2025届高三一轮复习第九章　磁场热点专题十五　带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题练习

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热点专题十五　带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题素养目标　会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题和临界问题。热点一　带电粒子在磁场中运动的多解问题考向　带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解。例1如图1所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是磁场左右的两条边界线。现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从右边界NN′射出，求粒子入射速率的最大值为多少？图1答案　(q为正电荷)或(q为负电荷)解析　题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪种电荷，所以分情况讨论。若q为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN′相切的圆弧，则轨道半径R＝,又d＝R－解得v＝若q为负电荷，轨迹是如图所示的下方与NN′相切的圆弧，则轨道半径R′＝又d＝R′＋解得v′＝。考向　磁场方向不确定形成多解只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。例2一质量为m、电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的静电力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是多少？答案　或解析　根据题目中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的。当负电荷所受的洛伦兹力与静电力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4qvB＝m，得v＝,，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝＝；当负电荷所受的洛伦兹力与静电力方向相反时，有2qvB＝m，v＝，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝＝。考向　临界状态不唯一形成多解如图2所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能直接穿过去了，也可能转过180°从入射界面反向飞出，于是形成了多解。图2例3长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图3所示，磁感应强度大小为B，板间距离也为l，两极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，则粒子的入射速度大小满足什么条件？图3答案　v<或v>解析　带电粒子刚好打在极板右边缘，有r＝＋l2，又因r1＝，解得v1＝；粒子刚好打在极板左边缘，有r2＝＝，解得v2＝。所以欲使粒子不打在极板上，粒子的入射速度大小满足v<或v>。,考向　带电粒子运动的往复性形成多解空间中部分是电场，部分是磁场，带电粒子在空间运动时，运动往往具有往复性，因而形成多解。例4如图4所示，在x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B；x轴下方有一匀强电场，电场强度为E，屏MN与y轴平行且相距L。一质量为m、电荷量为e的电子，在y轴上某点A自静止释放，如果要使电子垂直打在屏MN上，那么：图4(1)电子释放位置与原点O的距离s需满足什么条件？(2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？答案　(1)s＝(n＝0，1，2，3，…)(2)＋(2n＋1)(n＝0，1，2，3，…)解析　(1)在电场中，电子从A→O，由动能定理得eEs＝mv在磁场中，电子做匀速圆周运动，有ev0B＝m据题意，有(2n＋1)r＝L所以s＝(n＝0，1，2，3，…)。,(2)在电场中做匀变速直线运动的时间与在磁场中做部分圆周运动的时间之和为电子总的运动时间t＝(2n＋1)＋＋n其中a＝，T＝整理后得t＝＋(2n＋1)(n＝0，1，2，3，…)。热点二　带电粒子在磁场中运动的临界极值问题解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。1.临界条件刚好穿出(穿不出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。2.