11.2 三角形全等的判定

一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一个与原来同样大小的新教具吗？怎样才能保证制作的新教具与原来的全等呢？怎么办？可以帮帮我吗？新课导入 CBEAD 1．了解三角形的稳定性；2．掌握三角形全等的条件：边边边、边角边、角边角、角角边；3．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．知识与能力教学目标 1．培养空间观念，推理能力，发展有条理地表达能力；2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．过程与方法 1．经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的应用，树立学好数学的信心；2．通过课堂学习培养敢于实践，勇于发现，大胆探索，合作创新的精神；3．在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．情感态度与价值观 1．运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题；2．三角形全等的条件．重点教学重难点1．寻求三角形全等的条件；2．灵活运用三角形全等条件；3．熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题．难点 1．一个条件．（1）有一条边对应相等的三角形？不一定全等．三角形全等的探究判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等． （2）有一个角对应相等的三角形？一个条件，并不能保证三角形全等．不一定全等．结论 不一定全等．（1）三角形的一个角和一条边对应相等的三角形？2．两个条件． （2）三角形的两条边对应相等的三角形．不一定全等．有两个条件对应相等也不能保证三角形全等．结论 已知△ABC，画一个△DEF，使DE=AB，EF=BC，DF=AC．1．画线段DE=AB；2．分别以D、E为圆心，线段AC、BC为半径画弧，两弧交于点F；3．连接线段DF、EF．DEABCF（1）三角形的三条边分别对应相等的三角形？3．三个条件． 知识要点三角形全等的条件：三边对应相等的两个三角形全等.即：“边边边”或“SSS” AB=A’B’BC=B’C’AC=A’C’（SSS）ABCA′B′C′在△ABC和△A’B’C’中∴△ABC≌△A’B’C’用符号语言表达为： 证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD．在△ABD和△ACD中，AB=AC，AD=AD（公共边），BD=CD，∴△ABD≌△ACD（SSS）．ABCD例1已知△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．求证：△ABD≌△ACD. 在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，点E在AD上．找出图中全等的三角形，并说明它们为什么是全等的？D想一想BCAE 1．已知：如图，AB＝AD，CB=CD．　求证：∠B=∠D．在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS）．∴∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）．证明：连结AC，BCDAAB＝AD，CB＝CD，AC＝AC（公共边），练一练 证明：∵BE=CF（已知），即BC=EF．在△ABC和△DEF中，AB=DE（已知），AC=BF（已知），BC=EF（已证），∴△ABC≌△DEF（SSS）．∴∠A=∠D（全等三角形对应角相等）．FABECD∴BE+EC=CF+EC，2．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：∠A=∠D． （2）三角形的两条边和它们的夹角对应相等的三角形?已知△ABC，画一个△A'B'C'，使A'B'=AB，B'C'=BC，∠B'=∠B．ABC 1．画∠B’=∠B；2．在射线B’O上截取B’C’=BC，在射线B’F上截取B’A’=BA．3．连接A’C’．以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA、BC于点M、N；画一条射线B’O，以点B’为圆心，BM长为半径画弧，交B’O于点P；以点P为圆心，MN长为半径画弧，与上步骤所画的弧交于点Q；过点Q画射线B’F，则∠OB’F=∠BABCA’B’C’MNOPQF·· 作一角等于已知角 知识要点“边角边”或“SAS”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．三角形全等的条件： 用符号语言表达为：在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SAS）.ABC（DEF（ 例2如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA．连接BC并延长到E，使CE=CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离．为什么？ABCDE证明：在△ABC和△DEC中，CA=CD，∠ACB=∠DCE，CB=CE，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE． 证明：在ABC和ADC中，AB=AD（已知），CB=CD（已知），AC=AC（公共边）∴ABC≌ADC（SSS），∴∠BAO=∠DAO（全等三角形的对应角相等）．如右图，已知：AB=AD，CB=CD．求证：AC⊥BD．