2025届高三一轮复习 第一章　运动的描述 匀变速直线运动的研究热点专题二　追及相遇问题练习

热点专题二　追及相遇问题素养目标　1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧。2.会在图像中分析追及相遇问题。3.熟练运用运动学公式结合运动图像解决追及相遇的综合问题。热点一　追及相遇问题1.分析思路可概括为&ldquo;一个临界条件&rdquo;&ldquo;两个等量关系&rdquo;。(1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点。(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口。2.特别提醒若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。题型　速度小者追速度大者例1A、B两车在同一直线上向右匀速运动，B车在A车前，A车的速度大小为v1＝8m/s，B车的速度大小为v2＝20m/s，如图1所示。当A、B两车相距x0＝28m时，B车因前方突发情况紧急刹车(刹车过程可视为匀减速直线运动)，加速度大小为a＝2m/s2，从此时开始计时，求：图1(1)A车追上B车之前，两者相距的最大距离；(2)A车追上B车所用的时间；(3)从安全行驶的角度考虑，为避免两车相撞，题设条件下，在B车刹车的同时，A车刹车的最小加速度。答案　(1)64m　(2)16s　(3)0.25m/s2解析　(1)当A、B两车速度相等时，相距最远，根据速度关系得v1＝v2－at1代入数据解得t1＝6s,此时，根据位移时间的关系得xA1＝v1t1xB1＝v2t1－at&Delta;xm＝xB1＋x0－xA1代入数据解得&Delta;xm＝64m。(2)B车刹车到停止运动所用时间t0＝＝10s发生的位移xB2＝＝100m此时xA2＝v1t0＝80m则xA2＜x0＋xB2可见此时A车并未追上B车，而是在B车停止后才追上B车，停止后A车运动时间为t2＝＝6s故所用总时间为t＝t0＋t2＝16s。(3)A车刹车减速至0时刚好追上B车时，加速度最小＋x0＝代入数据解得aA＝0.25m/s2。规律总结速度小者追速度大者情景图像说明匀加速追匀速①t＝t0以前，后面物体与前面物体间距离增大②t＝t0时，两物体相距最远，为x0＋&Delta;x(x0为两物体初始距离)③t＝t0以后，后面物体与前面物体间距离减小,④能追上且只能相遇一次匀速追匀减速匀加速追匀减速特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。跟踪训练1.(2022&middot;江苏灌云第一中学模拟)&ldquo;十次肇事九次快&rdquo;，造成交通事故至关重要的因素之一是违章超速行驶。一辆执勤警车停在公路旁，当警员发现从他旁边匀速驶过的货车有违章行为时，决定前去追赶，经过2.5s警员将警车发动起来，然后以2m/s2的加速度匀加速追赶，已知货车的速度为8m/s，试问：(1)在警车追上货车前，两车间的最大距离是多少？(2)警车从发动开始经过多长时间追上货车？答案　(1)36m　(2)10s解析　(1)当两者速度相等时，距离最大，由at＝v可得t＝4s最大距离&Delta;x＝v(t＋2.5)－at2代入数据解得&Delta;x＝36m。(2)追上时，位移相等，因此v(t&prime;＋2.5)＝at&prime;2代入数据解得t&prime;＝10s。题型　速度大者追速度小者例2如图2甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点(t＝0)，A、B两车的v－t图像如图乙所示。已知B车在第1s内与A车的距离缩短了x1＝12m。,图2(1)求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小；(2)若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时(t＝0)两车的距离s0应满足什么条件？答案　(1)12m/s　3m/s2　(2)s0&gt;36m解析　(1)在t1＝1s时A车刚启动，两车间缩短的距离为B车的位移，可得x1＝vBt1解得B车的速度为vB＝12m/s图像斜率表示加速度，可得A车的加速度大小为a＝其中t2＝5s解得A车的加速度大小为a＝3m/s2。(2)两车的速度达到相等时，两车的距离达到最小，对应于v－t图像的t2＝5s时刻，此时两车已发生的相对位移为梯形的面积，则x＝vB(t1＋t2)代入数据解得x＝36m因此，若A、B两车不会相撞，则两车的距离s0应满足条件为s0&gt;36m。规律总结　速度大者追速度小者情景图像说明匀减速追匀速开始追赶时，两物体间距离为x0，之后两物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：①若&Delta;x＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件②若&Delta;x<x0，则不能追上，此时两物体最小距离为x0－δx③若δx>x0，则相遇两次，设t1时刻&Delta;x＝x0，两物体第一次相遇，则t2,时刻两物体第二次相遇(t2－t0＝t0－t1)匀速追匀加速匀减速追匀加速跟踪训练2.