2025年高考数学一轮复习教学课件第10章 第2课时　用样本估计总体

必备知识&middot;关键能力&middot;学科素养&middot;核心价值第十章统计与成对数据的统计分析,第2课时　用样本估计总体对应学生用书第271页,考试要求会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.掌握分层随机抽样的样本方差．能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度.,链接教材　夯基固本第2课时　用样本估计总体1．众数、中位数、平均数、百分位数样本数据频率分布直方图众数一组数据中，出现________的数据取最高的小矩形底边____的横坐标中位数把一组数据按从小到大的顺序排列，处在________的一个数据(或最中间两个数据的平均数)把频率分布直方图划分为左右两个____相等的部分，分界线与x轴交点的横坐标平均数样本数据的算术平均数每个小矩形的面积乘小矩形底边____的横坐标之和百分位数一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值对于数据组[a，b)，a以下的数据比例为m%，b以下的数据比例为n%，若m&le;p<n，则第p百分位数为________________次数最多中点中间位置面积中点a＋(b－a)·,2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按________排列原始数据；第2步，计算i＝______；第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第_项数据；若i是整数，则第p百分位数为第_项与第______项数据的平均数．3．四分位数(1)第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．(2)第__百分位数又称第一四分位数或下四分位数；第__百分位数又称第三四分位数或上四分位数．从小到大n×p%ji(i＋1)2575,4．总体离散程度的估计(1)方差和标准差假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，称为这组数据的方差，也可以写成的形式；称为这组数据的标准差．(2)总体方差和标准差①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，总体平均数为，则总体方差s2＝．,②加权式：如果总体的n个变量值中，不同的值共有k(k≤n)个，不妨记为y1，y2，…，yk，其中yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为s2＝．总体标准差：s＝.(3)样本方差和标准差如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝为样本方差，s＝为样本标准差．,[常用结论]平均数、方差的公式推广(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2.①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2．,一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．()(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中．()(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高．()(4)任何一组数据的第50百分位数与中位数的值是相同的．()√×√√,√二、教材经典衍生1．(人教a版必修第二册p206探究改编)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在如图两种分布形态中，a，b，c，d分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是()a．a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数b．a为平均数，b为中位数，c为平均数，d为中位数c．a为中位数，b为平均数，c为中位数，d为平均数d．a为平均数，b为中位数，c为中位数，d为平均数a[在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积和相等，平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标乘以小矩形的面积之和近似代替，结合两个频率分布直方图得：a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数．故选a.]243题号1,2．(人教a版必修第二册p204练习t2改编)某车间12名工人一天生产某产品的质量(单位：kg)分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，则所给数据的第25，50，75百分位数分别是________________．243题号113.7，14.7，15.3[将12个数据按从小到大排序：13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7，15.8.由i＝12×25%＝3，得所给数据的第25百分位数是第3个数据与第4个数据的平均数，即＝13.7；由i＝12×50%＝6，得所给数据的第50百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数，即＝14.7；由i＝12×75%＝9，得所给数据的第75百分位数是第9个数据和第10个数据的平均数，即＝15.3．]13.7，14.7，15.3,3．(人教a版必修第二册p215练习t2改编)一组数据的平均数是28，方差是4，若将这组数据中的每一个数据都加上20，得到一组新数据，则所得新数据的平均数是________，方差是________．243题号1484[设该组数据为x1，x2，…，xn，则新数据为x1＋20，x2＋20，…，xn＋20，记新数据的平均数为'，因为＝＝28，所以'＝＝20＋28＝48.因为s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，所以s'2＝｛[x1＋20－(＋20)]2＋[x2＋20－(＋20)]2＋…＋[xn＋20－(＋20)]2｝＝s2＝4.]484,4．(人教a版必修第二册p198练习t1改编)为了了解全民对足球的热爱程度，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了1000名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95)，[95，100]，得到如图所示的频率分布直方图．图中部分数据丢失，若已知这1000名观众评分的中位数估计值为87.5，则m＝________．0.02[由题可知，5(m＋0.025＋0.03)＋(87.5－85)×0.05＝0.5，解得m＝0.02．]243题号10.02,典例精研>D2D．无法确定C[由给定的平均差公式可知：数据越集中于平均值附近，平均差越小．甲、乙两图的纵坐标表示的为频率/组距，反映了各组样本数据的疏密程度，甲图中，数据较为均匀的分布在各区间，而乙图数据较为集中的分布在乙图最高处值的区间，其他区间分布的比较少，故乙图平均差比较小．故选C.],考点三　总体离散程度的估计[典例3](2023&middot;全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，&hellip;，10)，试验结果如下：试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536,记zi＝xi－yi(i＝1，2，&hellip;，10)，z1，z2，&hellip;，z10的样本平均数为，样本方差为s2.(1)求，s2；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高).,[解](1)由题意，求出zi的值如表所示，则＝&times;(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，s2＝&times;[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.(2)因为2＝2＝＝11＝&gt;，所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．