2025年高考数学一轮复习教学课件第9章 第1课时　两个计数原理、排列与组合

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第九章计数原理、概率、随机变量及其分布 【教师备选资源】新高考卷三年考情图解高考命题规律把握1．常考点：事件的独立性、条件概率、二项分布、期望．以实际问题为背景，借助分布列及其期望对实际问题作出决策．2．轮考点：计数原理、古典概型、二项式定理、正态分布．计数原理常与古典概型结合命题；二项式定理主要考查通项公式及其原理；对正态分布的考查，可能单独考查也可能在解答题中出现. 第1课时　两个计数原理、排列与组合对应学生用书第238页 考试要求理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.会用两个计数原理及排列、组合分析和解决一些简单的实际问题．理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 链接教材　夯基固本第1课时　两个计数原理、排列与组合1．两个计数原理分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_____种不同的方法分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_____种不同的方法m＋nm×n 2．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照__________排成一列组合作为一组一定的顺序 3．排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有________的个数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有________的个数公式＝n(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)＝＝＝[n(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)]＝性质＝___，0！＝＝，＝不同排列不同组合n！ [常用结论]排列数、组合数常用公式＝.＝.(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.＝＝.＝ 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．()×√√ 二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第三册P11习题改编)如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路．则从甲地到丁地的不同路线共有()A．12条B．15条C．18条D．72条C[若路线为甲乙丁，则有3×2＝6(条)；若路线为甲丙丁，则有3×4＝12(条)，故共有6＋12＝18(条)．故选C.]2．(人教A版选择性必修第三册P19例4改编)从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，可以组成的无重复数字的三位偶数的个数为()A．52B．56C．48D．72A[当个位为0时，共有＝5×4＝20(个)；当个位不为0时，共有＝2×4×4＝32(个)，所以综合可得，无重复数字的三位偶数共有20＋32＝52(个)．故选A.]√√ 3．(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2T13改编)从2名女生，4名男生中选3人参加学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有________种(用数字作答)．16[法一：可分两种情况：第一种情况，只有1名女生入选，不同的选法有＝12(种)；第二种情况，有2名女生入选，不同的选法有＝4(种)．根据分类加法计数原理知，至少有1名女生入选的不同的选法共有12＋4＝16(种)．法二：从6人中任选3人，不同的选法共有＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有＝4(种)，所以至少有1名女生入选的不同的选法共有20－4＝16(种)．]16 4．(易错题)(人教A版选择性必修第三册P12习题改编)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为__________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有___________种(用数字作答)．1024625[五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45＝1024(种)不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54＝625(种)获得冠军的可能性．]1024625 典例精研　核心考点第1课时　两个计数原理、排列与组合考点一　两个计数原理及综合应用[典例1](1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24B．18C．12D．9√ (2)(2024·江苏常州模拟)中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，…，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域(如区域1与区域5)所涂颜色相同．若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有()A．1050种B．1260种C．1302种D．1512种(3)(2023·山东济南二模)已知abc表示一个三位数，如果满足a>b且c>b，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”共________个(用数字作答)．√240 (1)B(2)C(3)240[(1)由题意可知E到F共有6条最短路径，F到G共有3条最短路径，由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18(条)最短路径．