几种常见的求极值问题(1)时间极值①当速度v一定时，弧长(弦长)越长或圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。②圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长。③最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。如图，P为入射点，M为出射点，此时在磁场中运动时最短。,(2)磁场区域面积极值若磁场边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场的一条弦，以该条弦为直径的圆就是最小圆，对应的圆形磁场有最小面积。例5地磁场可以减少宇宙射线中带电粒子对地球上生物体的危害。为研究地磁场，某研究小组模拟了一个地磁场，如图5所示，模拟地球半径为R，赤道外地磁场可简化为包围地球、厚度为d、方向垂直该剖面的匀强磁场(磁感应强度大小为B)，d＝2R。磁场边缘某处(未画出)有一粒子源，可在赤道平面内以不同速度向各个方向射入某种带正电粒子。研究发现，当粒子速度为2v时，沿半径方向射入磁场的粒子恰不能到达模拟地球。不计粒子重力及大气对粒子运动的影响，且不考虑相对论效应。则(　　)图5A.粒子的比荷＝B.粒子的比荷＝C.速度为v的粒子，到达模拟地球的最短时间为tmin＝D.速度为v的粒子，到达模拟地球的最短时间为tmin＝答案　A解析　粒子速度为2v时，轨迹如图所示，设该粒子轨迹半径为r,，根据几何关系有(R＋r)2＝r2＋(3R)2，解得r＝4R，又q·2vB＝m，解得＝，故A正确，B错误；速度为v的粒子进入磁场有qvB＝m，则r′＝2R，若要时间最短，则粒子在磁场中运动的弧长最短，粒子运动半径等于大气层厚度，粒子运动的圆心角为，最短时间为tmin＝·＝，故C、D错误。跟踪训练真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图6所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)从MN边界某处射入磁场，刚好没有从PQ边界射出磁场，再从MN边界射出磁场时与MN夹角为30°，则(　　)图6A.粒子进入磁场时速度方向与MN边界的夹角为60°B.粒子在磁场中运动的时间为C.粒子在磁场中运动的时间为D.粒子射入磁场时的速度大小为,答案　D解析　轨迹如图所示，根据对称性可知，粒子进入磁场时速度方向与MN边界的夹角为30°，则转过的圆心角为α＝300°，粒子在磁场中运动周期为T＝，则运动的时间为t＝T＝，A、B、C错误；设轨迹半径为r，由l＝r＋rcos30°，解得r＝2(2－)l，根据qvB＝m，解得v＝，D正确。A级　基础对点练对点练1　带电粒子在磁场中运动的多解问题1.如图1所示，边长为L的正方形区域ABCD(含边界)内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、带电量为q(q>0)的粒子从D点沿DC方向射入磁场中，粒子仅在洛伦兹力作用下运动。为使粒子不能经过正方形的AB边，粒子的速度可能为(　　)图1A.B.C.D.答案　A,解析　若粒子恰好从A点射出磁场，则轨道半径为r1＝，由qv1B＝m可得v1＝＝，若粒子恰好从B点射出磁场，则轨道半径为r2＝L，由qv2B＝m可得v2＝，为使粒子不能经过正方形的AB边，粒子的速度v<v1＝或v>v2＝，故A正确。2.如图2所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　)图2A.B＞，垂直纸面向里B.B＞，垂直纸面向里C.B＞，垂直纸面向外D.B＞，垂直纸面向外答案　D解析　当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知，sin30°＝，可得r1＝s，由r1＝,可得B1＝；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹如图乙所示，切点为N，由几何关系知s＝＋r2，得r2＝，又r2＝，所以B2＝，综合上述分析可知，选项D正确，A、B、C错误。对点练2　带电粒子在磁场中运动的临界极值问题3.如图3，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足够长的感光板ab，板面与磁场方向平行，在距离感光板l处，有一个点状的放射源S，它能向纸面内各个方向发射质量为m、电荷量为q、速率均为v的带正电的粒子，已知磁感应强度大小B＝，则同一时刻发射出的粒子到达感光板ab的时间之差的最大值为(　　)图3A.B.C.D.答案　B解析　根据qvB＝可知，粒子运动的轨道半径R＝l；最短时间时，弦长最短，此时粒子打到S点的正上方，根据几何关系，偏转的圆心角为,，因此运动的最短时间为t1＝＝；由几何关系可知，打到板上最长时间为圆轨迹与感光板相切时，此时偏转的圆心角为，因此运动的最长时间为t2＝＝，则同一时刻发射出的粒子到达感光板ab的时间之差的最大值Δt＝t2－t1＝，故A、C、D错误，B正确。4.如图4所示，在边长为L的正三角形abc区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，有一群质量为m、电荷量为q的粒子，以大小不同的速度从a点沿ac方向进入磁场，从ab边或bc边射出磁场。