2025年高考数学一轮讲义第10章 第2课时　用样本估计总体

第2课时　用样本估计总体[考试要求]　1．会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2．能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度.3．掌握分层随机抽样的样本方差．1．众数、中位数、平均数、百分位数样本数据频率分布直方图众数一组数据中，出现________的数据取最高的小矩形底边____的横坐标中位数把一组数据按从小到大的顺序排列，处在________的一个数据(或最中间两个数据的平均数)把频率分布直方图划分为左右两个____相等的部分，分界线与x轴交点的横坐标平均数样本数据的算术平均数每个小矩形的面积乘小矩形底边____的横坐标之和百分位数一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值对于数据组[a，b)，a以下的数据比例为m%，b以下的数据比例为n%，若m≤p<n，则第p百分位数为_______________2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按________排列原始数据；第2步，计算i＝________；第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第__项数据；若i是整数，则第p百分位数为第__项与第__________项数据的平均数．3．四分位数(1)第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数这三个分位数把一组由小到7/7 大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．(2)第____百分位数又称第一四分位数或下四分位数；第____百分位数又称第三四分位数或上四分位数．4．总体离散程度的估计(1)方差和标准差假设一组数据是x1，x2，…，xn，用x表示这组数据的平均数，称______________为这组数据的方差，也可以写成_______________的形式；称_______________为这组数据的标准差．(2)总体方差和标准差①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为Y，则总体方差S2＝_______________．②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝．总体标准差：S＝S2.(3)样本方差和标准差如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为y，则称s2＝为样本方差，s＝s2为样本标准差．[常用结论]平均数、方差的公式推广(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是mx＋a.(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2.①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．(　　)(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中．(　　)7/7 (3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高．(　　)(4)任何一组数据的第50百分位数与中位数的值是相同的．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版必修第二册P206探究改编)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在如图两种分布形态中，a，b，c，d分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是(　　)A．a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数B．a为平均数，b为中位数，c为平均数，d为中位数C．a为中位数，b为平均数，c为中位数，d为平均数D．a为平均数，b为中位数，c为中位数，d为平均数2．(人教A版必修第二册P204练习T2改编)某车间12名工人一天生产某产品的质量(单位：kg)分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，则所给数据的第25，50，75百分位数分别是________．3．(人教A版必修第二册P215练习T2改编)一组数据的平均数是28，方差是4，若将这组数据中的每一个数据都加上20，得到一组新数据，则所得新数据的平均数是________，方差是________．4．(人教A版必修第二册P198练习T1改编)为了了解全民对足球的热爱程度，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了1000名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95)，[95，100]，得到如图所示的频率分布直方图．图中部分数据丢失，若已知这1000名观众评分的中位数估计值为87.5，则m＝________．7/7 考点一　总体百分位数的估计[典例1]　(1)某中学高一年级10位女生的身高(单位：cm)数据为148，155，157，159，162，163，164，165，170，172，则数据的第50，75百分位数分别为(　　)A．162，165　　　B．162.5，164.5C．162，164.5　D．162.5，165(2)将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出频率分布直方图如图，则此班的模拟考试成绩的80%分位数是________．(结果保留两位小数)[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤2．频率分布直方图中第p百分位数的计算(1)确定百分位数所在的区间[a，b)．(2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，则第p百分位数为a＋p%-fa%f%-fa%×(b－a)．7/7 [跟进训练]1．(1)(2023·山东滨州二模)某组样本数据的频率分布直方图如图所示，设该组样本数据的众数、平均数、第一四分位数分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(注：同一组中数据用该组区间中点值近似代替)(　　)A．x3<x1<x2　　B．x2<x1<x3C．x1<x3<x2　D．x1<x2<x3(2)(2023·河北邯郸一模)身体质量指数，也就是BMI指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．某校为了解该校学生的身体健康情况，从某班随机抽取20名学生进行调查，得到这20名学生的BMI指数分别是15，15.3，15.6，15.9，16.2，16.6，17.5，17.8，18.2，18.7，19.3，19.5，20.3，21.1，21.5，22.7，22.9，23.1，23.4，23.5，则这组数据的第65百分位数是________．考点二　总体集中趋势的估计[典例2]　某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分组，绘成频率分布直方图(如图)．(1)求x的值；(2)分别求出抽取的20人中得分落在[0，20)和[20，40)内的人数；(3)估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和众数．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7/7 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　频率分布直方图的数字特征(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．[跟进训练]2．(1)(2023·山东济南二模)某射击运动员连续射击5次，命中的环数(环数为整数)形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为(　　)A．7.6　B．7.8C．8　D．8.2(2)有13位同学参加学校组织的才艺表演比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设7个获奖名额，某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是________．(填“众数”“中位数”或“平均数”)考点三　总体离散程度的估计[典例3]　(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下：试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩5365275435305605335225505765367/7 率yi记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为z，样本方差为s2.(1)求z，s2；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高如果z≥2s210，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高.[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)较大，数据的离散程度越大；标准差(方差)较小，数据的离散程度越小．[跟进训练]3．(1)已知数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数是5，方差是9，则x12+x22+x32+x42+x52+x62＝(　　)A．159　B．204C．231　D．636(2)已知某7个数的平均数为4，方差为2．现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x，方差为s2，则(　　)A．x＝4，s2<2　B．x＝4，s2>2C．x>4，s2<2　D．x>4，s2>27/7