2025年高考数学一轮复习教学课件第8章 第3课时　圆的方程

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第八章解析几何 第3课时　圆的方程对应学生用书第198页 考试要求理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 链接教材　夯基固本第3课时　圆的方程1．圆的定义及方程提醒：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．定义平面上到____的距离等于____的点的集合(轨迹)标准方程_______________________圆心______，半径r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心，半径定点定长(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)(a，b) 2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则__________________________．(2)若M(x0，y0)在圆上，则__________________________．(3)若M(x0，y0)在圆内，则__________________________．[常用结论]1．圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0．()(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F＞0．()√×√√ 二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第一册P85练习T3改编)已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝C．x2＋y2＝1D．x2＋y2＝4A[法一：AB的中点坐标为(0，0)，|AB|＝＝2，所以圆的方程为x2＋y2＝2.法二(应用常用结论)：以AB为直径的圆的方程为(x－1)·(x＋1)＋(y＋1)(y－1)＝0，即x2＋y2＝2．]√ √2．(人教A版选择性必修第一册P84例3改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C[法一：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1．所以r＝2．所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.法二：由已知条件得AB的垂直平分线方程l1：y＝x，由解得∴圆心坐标为(1，1)，∴r2＝(1－1)2＋[1－(－1)]2＝4，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．] √3．(人教A版选择性必修第一册P88练习T2改编)若点P(1，1)在圆C：x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围是()A．(－2，＋∞)B．C．D．(－2，2)C[由题意得解得－2＜k＜，故选C.]4．(人教A版选择性必修第一册P86例4改编)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为____________________．x2＋y2－2x＝0[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．∵圆经过点(0，0)，(1，1)，(2，0)，∴解得∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0．]x2＋y2－2x＝0 典例精研　核心考点第3课时　圆的方程考点一　圆的方程[典例1](1)(多选)(2023·辽宁葫芦岛二模)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的圆的方程为()A．(x－2)2＋(y－1)2＝5B．(x－2)2＋(y－3)2＝13C．＋＝22D．＋(y－1)2＝(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为_____________________．√√(x－1)2＋(y＋1)2＝5 (1)AB(2)(x－1)2＋(y＋1)2＝5[(1)对于A，点(0，0)，(4，0)，(4，2)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝5上，故A正确；对于B，点(0，0)，(4，0)，(－1，1)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝13上，故B正确；对于C，点(0，0)，(－1，1)都不在圆＋＝22上，故C错误；对于D，点(4，0)，(－1，1)都不在圆＋(y－1)2＝上，故D错误．故选AB. (2)法一(三点共圆)：∵点M在直线2x＋y－1＝0上，∴设点M为(a，1－2a)，又因为点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴＝＝R，a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，∴M(1，－1)，R＝，⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法二(圆的几何性质)：由题意可知，M是以(3，0)和(0，1)为端点的线段的垂直平分线y＝3x－4与直线2x＋y－1＝0的交点(1，－1)．又圆的半径R＝，所以⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5．] 名师点评求圆的方程的两种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． [跟进训练]1．(1)若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52(2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是______________，半径是________．√(－2，－4)5 (1)A(2)(－2，－4)5[(1)易得该直径两端点的坐标分别为(4，0)，(0，－6)，可得直径长为2，则半径长为，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.(2)由已知方程表示圆，得a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，原方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．] 【教师备选资源】1．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是()A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆Ck均不经过点(3，0)C．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个D．所有圆的面积均为4πABD[圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，∴B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，∴此方程有两个不相等实根，∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．故选ABD.]√√√ 2．如图，点A(0，8)，B(0，2)，那么在x轴正半轴上存在点C，使得∠ACB最大，这就是著名的米勒问题．那么当∠ACB取得最大时，△ABC外接圆的标准方程是____________________．(x－4)2＋(y－5)2＝25[因为点A，B是y轴正半轴上的两个定点，点C是x轴正半轴上的一个动点，根据米勒定理及圆的几何性质可知，当△ABC的外接圆与x轴相切时，∠ACB最大．由垂径定理可知，弦AB的垂直平分线必过△ABC外接圆的圆心，所以弦AB的中点G的纵坐标，即为△ABC外接圆半径的大小，即r＝5，依题意，设△ABC的外接圆圆心为(a，5)，a＞0，可得△ABC的外接圆的方程为(x－a)2＋(y－5)2＝25，把点A(0，8)代入圆的方程，求得a＝4(负值舍去)，所以△ABC的外接圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25．](x－4)2＋(y－5)2＝25 考点二　与圆有关的最值问题考向1斜率型、截距型、距离型最值问题[典例2]已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求：(1)的最大值和最小值；(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值． [解]原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值(如图1)，此时＝，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值(如图2)，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，最小值是(2－)2＝7－4. 考向2建立函数关系求最值[典例3]设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则的最大值为________．12[法一：由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12．