下列说法正确的是(不计粒子重力和粒子间的相互作用)(　　)图4A.粒子带正电B.粒子在磁场中运动时间最长为C.从b点飞出的粒子的轨迹半径为D.从bc边飞出的粒子，飞出点越靠近c，运动时间越长答案　C解析　由左手定则可知粒子带负电，A错误；粒子从ab边射出时在磁场中转过的圆心角最大，运动时间最长，如图甲所示，最长时间为t＝T＝·＝，B错误；如图乙所示，由几何关系得从b点飞出的粒子的轨迹半径为R＝＝，C正确；如图丙所示，从bc边飞出的粒子，飞出点越靠近c,对应的圆心角越小，运动时间越短，D错误。5.(2023·山东泰安高三月考)中国环流器二号M装置(HL－2M)在成都建成并实现首次放电，该装置通过磁场将粒子约束在小范围内实现核聚变。其简化模型如图5所示，半径为R和R两个同心圆之间的环形区域存在与环面垂直的匀强磁场，核聚变原料氕核(H)和氘核(H)均以相同的速度从圆心O沿半径方向射出，全部被约束在大圆形区域内。则氕核在磁场中运动的半径最大为(　　)图5A.RB.RC.RD.(－1)R答案　A解析　依题意，氕核、氘核全部被约束在大圆形区域内，根据qvB＝m得r＝，由于二者速度相同，根据半径与比荷的关系，可知氕核、氘核在磁场中的轨迹半径之比为1∶2。当氘核在磁场中运动轨迹刚好与磁场外边界相切时，氘核运动轨迹半径最大，由几何知识得(R－rmax)2＝r＋R2，求得氘核的最大半径为rmax＝R，所以氕核在磁场中运动的最大半径为rmax′＝rmax＝R，故A正确。B级　综合提升练,6.如图6所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为(　　)图6A.B.C.D.答案　C解析　粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B＝m，解得r＝2R，如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sinα＝，要使圆心角α最大，FE最长，经分析可知，当粒子从y轴上的D′点射入、从x轴上的E′点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有sinαm＝，解得αm＝，从D′点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间tm＝·，解得tm＝，故C正确。,7.如图7甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，规定垂直于纸面向里的方向为正方向。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求：图7(1)磁感应强度的大小B0；(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。答案　(1)　(2)(n＝1，2，3，…)解析　(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力qv0B0＝做匀速圆周运动的周期T0＝由以上两式解得磁感应强度大小B0＝。(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v0,的方向如图所示，正离子在两板之间只运动一个周期T0，有R＝；当正离子在两板之间运动n(n＝1，2，3，…)个周期，即nT0(n＝1，2，3，…)时，有R＝(n＝1，2，3，…)。由qv0B0＝m得正离子的速度的可能值为v0＝＝(n＝1，2，3，…)。8.(2022·苏锡常镇四市调研)如图8直角坐标系xOy中，y轴上P点处有一个粒子源，可沿－x到＋x方向向上180°范围内发射带正电的粒子，粒子的比荷均为＝5.0×106C/kg，速度大小介于0～3.0×105m/s。MN是一块置于x轴上的粒子收集薄金属板，各点坐标如图，其中a＝0.3m。可以通过施加电场或磁场的方式进行粒子的收集。图8(1)若平面内存在电场，且P和MN间电势差U＝7.0×103V，求到达板上的粒子的速度最大值；(2)若在平面内加一垂直于纸面向外的足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.1T，求能够被板MN收集到的粒子的最小速度；(3)在第(2)问的条件下，求能够被板MN收集到的粒子的最长运动时间。答案　(1)4×105m/s　(2)1.25×105m/s　(3)×10－5s,解析　(1)由动能定理可得qU＝mv－mv可解得最大速度vm＝4×105m/s。(2)由几何关系可知，最小速度的粒子的轨迹应该是以PM为直径的圆，所以r1＝＝0.25m由牛顿第二定律得qv1B＝m解得v1＝1.25×105m/s。(3)粒子运动时间最长的应该是速度最大即为vm的粒子，其轨迹如图所示，轨迹圆与MN相切由qvmB＝m可得r2＝0.6m由几何关系可得cosθ＝所以θ＝由圆周运动可知，运动时间t＝可得t＝×10－5s。,</v1＝或v>

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