13.3.1 等腰三角形(第1课时)教案(人教版八年级数学上)
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第十三章轴对称13.3等腰三角形
13.3.1等腰三角形第1课时一、教学目标【知识与技能】掌握等腰三角形的性质,会运用性质进行证明和计算.【过程与方法】经历观察实验、猜想证明,发展合情推理能力和演绎推理能力.【情感、态度与价值观】通过同学间的合作与交流,体会在解决问题过程中与他人合作的益处,数学知识在生活中的用途.二、课型新授课三、课时第1课时,共2课时。四、教学重难点【教学重点】理解并掌握等腰三角形的定义,探索等腰三角形的性质和判定方法;能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题.【教学难点】等腰三角形性质和判定的探索和应用.\n五、课前准备教师:课件、三角尺、直尺、圆规等。学生:三角尺、直尺、圆规。六、教学过程(一)导入新课出示等腰三角形示例,学生观看回顾相关知识(出示课件2)我们知道有两边相等的三角形叫等腰三角形,请同学们按下面的要求操作,如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,然后沿着虚线剪开,再把它展开,得到一个等腰三角形,通过折叠你发现了等腰三角形的那些性质?(出示课件3)(二)探索新知1.师生互动,探究等腰三角形的性质教师问1:把一张长方形的纸片按图中虚线对折,并按教材要求剪去阴影部分,再把它展开,观察AC和AB有什么关系?学生动手操作后回答:AC=AB。教师问2:上述过程得到的△ABC有什么特点?(出示课件5-6)学生回答:两条边AC与AB相等,是一个等腰三角形.教师问3:△ABC是轴对称图形吗?它的对称轴是什么?(出示课件7)学生回答:△ABC是轴对称图形,折痕AD所在的直线是它的对称轴.\n(3)回顾:什么是等腰三角形,等腰三角形中学过哪些重要线段?教师问4:把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折,找出其中重合的线段,填入下表:重合的线段重合的角学生观察讨论后并完成下表(出示课件8)重合的线段重合的角 AB与AC ∠B与∠CBD与CD∠BAD与∠CADAD与AD∠ADB与∠ADC教师问5:观察上表,由这些重合的角,你能发现等腰三角形的性质吗?
说一说你的猜想.
学生猜想1:等腰三角形的两个底角相等.教师问6:如何证明我们的猜想是否正确呢?师生共同解答如下:已知:△ABC中,AB=AC,
求证:∠B=∠C.
\n教师问7:如何证明两个角相等呢?学生讨论后回答:可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证.教师问8:这里只有一个三角形,全等三角形需要两个三角形.如何构造两个全等的三角形?(出示课件9)师生共同讨论后解答如下:(出示课件10)方法一:作底边上的中线.证明:作底边的中线AD,则BD=CD.
在△BAD和△CAD中AB=AC(已知),BD=CD(已作),
AD=AD(公共边),∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).教师问9:还有其他的证法吗?\n师生讨论后得到如下答案:(出示课件11)方法二:作顶角的平分线证明:作顶角的平分线AD,
则∠BAD=∠CAD.
在△BAD和△CAD中AB=AC(已知),∠BAD=∠CAD(已作),AD=AD(公共边),∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).教师问10:由△BAD≌△CAD,除了可以得到∠B=∠C之外,你还可以得到哪些相等的线段和相等的角?和你的同伴交流一下,看看你有什么新的发现?学生小组内讨论后得到如下答案:(出示课件12)解:∵△BAD≌△CAD,由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC,∠BAD=∠CAD.
又∵∠ADB+∠ADC=180°,
∴∠ADB=∠ADC=90°,\n
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线.总结点拨:(出示课件13)性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一).
(出示课件14)数学语言:如图,在△ABC中,∵AB=AC,∠1=∠2(已知),
∴BD=CD,AD⊥BC.(等腰三角形三线合一)
∵AB=AC,BD=CD(已知),
∴∠1=∠2,AD⊥BC.(等腰三角形三线合一)\n∵AB=AC,AD⊥BC(已知),
∴BD=CD,∠1=∠2.(等腰三角形三线合一)教师问11:画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高,看看它们是否重合?
学生作图如下:教师问12:如果是底角的平分线和他所对的腰上的高、中线具有这个性质吗?学生作图并且比较后回答:不具有三线合一的性质.作图如下:(出示课件15)\n例1:如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
(出示课件17)师生共同解答如下:分析:(1)找出图中所有相等的角;∠A=∠ABD,
∠C=∠BDC=∠ABC;(2)指出图中有几个等腰三角形?△ABC,△ABD,△BCD.
