香两点不重合，∴，∴＝香，由得，，∴；′′线段的中点所经过的路径（线段）就是香的中位线h．由′可知，．当点运动至䁨中点时，＝，∴．∴香＝．在香中，根据勾股定理得：香香．∴h香．∴线段的中点所经过的路径（线段）长为．试卷第9页，总14页 四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，）21.22.23.或24.③④25.⸱,⸱五、解答题（本小题共三个小题，共30分.答案写在答题卡上）26.设直线香䁨的解析式为＝，由题意，得，解得：用含的式子表示为＝；由题意，得根据图示知，当时，＝；当香时，＝＝．综上所述，，香∴点运动到点的路程为：＝䁜＝，∴，∴＝，整理得，＝，解得：＝（舍去），＝．故该物体从点运动到点总路程的时所用的时间为秒．27.与圆相切．理由：如图，连接并延长交圆于点，连接，∵是直径，∴＝，∴＝，∵＝香＝，试卷第10页，总14页 ∴＝，即，∴与圆相切于点；∵tan香∴可设＝，则＝，∵，∴＝，∴＝，∴在中，tan，∴＝，＝，∵，∴香＝＝，连接香，则香＝，＝＝，∴香＝cos；由（2）知，香，∴䁨，又∵＝䁨，∴䁜＝，解得：＝，∴䁨＝＝，∴香䁨＝．四边形香䁨补充方法：28.解：（1）∵等腰直角三角形香䁨的顶点的坐标为点，䁨的坐标为点∴点香的坐标为点．∵抛物线过点，香点两点，试卷第11页，总14页 ⸱∴，解得：，⸱，⸱∴抛物线的函数表达式为：．（2）方法一：′∵点，䁨点，∴直线䁨的解析式为：．设平移前抛物线的顶点为，则由（1）可得的坐标为点，且在直线䁨上．∵点在直线䁨上滑动，∴可设的坐标为过点过，则平移后抛物线的函数表达式为：过过．解方程组：，过过过过解得，过过∴过点过，过点过．过点作轴，过点作轴，则过过，过过．∴．若以、、三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：①当为直角边时：点到的距离为（即为的长）．由点，香点，点可知，香为等腰直角三角形，且香䁨，香．如答图，过点香作直线䁨，交抛物线于点，则为符合条件的点．∴可设直线的解析式为：，∵香点，∴，解得，∴直线的解析式为：．解方程组，得：，∴点，点．②当为斜边时：，可求得点到的距离为．如答图，取香的中点，则点的坐标为点．试卷第12页，总14页 由点，点，点可知：为等腰直角三角形，且点到直线䁨的距离为．过点作直线䁨，交抛物线于点，则为符合条件的点．∴可设直线的解析式为：，∵点，∴，解得，∴直线的解析式为：．解方程组，得：，∴点，点．综上所述，所有符合条件的点的坐标为：点，点，点，点．方法二：∵点，䁨点，∴䁨，∵抛物线顶点在直线䁨上，设点，∴抛物线表达式：，∴䁨与抛物线的交点点，∵一、、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，点，①当为直角顶点时，点，，∴，∴点，点，②当为直角顶点时，点可视为点绕点顺时针旋转而成，将点点平移至原点点，则点平移后点，将点绕原点顺时针旋转，则点点，将点平移至点点，则点平移后即为点点，∴，∴，，∴点，点，③当为直角顶点时，同理可得点，点，综上所述，所有符合条件的点的坐标为：点，点，点，点．′′存在最大值．理由如下：h香由′知为定值，则当h香取最小值时，有最大值．h香试卷第13页，总14页 如答图，取点香关于䁨的对称点香，易得点香的坐标为点，香香．连接，h，香，易得h，且h，∴四边形h为平行四边形．∴h．∴h香香香．∴当香、、三点共线时，h香最小，最小值为．∴的最大值为．h香试卷第14页，总14页