名师点评标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)较大，数据的离散程度越大；标准差(方差)较小，数据的离散程度越小．试验序号i12345678910zi968－8151119182012,[跟进训练]3．(1)已知数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数是5，方差是9，则＝()A．159B．204C．231D．636(2)已知某7个数的平均数为4，方差为2．现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则()A．＝4，s2&lt;2B．＝4，s2&gt;2C．&gt;4，s2&lt;2D．&gt;4，s2&gt;2&radic;&radic;,(1)B(2)A[(1)根据题意，数据x1，x2，x3，x4，x5，x6中，平均数＝5，方差s2＝9，则s2＝－＝9，所以＝204，故选B.(2)因为某7个数的平均数为4，所以这7个数的和为4&times;7＝28．因为加入一个新数据4，所以＝＝4．又因为这7个数的方差为2，且加入一个新数据4，所以这8个数的方差s2＝＝&lt;2.故选A.],【教师备选资源】1．(多选)(2021&middot;新高考Ⅱ卷)下列统计量中，能度量样本x1，x2，&hellip;，xn的离散程度的有()A．样本x1，x2，&hellip;，xn的标准差B．样本x1，x2，&hellip;，xn的中位数C．样本x1，x2，&hellip;，xn的极差D．样本x1，x2，&hellip;，xn的平均数AC[中位数是反应数据的变化，标准差是反应数据与均值之间的偏离程度，极差是反映最大值与最小值之间的差距，平均数是反应数据的平均水平，故能反应一组数据离散程度的是标准差，极差．故选AC.]&radic;&radic;,2．在一次数学测试中，高二某班40名学生成绩的平均分为82，方差为10.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是()A．100B．85C．65D．55D[∵s2＝＝10.2，n＝40，&there4;＝10.2&times;40＝408.若存在x＝55，则(x－)2＝(55－82)2＝729&gt;408＝，导致方差必然大于10.2，不符合题意．&there4;55不可能是该班数学成绩．故选D.]&radic;,点击页面进入&hellip;（WORD版）巩固课堂所学&middot;激发学习思维夯实基础知识&middot;熟悉命题方式自我检测提能&middot;及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(七十)用样本估计总体,THANKS</n，则第p百分位数为________________次数最多中点中间位置面积中点a＋(b－a)·,2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按________排列原始数据；第2步，计算i＝______；第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第_项数据；若i是整数，则第p百分位数为第_项与第______项数据的平均数．3．四分位数(1)第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．(2)第__百分位数又称第一四分位数或下四分位数；第__百分位数又称第三四分位数或上四分位数．从小到大n×p%ji(i＋1)2575,4．总体离散程度的估计(1)方差和标准差假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，称为这组数据的方差，也可以写成的形式；称为这组数据的标准差．(2)总体方差和标准差①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，总体平均数为，则总体方差s2＝．,②加权式：如果总体的n个变量值中，不同的值共有k(k≤n)个，不妨记为y1，y2，…，yk，其中yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为s2＝．总体标准差：s＝.(3)样本方差和标准差如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝为样本方差，s＝为样本标准差．,[常用结论]平均数、方差的公式推广(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2.①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2．,一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．()(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中．()(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高．()(4)任何一组数据的第50百分位数与中位数的值是相同的．()√×√√,√二、教材经典衍生1．(人教a版必修第二册p206探究改编)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在如图两种分布形态中，a，b，c，d分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是()a．a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数b．a为平均数，b为中位数，c为平均数，d为中位数c．a为中位数，b为平均数，c为中位数，d为平均数d．a为平均数，b为中位数，c为中位数，d为平均数a[在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积和相等，平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标乘以小矩形的面积之和近似代替，结合两个频率分布直方图得：a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数．故选a.]243题号1,2．(人教a版必修第二册p204练习t2改编)某车间12名工人一天生产某产品的质量(单位：kg)分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，则所给数据的第25，50，75百分位数分别是________________．243题号113.7，14.7，15.3[将12个数据按从小到大排序：13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7，15.8.由i＝12×25%＝3，得所给数据的第25百分位数是第3个数据与第4个数据的平均数，即＝13.7；由i＝12×50%＝6，得所给数据的第50百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数，即＝14.7；由i＝12×75%＝9，得所给数据的第75百分位数是第9个数据和第10个数据的平均数，即＝15.3．]13.7，14.7，15.3,3．(人教a版必修第二册p215练习t2改编)一组数据的平均数是28，方差是4，若将这组数据中的每一个数据都加上20，得到一组新数据，则所得新数据的平均数是________，方差是________．243题号1484[设该组数据为x1，x2，…，xn，则新数据为x1＋20，x2＋20，…，xn＋20，记新数据的平均数为'，因为＝＝28，所以'＝＝20＋28＝48.因为s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，所以s'2＝｛[x1＋20－(＋20)]2＋[x2＋20－(＋20)]2＋…＋[xn＋20－(＋20)]2｝＝s2＝4.]484,4．(人教a版必修第二册p198练习t1改编)为了了解全民对足球的热爱程度，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了1000名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95)，[95，100]，得到如图所示的频率分布直方图．图中部分数据丢失，若已知这1000名观众评分的中位数估计值为87.5，则m＝________．0.02[由题可知，5(m＋0.025＋0.03)＋(87.5－85)×0.05＝0.5，解得m＝0.02．]243题号10.02,典例精研>