(3)观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系,∠ABC、∠C呢?(出示课件18)
∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD,
∠ABC=∠BDC=2∠A,∠C=∠BDC=2∠A.
(4)设∠A=x,请把△ABC的内角和用含x的式子表示出来.
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∴x+2x+2x=180°.
\n出示课件19:解:∵AB=AC,BD=BC=AD,
∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中,有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.
解得x=36°.
∴在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
总结点拨:在含多个等腰三角形的图形中求角时,常常利用方程思想,通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
例2:等腰三角形的一个内角是50°,则这个三角形的底角的大小是( )(出示课件22)A.65°或50°B.80°或40°
C.65°或80°D.50°或80°
解析:当等腰三角形的顶角是50°,则这个三角形的底角的大小是(180°-50°)÷2=130°÷2=65°;\n当等腰三角形的一个底角是50°,则这个三角形的顶角的大小是180°-50°×2=80°,所以底角是65°或50°,故选A.总结点拨:等腰三角形的两个底角相等,已知一个内角,则这个角可能是底角也可能是顶角,要分两种情况讨论.例3:已知点D、E在△ABC的边BC上,AB=AC.(出示课件24)(1)如图①,若AD=AE,求证:BD=CE;
(2)如图②,若BD=CE,F为DE的中点,求证:AF⊥BC.
图②图①师生共同解答如下:(出示课件25)证明:(1)如图①,过A作AG⊥BC于G.
∵AB=AC,AD=AE,
∴BG=CG,DG=EG,
∴BG–DG=CG–EG,
∴BD=CE;
(2)∵BD=CE,F为DE的中点,
∴BD+DF=CE+EF,
∴BF=CF.
∵AB=AC,∴AF⊥BC.
\n总结点拨:在等腰三角形有关计算或证明中,有时需要添加辅助线,其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线.
(三)课堂练习(出示课件30-35)1.等腰三角形有一个角是90°,则另两个角分别是( )
A.30°,60°B.45°,45°
C.45°,90°D.20°,70°
2.如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC,若∠1=70°,则∠BAC的大小为( )
A.40°B.30°C.70°D.50°3.(1)等腰三角形一个底角为45°,它的另外两个角为__________________;\n
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________;
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为___________________.
4.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°,则底角的大小为___________.5.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,∠B=30°,求∠BAD和∠ADC的度数.
6.如图,已知△ABC为等腰三角形,BD、CE为底角的平分线,且∠DBC=∠F,求证:EC∥DF.
7.A、B是4×4网格中的格点,网格中的每个小正方形的边长为1,请在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置.\n参考答案:1.B2.A3.(1)45°,90°;(2)72°,72°或36°,108°;(3)30°,30°4.70°或20°5.解:∵AB=AC,∴∠C=∠B=30°,
∵BD=CD,∴AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∴∠BAD=90°–∠B=60°.
6.证明:∵△ABC为等腰三角形,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.又∵BD、CE为底角的平分线,
∴∴∠DBC=∠ECB.
∵∠DBC=∠F,∴∠ECB=∠F,∴EC∥DF.
7.解答如下图:\n分别以A、B、C为顶角顶点来分类讨论!共8个.(四)课堂小结今天我们学了哪些内容:1.等腰三角形的两个底角相等(等边对等角) 2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一) (五)课前预习预习下节课(13.3.1)77页到78页的相关内容。知道等腰三角形的判定定理七、课后作业1、教材77页练习1,22、如下图所示,D为BC上一点,且AB=AC=BD,则图中∠1与∠2的关系是( )A.∠1=2∠2B.∠1+∠2=180°C.∠1+3∠2=180°D.3∠1-∠2=180°\n八、板书设计:九、教学反思:1.本节课的是等腰三角形的性质,设计上让学生从动手实验入手,发现、猜想、证明、探究等腰三角形的性质,并逐步懂得联系生活实际.个别同学会对等边对等角以及“三线合一”的性质理解不透,应用的不是很熟练,仍然忽略两种情况的存在,还需要多尝试练习.2.本节课通过学生动手实践,观察分析,猜想证明,完成了从感性认识到理性认识的知识发生、发展的认知过程.使学生的思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎,层层展开,步步深入,最后,学生动手运用所学知识解决问题,真正实现学生为主体的教学理念.
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