(2)由题意可得，只需确定区域1，2，3，4的颜色，即可确定整个伞面的涂色．先涂区域1，有7种选择；再涂区域2，有6种选择；当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有5种选择，剩下的区域4有5种选择；当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有6种选择．故不同的涂色方案有7×6×(5×5＋1×6)＝1302种．故选C.(3)a，b，c为取自0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的不同的三个数字，最小的数字放置在中间，余下两数可排百位或个位，故共有“凹数”的个数为＝2×120＝240．] [拓展变式]若本例(1)中CD段马路由于正在维修(如图)，暂时不通，则从E到G的最短路径有________条．26[先假设CD是实线，则从E到G，向上3次，向右4次，最短路径有＝35(条)，其中经过CD的，即先从E到C，然后C到D，最后D到G的最短路径有3×3＝9(条)，所以当CD不通时，最短路径有35－9＝26(条)．]26 名师点评利用两个基本计数原理解决问题的步骤提醒：涂色问题的两种常用解题方法：按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；以颜色为主分类讨论，用分类加法计数原理分析． [跟进训练]1．(1)(2024·山东菏泽模拟)某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为()A．288种B．336种C．576种D．1680种(2)(2023·南京六校联考)如图，用4种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法种数为()A．144种B．73种C．48种D．32种(3)3600有________个正约数．45√√ (1)B(2)C(3)45[(1)第一步：排白车，第一行选一个位置，则第二行有三个位置可选，由于车是不相同的，故白车的停法有4×3×2＝24(种)，第二步，排黑车，若白车选AF，则黑车有BE，BG，BH，CE，CH，DE，DG共7种选择，黑车是不相同的，故黑车的停法有2×7＝14(种)，根据分步乘法计数原理，共有24×14＝336(种)．故选B.(2)先对区域B涂色，有4种选择，其次再对区域C涂色，有3种选择，然后再对区域A，D涂色，有两种情况：①若区域A，D同色，有2种情况；②若区域A，D不同色，有2×1＝2(种)情况．综上所述，不同的涂法种数为4×3×(2＋2)＝48(种)．故选C.(3)3600＝24×32×52，其中24的约数有1，2，22，23，24，共5个；32的约数有1，3，32，共3个，52的约数有1，5，52，共3个，所以3600的正约数有5×3×3＝45(个)．] 【教师备选资源】在一块并排10垄的田地中，种植作物时每种作物种植一垄，相邻的垄不种同一种作物，现有3种作物可选，则有________种种植方法；若3种作物必须都种，则有________种种植方法；若只在其中2垄种植其中的A，B两种作物，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则有________种种植方法．1536153012[3种作物任选时，种植第1垄有3种选择，第2垄有2种选择，后面的垄只需与前一垄不同即可，共有3×2×2×2×2×2×2×2×2×2＝1536(种)种植方法.3种作物都选时，只需排除只用2种作物完成种植的情况，共有1536－3×2×1×1×1×1×1×1×1×1＝1530(种)种植方法．两种作物的间隔不小于6垄时，分两步：第一步，先选垄，如图所示，共有6种选法；第二步，种植A，B两种作物，有2种方法．所以根据分步乘法计数原理，可得有6×2＝12(种)种植方法．]1536153012 考点二　排列、组合问题[典例2](1)(2024·海南模拟)某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座A只能安排在第一场或最后一场，讲座B和C必须相邻，则不同的安排方法共有()A．34种B．56种C．96种D．144种(2)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．√64 (1)C(2)64[(1)由题意知讲座A只能安排在第一场或最后一场，∴有＝2(种)结果，∵讲座B和C必须相邻，∴共有＝48(种)结果，根据分步乘法计数原理知共有2×48＝96(种)结果.故选C.(2)法一：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有种方案.综上，不同的选课方案共有＋＋＝64(种).法二：若学生从这8门课中选修2门课，则有－－＝16(种)选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有－－＝48(种)选课方案.综上，不同的选课方案共有16＋48＝64(种).] 名师点评求解排列、组合应用问题的六种常用方法提醒：先选后排，先组合后排列，恰当的分类，合理的分步．分类标准要明确，做到不重不漏；分步要步步独立，步骤完整． [跟进训练]2．(1)(2024·四川泸县模拟)7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是()A．60B．120C．240D．360(2)(2023·唐山二模)从2艘驱逐舰和6艘护卫舰中选出3艘舰艇分别担任防空、反潜、巡逻任务，要求其中至少有一艘驱逐舰，则不同的安排方法种数为()A．336B．252C．216D．180(3)(2024·浙江平湖模拟)若一个三位数M的各个数位上的数字之和为8，则称M是一个“叔同数”，例如“125，710”都是“叔同数”，那么“叔同数”共有________个．√√36 (1)C(2)C(3)36[(1)先排甲、乙、丙以外的4个人，再把甲、乙按甲在乙的左边捆好，与丙插两个空位，并去掉顺序，所以不同的排法种数是＝240(种)．故选C.(2)由题意方法数为＝216.故选C.(3)三位数各位数的和为8可能的组合有116，125，134，224，233，017，026，035，044，008，其中三个数不同且都不为0可排出＝6个“叔同数”，没有0的3个数中有2个数相同，则排出＝3个“叔同数”，有1个0其余2个数为不同的非零数字可排出＝4个“叔同数”，有1个0其余2个数为相同的非零数字可排出2个“叔同数”，008只能排出800一个“叔同数”，所以它们排出的“叔同数”共有3＋6＋6＋3＋3＋4＋4＋4＋2＋1＝36(个)．] 【教师备选资源】(1)某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现用选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有()A．56种B．68种C．74种D．92种(2)现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有________种．(用数字作答)(3)以长方体ABCD-A1B1C1D1的任意3个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情况有________种．√81468 (1)D(2)8(3)1468[(1)根据划左舷中“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有＝20(种)，有1个“多面手”的选派方法有＝60(种)，有2个“多面手”的选派方法有＝12(种)，即共有20＋60＋12＝92(种)不同的选派方法．(2)先安排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，所以共有坐法种数为＝4×2＝8(种).(3)因为长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点任意3个均不共线，所以从8个顶点中任取3个均可构成1个三角形，共有＝56(个)三角形，从中任选2个，共有＝1540(种)情况．因为长方体有六个面，六个对角面，所以8个顶点中四点共面共有12种情况，每个面的4个顶点共确定4个不同的三角形，从这4个三角形中选出两个共有6种情况，故任取2个三角形，则这2个三角形不共面的情况共有1540－12×6＝1468(种)．] 考点三　分组、分配问题[典例3](1)把9个入团名额分给6个班级，每班至少一人，不同的分法种数为()A．41种B．56种C．156种D．252种(2)(2023·青岛二模)某教育局为振兴乡村教育，将5名教师安排到3所乡村学校支教，若每名教师仅去一所学校，每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有()A．300种B．210种C．180种D．150种√(1)B(2)D[(1)问题可转化为将9个入团名额排成一列，再分成6组，每组至少一个，求其方法数．事实上，只需在上述9个入团名额所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入挡板，即产生符合要求的方法，有＝56(种)．故选B.(2)由于每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有＝150(种)．故选D.]√ 名师点评分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：(1)相同元素的分配问题，常用“挡板法”；(2)不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；(3)有限制条件的分配问题，采用分类求解．提醒：对于部分均分问题，若有m组元素个数相等，则分组时应除以. [跟进训练]3．(1)甲、乙等4名志愿者到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有()A．12种B．18种C．24种D．36种(2)现有5支救援队前往A，B，C3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去B，C两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是()A．72种B．84种C．88种D．100种√√ (1)C(2)D[(1)①游泳场地安排2人，则不同的安排方法有＝6(种)；②游泳场地只安排1人，则不同的安排方法有＝18(种)；所以不同的安排方法有6＋18＝24(种)．故选C.(2)若甲队去B点，则剩余4队，可只去A，C2个点，也可分为3组去A，B，C3个点．当剩余4队只去A，C2个点时，组数分配为1，3或2，2，此时的分配方法有＝14(种)；当剩余4队分为3组去A，B，C3个点时，先从4队中选出2队，即可分为3组，然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有＝36(种)，综上可得，甲队去B点，不同的安排方法数是14＋36＝50(种)．同理，甲队去C点，不同的安排方法数也是50(种)，所以不同的安排方法数是50＋50＝100(种)．故选D.] 【教师备选资源】1．有3个地区，每个地区需要一名支医医生和两名支教教师，现将3名支医医生(1男2女)和6名支教教师(3男3女)分配到这3个地区去工作．(1)要求每个地区至少有一名男性，则共有________种不同分配方案；(2)要求每个地区至少有一名女性，则共有________种不同分配方案．(1)324(2)432[(1)要求每个地区至少有一名男性的对立事件是至少有一个地区全是女性，其分配方案有＝6×6×6＝216(种)，每个地区需要一名支医医生和两名支教教师的总分配方案有＝6×15×6＝540(种)，所以要求每个地区至少有一名男性的分配方案有540－216＝324(种)．(2)有一个地区全是男性的分配方案有＝3×6×6＝108(种)，所以要求每个地区至少有一名女性的分配方案有540－108＝432(种)．]324432 2．教育部为了发展农村地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．90[先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有＝90(种)分派方法．]90 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(六十三)两个计数原理、排列与组合 THANKS