(2023&middot;江苏海安市高三月考)当今社会，科技飞速发展，无人驾驶汽车已经成为智能化交通工具必然的发展方向。(1)无人驾驶汽车车头装有一个激光雷达，就像车辆的&ldquo;鼻子&rdquo;，随时&ldquo;嗅&rdquo;着前方80m范围内车辆和行人的&ldquo;气息&rdquo;。若无人驾驶汽车在某路段刹车时的加速度为3.6m/s2，为不撞上前方静止的障碍物，汽车在该路段匀速行驶时的最大速度是多少？(2)若一辆有人驾驶的汽车在该无人驾驶汽车后30m处，两车都以20m/s的速度行驶，当前方无人驾驶汽车以3.6m/s2的加速度刹车1.4s后，后方汽车驾驶员立即以5.0m/s2的加速度刹车，试通过计算判断两车在运动过程中是否会发生追尾事故？答案　(1)24m/s　(2)不会，理由见解析解析　(1)对无人驾驶汽车，由运动学公式有－2ax＝0－v代入数据解得v0＝24m/s。(2)设有人驾驶汽车刹车后经过t2时间与无人驾驶汽车的速度相同，此时的速度为v，该过程无人驾驶汽车刹车时间为t2＋t1，其中t1＝1.4s，对无人驾驶汽车v＝v0－a(t2＋t1)对有人驾驶汽车v＝v0－a&prime;t2联立代入数据得t2＝3.6s，v＝2m/s又x无＝(t2＋t1)＝55mx有＝t2＋v0t1＝67.6m&Delta;x＝x有－x无联立，代入数据解得&Delta;x＝12.6m&lt;30m即两车不会发生追尾事故。,热点二　图像法在追及相遇问题中的应用解题思路环节基本要求数理转换定量画图时需根据物体在不同阶段的运动情况，通过定量计算分阶段、分区间作出x－t图像或v－t图像等；或根据已知的运动图像分析物体的运动情况用图利用图像中斜率、面积、截距、交点等的含义进行定性分析或定量计算，进而解决相关问题例3甲、乙两个质点沿同一直线运动，其中质点甲以3m/s的速度做匀速直线运动，质点乙做初速度为零的匀变速直线运动，它们的位置x随时间t的变化如图3所示。已知t＝3s时，甲、乙图线的斜率相等。下列判断正确的是(　　)图3A.最初的一段时间内，甲、乙的运动方向相反B.t＝3s时，乙的位置坐标为－15.5mC.t＝10s时，两车相遇D.乙经过原点的速度大小为4m/s答案　B解析　位移&mdash;时间图像的斜率表示速度，则最初的一段时间内，甲、乙的斜率都为正方向，所以运动方向相同，故A错误；质点乙做初速度为零的匀变速直线运动，t＝3s时，甲、乙图线的斜率相等，所以t＝3s时乙的速度是3m/s，乙的加速度a＝m/s2＝1m/s2，0～3s，乙的位移x＝&times;3m＝4.5m，所以t＝3s时，乙的位置坐标为－20m＋4.5m＝－15.5m，故B正确；t＝10s时甲车的位移x甲＝30m，乙车的位移x乙＝at2＝50m，因x乙<x甲＋40，则两车没相遇，故c,错误；根据v2－0＝2ax，乙经过原点时的速度大小为v＝＝2m s="">t1说明医生追上汽车时，车已停，假设成立，所以医生追上汽车所需的时间为7.5s。8.(2023&middot;江苏扬州高三开学考)强行超车是道路交通安全的极大隐患之一、如图5是汽车超车过程的示意图，汽车甲和货车均以36km/h的速度在平直路面上匀速行驶，货车在甲车前面。若甲车司机发现附近无其他车辆后开始加速从货车左侧超车，加速度大小为4m/s2。假定货车速度保持不变，汽车超过货车4m后完成超车，不计车辆变道的时间。求：图5(1)若甲车要在4s内完成超车，则货车最多在甲车前面多远处；(2)若甲车开始超车时，看到道路正前方的乙车迎面驶来，乙车速度为54km/h。甲车超车的整个过程用时4s，乙车速度始终保持不变，为避免发生碰撞，则甲、乙两车之间的距离至少是多少？答案　(1)28m　(2)132m解析　(1)由题意可得x甲＝d＋x货＋4x甲＝v0t＋atx货＝v0t,解得d＝28m。(2)甲车位移x甲＝v0t＋at2＝72m乙车位移x乙＝v乙t＝60m则甲、乙两车之间的距离至少是L＝x甲＋x乙＝132m。9.A车在平直公路上以v0＝20m/s的速度匀速行驶，因大雾天气能见度低，当行至一单行道公路段时，司机发现正前方停着一辆电动三轮车B，此时两车距离仅有d＝30m，A车司机立即刹车(不计反应时间)使车以大小a1＝5m/s2的加速度做匀减速直线运动。求：(1)假设B车一直静止，通过计算判断A车是否会撞上B车？若撞上，求A车从刹车开始到撞上B车的时间；若不会撞上，求A车最终与B车的距离；(2)为了避免碰撞，A车在刹车同时，向B车发出信号，不计信号传递时间，B车收到信号后经&Delta;t＝1s开始匀加速向前行驶，但B车因故障最大速度只能达到v＝5m/s。问：B车加速度a2至少多大才能避免事故发生？答案　(1)会撞上　2s　(2)5m/s2解析　(1)A车刹车到停下经过位移为s，则有0－v＝2(－a1)s解得s＝40m&gt;d会撞上；设经过t时间A、B车相撞，有d＝v0t＋(－a1)t2解得t＝2s(t＝6s舍去)。(2)设A车速度达到B车的最大速度所用时间为t1，则有v0＋(－a)t1＝v代入数据，解得t1＝3sA车前进的距离为s1＝v0t1＋(－a)t＝37.5mB车在t1－&Delta;t＝2s内至少前进s1－d＝7.5m,B车加速时间为t2，有vt2＋v(t1－&Delta;t－t2)＝s1－d解得t2＝1s由v＝0＋a2t2解得a2＝5m/s2加速度至少是5m/s2。</x甲＋40，则两车没相遇，故c,错误；根据v2－0＝2ax，乙经过原点时的速度大小为v＝＝2m></x0，则不能追上，此时两物体最小距离为x0－δx③若δx>