练一练ACBDO 在ABO和ADO中，AB=AD（已知），∠BAO=∠DAO（已证），AO=AO（公共边），∴ABO≌ADO（SAS），∴∠AOB=∠AOD（全等三角形的对应角相等）．∴∠AOB=∠AOD=90°．∴AC⊥BD（垂直定义）．又∵∠AOB+∠AOD=180°（邻补角定义）， 知识要点因为全等三角形的对应角相等，对应边相等，所以，证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明两个三角形全等来解决． （3）三角形的两个边和其中一个边的对角对应相等的三角形？两个边和其中一个边的对角对应相等的三角形不一定全等．结论 （4）三角形的三个角对应相等的三角形？三个内角对应相等的三角形不一定全等．30°60°30°60°60°30°结论 两种情况①两个角及这两角的夹边分别对应相等②两个角及其中一角的对边分别对应相等（5）三角形的两角和一条边对应相等的三角形． 已知：任意△ABC，画一个△A’B’C’，使A’B’=AB，∠A’=∠A，∠B’=∠B．画法：1．画A’B’=AB，2．在A’B’的同旁画∠DA’B’=∠A，∠EB’A’=∠B，A’D、B’E交于点C’．∴△A’B’C’就是所要画的三角形．A'B’C’ABCDE①两个角及这两角的夹边分别对应相等的三角形？ 知识要点“角边角”或“ASA”有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等．三角形全等的条件： 用符号语言表达为：在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E，∴△ABC≌△DEF（ASA）．ABDECF ②两个角及其中一角的对边分别对应相等的三角形．证明：∵在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B．在△DEF中，∠F=180°-∠D-∠E．又∵∠A=∠D，∠B=∠E，∴∠C=∠F．在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，∴△ABC≌△DEF（ASA）．ABDECF 知识要点“角角边”或“AAS”有两个角及其中一角的对边分别对应相等的两个三角形全等．三角形全等的条件： 用符号语言表达为：在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，∠C=∠F，∴△ABC≌△DEF（AAS）．ABDECF ∴AD=AE（全等三角形的对应边相等），又∵AB=AC（已知），∴AB–AD=AC–AE．即：BD=CE．ABEOCD证明：在△ABE和△ACD中∠A=∠A（公共角），AB=AC（已知），∠B=∠C（已知），∴△ABE≌△ACD（ASA），例3已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：BD=CE． DCBAEF1．已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AB=DE，AC=DF．练一练证明：∵FB=CE（已知），∴BC=EF．∵AB∥ED，AC∥FD（已知），∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE（两直线平行，内错角相等）． 在△ABC与△DEF中，BC=EF（已证），∠B=∠E（已证），∠ACB=∠DFE（已证），∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE，AC=DF（全等三角形对应边相等）．DCBAEF 2．已知：如右图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，OC=OD，E、F为AB上两点，且AE=BF．求证：CE=DF．ODBACEF证明：在AOC和BOD中，∵AC∥DB，∴∠A=∠B（两直线平等，内错角相等）．又∵　∠AOC=∠BOD（对顶角相等），∠A=∠B（已证），OC=OD（已知）， ∴AOC≌BOD（AAS）．∴AC=BD．在AEC和BFD中，AC=BD（已证），∠A=∠B（已证），AE=BF（已知），∴AEC≌BFD（ASA），∴CE=DF．ODBACEF 3．已知：AB∥DE，AB=DE，∠1=∠2求证：BG=DF（中考题）ABFEDGC12提示：证△ABF和△EDG全等． 一同学不小心打破了一块三角形的玻璃，如图：他应该拿哪一块回玻璃店做一块与原玻璃一模一样的？想一想 判定一般三角形全等的方法有哪几种？若这两个三角形是直角三角形，那么这些判定方法适用吗？判定直角三角形全等有特殊方法吗？答：SSS，SAS，ASA，AAS．想一想 ABCRt△ABC≌Rt△A'B'C'画法：1．画∠MC'N=90°．2．在射线C'M上取B'C'=BC．3．以为B'圆心，AB为半径画弧，交射线C'N于点A'．4．连接A'B'．A′B′C′MN一条直角边和斜边对应相等的直角三角形全等吗？ 知识要点“斜边、直角边公理”或“HL”斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等．直角三角形全等的条件： 用符号语言表达为：在Rt△ABC与Rt△DEF中，AC=DF，BC=EF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（AAS）．BAC┌DEF┌ 如图，具有下列条件的Rt△ABC与Rt△DEF（其中∠C＝∠F＝90°）是否全等，在（　）里填写理由；如果不全等，在（　）里打“×”：（1）AC＝DF，∠A＝∠D（）（2）AC＝DF，BC＝EF（）（3）AB＝DE，∠B＝∠E（）（4）∠A＝∠D，∠B＝∠E（）ASASASAAS×想一想ACBDEF 1．直角三角形是特殊的三角形，所以不仅可以应用一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”公理．