由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以当y＝4时，的值最大，最大值为6×4－12＝12.法二：由向量的极化恒等式，得＝－＝－4，由于点P在圆：x2＋(y－3)2＝1上，则当点P坐标为(0，4)时，取得最大值16，∴的最大值为16－4＝12．]12 考向3利用对称性求最值[典例4]已知M，N分别是曲线C1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－2x＝0上的两个动点，P为直线x＋y＋1＝0上的一个动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．B．C．2D．3D[曲线C1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0是以C1(2，2)为圆心，半径为1的圆，C2：x2＋y2－2x＝0是以C2(1，0)为圆心，半径为1的圆．由圆的对称性可得|PM|的最小值为|PC1|－1，|PN|的最小值为|PC2|－1.过C2作直线x＋y＋1＝0的对称点B，设坐标为(m，n)，可得＝1，＋1＝0，解得m＝－1，n＝－2，即B(－1，－2)．连接BC1，交直线于点P，连接PC2，可得|PC1|＋|PC2|＝|PC1|＋|PB|≥|BC1|＝＝5．当且仅当B，P，C1三点共线可得|PC1|＋|PC2|的最小值为5，则|PM|＋|PN|的最小值为5－2＝3.故选D.]√ 名师点评1．与圆有关的最值问题的三种几何转化法(1)斜率型：形如μ＝形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．(2)截距型：形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．(3)距离型：形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．2．建立函数关系式求最值问题的解题策略根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、单调法等，利用基本不等式求最值．3．求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． [跟进训练]2．(1)(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是()A．1＋B．4C．1＋3D．7(2)已知点P(x，y)为圆C：x2＋y2－4x＋3＝0上一点，C为圆心，则(O为坐标原点)的取值范围是()A．[－3，1]B．[－1，1]C．[－1，3]D．[1，3](3)(2024·广东惠州模拟)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上动点，P是x轴上动点，则|PN|－|PM|的最大值是____________．√√4＋ (1)C(2)C(3)4＋[(1)法一(判别式法)：令x－y＝k，则x＝k＋y，代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，因为存在实数y，则Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，化简得k2－2k－17≤0，解得1－3≤k≤1＋3，故x－y的最大值是3＋1.故选C.法二(换元法)：x2＋y2－4x－2y－4＝0，整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9，令x＝3cosθ＋2，y＝3sinθ＋1，其中θ∈[0，2π]，则x－y＝3cosθ－3sinθ＋1＝3cos＋1，因为θ∈[0，2π]，所以θ＋∈，则θ＋＝2π，即θ＝时，x－y取得最大值3＋1.故选C. 法三(几何意义)：由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝≤3，解得1－3≤k≤1＋3.故选C.(2)将圆C的方程x2＋y2－4x＋3＝0化为(x－2)2＋y2＝1，所以圆心C的坐标为(2，0)．所以＝(2－x，－y)，而＝(－x，－y)，所以＝x2＋y2－2x.因为x2＋y2－4x＋3＝0，所以x2＋y2＝4x－3，所以＝4x－3－2x＝2x－3．因为(x－2)2＋y2＝1，所以1≤x≤3．因此－1≤2x－3≤3，从而(O为坐标原点)的取值范围为[－1，3].故选C.(3)由题设，C1(2，3)且半径r1＝1，C2(3，4)且半径r2＝3，所以|C1C2|＝＝＜r2－r1＝2，即圆C2包含圆C1.又M，N分别是圆C1，C2上动点，P是x轴上动点，要使|PN|－|PM|的最大，P，M，N，C1，C2共线且M，N在C1，C2的两侧，所以(|PN|－|PM|)max＝|C1C2|＋r2＋r1＝4＋.] 【教师备选资源】(2018·全国Ⅲ卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3]√A[圆心(2，0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3].根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1．因为d1∈[，3]，所以S∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6].] 考点三　与圆有关的轨迹问题[典例5]已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．[解](1)法一(直接法)：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1.又kAC＝，kBC＝，所以＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)． 法二(定义法)：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2．由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)(相关点法)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1．因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)． 名师点评求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．提醒：注意特殊点的取舍． [跟进训练]3．如图所示，两根杆分别绕着定点A和B(AB＝2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，求杆的交点P的轨迹方程．[解]如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－a，0)，B(a，0)．设P(x，y)，因为PA⊥PB，所以＝－1(x≠±a)．化简得x2＋y2＝a2(x≠±a)．当x＝±a时，点P与A或B重合，此时y＝0，满足上式．故点P的轨迹方程是x2＋y2＝a2. 拓展视野2阿波罗尼斯圆如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|.当λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．证明：设|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(－m，0)，B(m，0)．又设P(x，y)，则由|PA|＝λ|PB|得＝λ，两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)．当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线；当λ>0且λ≠1时，＋y2＝，轨迹为以点为圆心，为半径的圆． [典例](1)(多选)(2024·海南中学模拟)已知在平面直角坐标系Oxy中，A(－2，0)，B(4，0)．点P满足＝，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是()A．C的方程为(x＋4)2＋y2＝16B．在C上存在点D，使得D到点(1，1)的距离为10C．在C上存在点M，使得＝2D．C上的点到直线3x－4y－13＝0的最大距离为9(2)在平面直角坐标系Oxy中，设点A(1，0)，B(3，0)，C(0，a)，D(0，a＋2)，若存在点P，使得|PA|＝|PB|，|PC|＝|PD|，则实数a的取值范围是______________________．√√[－2－1，2－1] (1)AD(2)[－2－1，2－1][(1)由题意可设点P(x，y)，由A(－2，0)，B(4，0)，＝，得＝，化简得x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，A正确；点(1，1)到圆上的点的最大距离为＋4<10，故不存在点D符合题意，B错误；设M(x0，y0)，由＝2，得＝，又＝16，联立方程消去y0得x0＝2，解得y0无解，C错误；C的圆心(－4，0)到直线3x－4y－13＝0的距离为d＝＝5，且曲线C的半径为4，则C上的点到直线3x－4y－13＝0的最大距离为d＋r＝5＋4＝9，D正确．故选AD. (2)设P(x，y)，则＝，整理得(x－5)2＋y2＝8，即动点P在以(5，0)为圆心，2为半径的圆上运动．另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝8有交点．所以|a＋1|≤2.故实数a的取值范围是[－2－1，2－1].] 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(五十二)圆的方程 THANKS