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人教版八年级上册数学第13章 轴对称 单元测试卷(Word版,含答案)

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人教版八年级上册数学第13章轴对称单元测试卷一、选择题(本大题共10小题,共30分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1.如图,有A,B,C三个居民小区,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在(    )A.∠A,∠B两内角的平分线的交点处B.AC,AB两边高线的交点处C.AC,AB两边中线的交点处D.AC,AB两边垂直平分线的交点处2.下列判断正确的是(    )A.点(-3,4)与(3,4)关于x轴对称B.点(3,-4)与点(-3,4)关于y轴对称C.点(3,4)与点(3,-4)关于x轴对称D.点(4,-3)与点(4,3)关于y轴对称3.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=50°,AD⊥BC,垂足为D,△ADB与△ADB'关于直线AD对称,点B的对称点是点B',则∠CAB'的度数为(    )A.10°B.20°C.30°D.40°4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=70°,△AFG与△ABC关于直线DE成轴对称,∠CAE=10°,连接BF,则∠ABF的度数是(    )A.30∘B.35∘C.40∘D.45∘5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=65°,点D是BC边上任意一点,过点D作DF//AB交AC于点E,则∠FEC的度数是(    )A.120°B.130°C.145°D.150°第19页共20页1.若等腰三角形的周长为19cm,一边长为7cm,则腰长为(    )A.7cmB.5cmC.7cm或5cmD.7cm或6cm2.如图,在等边△ABC中,点O是BC上任意一点,OE,OF分别于两边垂直,且等边三角形的高为2,则OE+OF的值为(    )A.5B.4C.3D.23.等腰三角形的底角是15∘,腰长为10,则其腰上的高为(    )A.8B.7C.5D.44.如图,在△ABC中,AB=AC.(1)分别以B,C为圆心,BC长为半径作弧,两弧相交于点D;(2)作射线AD,连接BD,CD.根据以上作图过程及所作图形,判断下列结论中错误的是(    )A.∠BAD=∠CADB.△BCD是等边三角形C.AD垂直平分BCD.S四边形ABDC=AD⋅BC5.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF//BC交AB于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D,下列选项中结论错误的是(    )A.EF=BE+CFB.∠BOC=90∘+12∠AC.点O到△ABC各边的距离相等D.设OD=m,AE+AF=n,则S△AEF=mn第19页共20页二、填空题(本大题共8小题,共24分)1.如图,直线m是△ABC中BC边的垂直平分,点P是直线m上的动点.若AB=6,AC=4,BC=7,则△APC的周长的最小值是          .2.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD,点D到AB的距离为3,∠BAD=60∘,点F为AB的中点,点E为AC上的任意一点,则EF+EB的最小值为          .3.如图,在△ABC中,∠C=90∘,∠B=15∘,DE垂直平分AB,交BC于点E,BE=4,则AC=          .4.已知∠AOB=45∘,点P在∠AOB内部,点P1与点P关于OB对称,点P2与点P关于OA对称,则P1,O,P2三点构成的三角形是          .5.已知一个等腰三角形的两个内角的度数之比为1:4,则这个等腰三角形的底角的度数为          .6.如图,直线l1//l2,点A在直线l1上,点B在直线l2上,AB=BC,∠C=30∘,∠1=80∘,则∠2=          .7.如图,在△ABC中,CB=CA,点D在AB上.若BD=BC,AD=CD,则∠ACB=          .第19页共20页1.如图,在△ABC中,按以下步骤作图: ①分别以点B,C为圆心,大于12BC的长为半径画弧,两弧相交于M,N两点; ②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠B=25∘,则∠ACB的度数为          .三、解答题(本大题共8小题,共66分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)2.已知,如图△ABC中,AB=AC,D点在BC上,且BD=AD,DC=AC.将图中的等腰三角形全都写出来.并求∠B的度数.3.如图,在△ABC中,AD⊥BC,BC的垂直平分线交AC于点E,BE交AD于点F.求证:点E在AF的垂直平分线上.4.如图,△ABC是等边三角形,延长BC到点E,使CE=12BC.点D是边AC的中点,连接ED并延长交AB于点F.求证:(1)EF⊥AB.(2)DE=2DF.第19页共20页1.如图,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,AD、BE交于点H,连CH.(1)求证:△ACD≌△BCE;(2)求证:HC平分∠AHE;(3)求∠CHE的度数(用含α的式子表示).2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,点G在边BC上,EG交AD于点F,BE=BG=6cm,∠BEG=60°,EF=2cm.(1)求∠DFG的度数.(2)求BC的长度.3.如图,在等边△ABC中,M是BC边上一点(不与端点B,C重合),N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点,且AM=MN.(1)尺规作图:在直线BC的下方过点B作∠CBE=∠CBA,作NC的延长线,与BE相交于点E;(2)求证:△BEC是等边三角形,(3)求证:∠AMN=60∘.第19页共20页1.如图,已知点B,C,D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形,BE交AC于点F,AD交CE于点H.(1)求证:△BCE≌△ACD;(2)求证:CF=CH;(3)判断△CFH的形状并说明理由.2.如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由点A向点C运动(与点A,C不重合),Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动(点Q不与点B重合),过点P作PE⊥AB于点E,连接PQ交AB于点D.(1)若设AP=x,则PC=      ,QC=     .(用含x的式子表示)(2)当∠BQD=30∘时,求AP的长.(3)在运动过程中,线段DE的长是否发生变化⋅如果不变,求出线段DE的长;如果变化,请说明理由.第19页共20页答案和解析1.【答案】D 【解析】略2.【答案】C 【解析】解:A、点(-3,4)与(3,4)关于y轴对称;B、点(3,-4)与点(-3,4)关于原点对称;C、点(3,4)与点(3,-4)关于x轴对称;D、点(4,-3)与点(4,3)关于x轴对称.故选:C.根据平面直角坐标系中对称点的规律就可以得到.主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律.解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:(1)关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;(2)关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数;(3)关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数.3.【答案】A 【解析】【分析】本题考查了轴对称的性质,掌握轴对称的性质是本题的关键.由余角的性质可求∠C=40°,由轴对称的性质可得∠AB'B=∠B=50°,由外角性质可求解.【解答】解:∵∠BAC=90°,∠B=50°,∴∠C=40°,∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称,点B的对称点是点B',∴∠AB'B=∠B=50°,∴∠CAB'=∠AB'B-∠C=10°,故选:A.  4.【答案】C 第19页共20页【解析】【分析】此题主要考查了轴对称的性质、三角形内角和以及等腰三角形的性质,正确得出∠BAC度数是解题关键.利用轴对称的性质得出△BAC≌△FAG,进而结合三角形内角和定理与等腰三角形的性质即可得出答案.【解答】解:∵△AFG与△ABC关于直线DE对称,∴△BAC≌△FAG,∵AB=AC,∠C=70°,∴∠ABC=∠AGF=∠AFG=70°,∴∠BAC=∠FAG=40°,∵∠CAE=10°,∴∠GAE=10°,∴∠BAF=40°+10°+10°+40°=100°,∴∠ABF=∠AFB=40°.故选C.  5.【答案】B 【解析】解:∵AB=AC,∠C=65°,∴∠B=∠C=65°,∵DF//AB,∴∠CDE=∠B=65°,∴∠FEC=∠CDE+∠C=65°+65°=130°;故选:B.由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=65°,由平行线的性质得出∠CDE=∠B=65°,再由三角形的外角性质即可得出答案.本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质;熟练掌握等腰三角形的性质和平行线的性质是解题的关键.6.【答案】D 【解析】第19页共20页【分析】本题主要考查了三角形的三边关系以及等腰三角形的性质,解决问题的关键是分类思想的运用.分两种情况讨论:当7cm为腰长时,当7cm为底边时,分别判断是否符合三角形三边关系即可.【解答】解:当7cm为腰长时,底边为5cm,符合三角形三边关系;当7cm为底边时,腰长为6cm,符合三角形三边关系;故腰长为7cm或6cm,故选:D.  7.【答案】D 【解析】解:如图,连接AO,∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC,∵OE⊥AB,OF⊥AC,∵S△ABC=S△AOB+S△AOC,∴12BC×2=12AB⋅OE+12AC⋅OF,即12×2=12(OE+OF),∴OE+OF=2;故选:D.三角形ABC的面积等于三角形AOB的面积+三角形AOC的面积,根据△ABC是等边三角形,所以三角形是等底的三角形,且高OF+高OE等于三角形ABC的高.本题考查了等边三角形的性质:等边三角形的三条边都相等.本题利用面积法解决问题,这也是几何题中常用的方法.8.【答案】C 【解析】略第19页共20页9.【答案】D 【解析】略10.【答案】D 【解析】解:∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB,∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12(180∘-∠A)=90∘- 12∠A,∴∠BOC=180∘-(∠OBC+∠OCB)=90∘+12∠A,故B选项结论正确;∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴∠OBC=∠OBE,∠OCB=∠OCF,∵EF//BC,∴∠OBC=∠EOB,∠OCB=∠FOC,∴∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF,∴BE=OE,CF=OF,∴EF=OE+OF=BE+CF,故A选项结论正确;过点O作OM⊥AB于M,ON⊥BC于N,连接OA,如图,∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴ON=OD=OM=m,∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=12AE⋅OM+12AF⋅OD=12OD⋅(AE+AF)=12mn,故D选项结论错误;第19页共20页∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴点O到△ABC各边的距离相等,故C选项结论正确.故选D.11.【答案】10 【解析】∵直线m垂直平分BC,∴B、C两点关于直线m对称,如图,设直线m交AB于D,连接CD,则BD=CD.当P和D重合时,AP+CP的值最小,最小值等于AB的长,∴△APC的周长的最小值是6+4 =10.12.【答案】解:如图,连接BD.∵AB=BC= CD=AD,∴AC垂直平分BD.∴点B关于直线AC的对称点为点D.连接DF,则DF的长即为EF+EB的最小值.在△ABD中,由∠BAD=60∘,AD= AB,可得△ABD为等边三角形.∵点F为AB的中点,∴DF⊥AB.∴DF=3. ∴EF+EB的最小值为3.第19页共20页 【解析】见答案13.【答案】2 【解析】略14.【答案】等腰直角三角形 【解析】略15.【答案】30∘或80∘ 【解析】略16.【答案】40∘ 【解析】略17.【答案】108∘ 【解析】略18.【答案】105∘ 【解析】略第19页共20页19.【答案】解:图中等腰三角形有△ABC,△ADB,△ADC∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形;∵BD=AD,DC=AC∴△ADB和△ADC是等腰三角形;∵AB=AC∴∠B=∠C∵BD=AD,DC=AC∴∠B=∠BAD,∠ADC=∠DAC=2∠B,在△ACD中,∵∠ADC=∠DAC=2∠B,∠C=∠B,∴5∠B=180°∴∠B=36°. 【解析】因为AB=AC,BD=AD,DC=AC,由等腰三角形的概念得△ABC,△ADB,△ADC是等腰三角形,再根据角之间的关系求得∠B的度数.此题考查了等腰三角形判定;解决此题的关键是熟练掌握运用等腰三角形的判定方法,注意数形结合的解题思想,在图形上找到等腰三角形是解答本题的关键.20.【答案】证明:∵BC的垂直平分线交AC于点E,∴BE=CE.∴∠EBC=∠C.∵AD⊥BC,∴∠C+∠CAD=90∘,∠EBC+∠BFD=90∘.∴∠CAD=∠BFD.∵∠BFD=∠AFE,∴∠AFE=∠CAD.∴AE=EF.∴E在AF的垂直平分线上. 【解析】见答案21.【答案】证明:(1)∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,∠ACB=∠ABC=60∘.∵D第19页共20页为AC的中点,∴AD=CD=12AC.∵CE=12BC,∴CD=CE.∴∠E=∠CDE=12∠ACB=30∘.∵∠ABC=60∘,∴∠EFB=180∘-60∘-30∘=90∘.∴EF⊥AB.(2)连接BD,∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC,∠ABC=60∘.∵D为AC的中点,∴∠DBC=∠ABD=12∠ABC=30∘.∵∠E=30∘,∴∠DBC=∠E.∴DE=BD.∵∠BFE=90∘,∠ABD=30∘,∴BD=2DF.即DE=2DF. 【解析】见答案22.【答案】(1)证明:∵∠ACB=∠DCE=α,∴∠ACD=∠BCE,在△ACD和△BCE中,CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE,∴△ACD≌△BCE(SAS);(2)证明:过点C作CM⊥AD于M,CN⊥BE于N,如下图所示,第19页共20页∵△ACD≌△BCE,∴S△ACD=S△BCE,AD=BE,∴12·AD·CM=12·BE·CN,∴CM=CN,∴HC平分∠AHE;(3)∵△ACD≌△BCE,∴∠CAD=∠CBE,∵∠AOC=∠BOH,∴∠AHB=∠ACB=α,∴∠AHE=180°-α,∴∠CHE=12∠AHE=90°-12α. 【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法.(1)由CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,利用SAS,即可判定:△ACD≌△BCE;(2)首先作CM⊥AD于M,CN⊥BE于N,由△ACD≌△BCE,可得S△ACD=S△BCE,AD=BE,根据三角形的面积公式可得CM=CN,即可证得CH平分∠AHE;(3)由△ACD≌△BCE,可得∠CAD=∠CBE,继而求得∠AHB=∠ACB=α,则可求得∠CHE的度数.23.【答案】解:(1)∵EB=BG=6cm,∠BEG=60°,∴△EBG是等边三角形,∴EG=BE=6cm,∠FGD=60°,∵EF=2cm,∴FG=4cm,∵AB=AC.AD平分∠BAC,第19页共20页∴AD⊥BC,BD=CD,∵∠DFG=90°-60°=30°,(2)在Rt△DFG中,∵FG=4cm,∠DFG=30°,∴DG=12∠GF=2cm,∴BD=BG-DG=4cm,∴BC=2BD=8cm. 【解析】(1)证明△BEG是等边三角形,推出∠DGF=60°,再利用等腰三角形的性质解决问题即可.(2)想办法求出BD,再利用等腰三角形的性质解决问题即可.本题考查等边三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,含30°角的直角三角形等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.24.【答案】解:(1)作图如图所示.(2)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60∘,∴∠ACH=120∘,∵CN平分∠ACH,∴∠HCN=∠BCE=60∘,∵∠CBE=∠CBA=60∘,∴∠EBC=∠BCE=60∘,∴△BEC是等边三角形.第19页共20页(3)证明:连接ME,∵△ABC和△BCE都是等边三角形,∴AB=BC=BE.在△ABM和△EBM中,{AB=EB∠ABM=∠EBMBM=BM∴△ABM≌△EBM(SAS),∴AM=EM,∠BAM=∠BEM,∵AM=MN,∴MN=EM,∴∠N=∠CEM,∵∠HCN=∠N+∠CMN=60∘,∠BEC=∠BEM+∠CEM=60∘,∴∠CMN=∠BEM=∠BAM,∵∠AMC=∠ABC+∠BAM=∠AMN+∠CMN,∴∠AMN=60∘. 【解析】(1)以B为圆心,以任意长为半径画弧,交AB、BC两边为D和F,以F为圆心,以DF为半径画弧,交前弧于G,作射线BG,交NC的延长线于E,则∠CBE=∠CBA;(2)证明△BCE三个角都是60∘,可得结论;(3)作辅助线,构建三角形全等,证明△ABM≌△EBM(SAS),得AM=EM,∠BAM=∠BEM,证明∠CMN=∠BEM=∠BAM,根据三角形外角的性质可得结论.25.【答案】(1)证明:∵△ABC和△CDE都是等边三角形,∴BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=60∘.∴∠BCE=60∘+∠ACE=∠ACD.第19页共20页∴△BCE≌△ACD(SAS).(2)证明:∵△BCE≌△ACD,∴∠FBC=∠HAC.∵∠ACB=60∘,∠FCH=180∘-∠ACB-∠ECD=60∘,∴∠BCF=∠ACH.又∵BC=AC,∴△BCF≌△ACH(ASA).∴CF=CH.(3)解:△CFH是等边三角形.理由:∵CF=CH,∠FCH=60∘,∴△CFH是等边三角形. 【解析】见答案26.【答案】 (1)6-x;6+x;(2)解:∵在QCP中,∵∠BQD=30°,∠C=60°∴∠QPC=90°∴PC= 12QC,即6-x= 12(6+x),解得x=2,∴AP=2;(3)解:当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.理由如下:作QF⊥AB,交直线AB的延长线于点F,连接QE,PF,又∵PE⊥AB于E,∴∠DFQ=∠AEP=90°,∵点P、第19页共20页Q速度相同,∴AP=BQ,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°,在△APE和△BQF中,∵∠AEP=∠BFQ=90°,∴∠APE=∠BQF,∴在△APE和△BQF中,∠AEP=∠BFQ∠A=∠FBQAP=BQ,∴△APE≌△BQF(AAS),∴AE=BF,PE=QF∵∠DFQ=∠DEP=90°,∠QDF=∠EDPPE=QF∴△QFD≌△PEDAAS,∴DF=DE=12EF∵EF=BE+BF=EB+AE=AB,∴DE= 12AB,又∵等边△ABC的边长为6,∴DE=3,∴当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变. 【解析】【分析】本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理,根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键.(1)由△ABC是边长为6的等边三角形,AC=BC=6,设AP=x,则PC=6-x,QC=6+x;(2)由△ABC是边长为6的等边三角形,可知∠ACB=60°,再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°,在Rt△QCP中,∠BQD=30°,PC= 12QC,即6-x= 12(6+x),求出x的值即可;(3)作QF⊥AB,交直线AB的延长线于点F,连接QE,PF,由点P、Q做匀速运动且速度相同,可知AP=BQ,再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF,再由∠DFQ=∠DEP=90°,∠QDF=∠EDP,PE=QF,再证明△QFD≌△PED,进而可得出EF=BE+BF=EB+AE=AB,DE= 12AB,由等边△ABC的边长为6可得出DE=3,故当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变【解答】解:(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形,设AP=x,则PC=6-x,QB=x,∴QC=QB+BC=6+x,故答案为:6-x第19页共20页;6+x;(2)见答案;(3)见答案.  第19页共20页

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所属: 初中 - 数学
发布时间:2022-08-30 21:53:04 页数:20
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文章作者:未来可期

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