2．使用“HL”公理时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等．注意 4．直角三角形全等的判定方法有五项依据：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”其中，“HL”公理只适用于判定直角三角形全等．3．两个直角三角形中，由于有直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只须找两个条件（两个条件中至少有一个条件是一对边相等）． 三边对应相等（SSS）一锐角和它的邻边对应相等（ASA）一锐角和它的对边对应相等（AAS）两直角边对应相等（SAS）斜边和一条直角边对应相等（HL）判断三角形全等的条件课堂小结 ABCD∴△ABC≌△DCB(SSS)．1．如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由．解：△ABC≌△DCB．理由如下：在△ABC和△DCB中，AB=CD，AC=DB，BC=CB，随堂练习 2．如图，D、F是线段BC上的两点，AB=EC，AF=ED，要使△ABF≌△ECD，还需要条件___________________．BF=CD或BD=CFAEBDCF 3．已知：如图，AB=CB，∠ABD=∠CBD．问AD=CD，BD平分∠ADC吗？ABCD证明：在△ABD与△CBD中，AB=CB，∠ABD=∠CBD，BD=BD，∴△ABD≌△CBD（SAS）．∴AD=CD，∠ADB=∠CDB，即BD平分∠ADC． 4．如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：∠A=∠D．证明：∵BF=BE+EF，CE=CF+FE，而BE=CF，∴BF=CE．在△ABF和△DCE中，BF=CE，∠B=∠C，AB=DC，∴△BAD≌△BAC（SAS），∴∠A=∠D．ADBEFC 5．如图，B点在A点的正北方向．两车从路段AB的一端A出发，分别向东、向西进行相同的距离，到达C、D两地．此时C、D到B的距离相等吗？BDAC证明：∵在△BAD和△BAC中，BA=BA，∠BAD=∠BAC，AD=AC，则△BAD≌△BAC（SAS）．∴BD=BC，∴C、D到B的距离相等． 6．已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，CD、C′D′分别是高，并且AC=A′C′，CD=C′D′，∠ACB＝∠A′C′B′．求证：△ABC≌△A′B′C′．CADBC′A′D′B′ 证明：∵CD、C′D′分别是高，∴∠ADC=∠A′D′C′=90°．在Rt△ADC与Rt△A′D′C′中，AC＝A′C′，CD＝C′D′，∴Rt△ADC＝Rt△A′D′C′（HL），∴∠A＝∠A′．在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）．CADBC′A′D′B′ 7．如图：已知△ABC≌△A1B1C1，AD、A1D1分别是∠BAC和∠B1A1C1的角平分线．求证：AD=A1D1．证明：∵△ABC≌△A1B1C1，∴AB=A1B1，∠B=∠B1，∠BAC=∠B1A1C1（全等三角形的性质）．又∵AD、A1D1分别是∠BAC和∠B1A1C1的角平分线，∴∠BAD=∠B1A1C1．在⊿BAD和⊿B1A1D1中，∠B=∠B1，AB=A1B1，∠BAD=∠B1A1C1，∴⊿BAD≌⊿B1A1D1（ASA），∴AD=A1D1．A1B1D1C1ABDC 证明：∵AB∥CD（已知）,∴∠B=∠D（两直线平行，内错角相等）.在⊿ABE和⊿CDF中,∠B=∠D（已证）,AB=CD（已知）,∠A=∠C（已知）,∴⊿ABE≌⊿CDF（ASA）,∴AB=AD.8．如图，已知：AB∥CD，AB=CD，点B、E、F、D在同一直线上，∠A=∠C，求证：AE=CF．BAEFDC 9．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2，求证：AB=AD．证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC（已知）,∴∠B=∠D=90°.在⊿ABC和⊿ADC中,∠1=∠2,∠B=∠D,AC=AC（公共边）,∴⊿ABC≌⊿ADC（AAS）,∴AB=AD.ABCD（（12 10．如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿着两条直线行走，并同时到达D、E两地．DA⊥AB，EB⊥AB．D、E与路段AB的距离相等吗？为什么？ADCBE证明∵DA⊥AB，EB⊥AB∴∠A=∠B=90°在Rt△ACD与Rt△BCE中AC=BCCD=CE∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL）∴AD=BE即D、E与路段AB的距离相等． 1．在△ABC和△ACD中，AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）．习题答案 2．∵C是AB的中点，∴AC=CB．在△ACD和△CBE中，AC=CB，AD=CE，CD=BE，∴△ACD≌△CBE（SSS）．3．可先证明△ABE≌△ACD．4．只要测量A′B′．证明△AOB≌△AO′B′．5．可先证明△ABC≌△ABD．6．可先证明△ACD≌△BCE． 7．可先证明△ABD≌△ACD．8．可先证明△ABC≌△DCB，得∠ABC=∠DCB；再证∠ABD=∠ACD．9．可先证明△ABC≌△DEF．10．可先证明△AOB≌△COD，得∠B=∠D．11．可先证明△ABC≌△DEF．12．可先证明△ADE≌△CFE．13．△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE．