2025年高考数学一轮复习教学课件第7章 第6课时　空间向量的运算及其应用

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第七章立体几何与空间向量 第6课时　空间向量的运算及其应用对应学生用书第174页 考试要求了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 链接教材　夯基固本第6课时　空间向量的运算及其应用1．空间向量及其有关定理概念语言描述共线向量(平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线______________共面向量平行于__________的向量共线向量定理对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在实数λ，使_________共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使_____________空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得________________．互相平行或重合同一个平面a＝λbp＝xa＋ybp＝xa＋yb＋zc 2．空间向量的数量积非零向量a，b的数量积a·b＝__________________．3．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘向量λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·b＝________________共线a∥b⇔a1＝___，a2＝___，a3＝___(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b⇔a·b＝0⇔________________＝0模|a|＝＝夹角公式cos〈a，b〉＝＝|a||b|cos〈a，b〉a1b1＋a2b2＋a3b3λb1λb2λb3a1b1＋a2b2＋a3b3 4．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，把与向量a____的非零向量称为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．5．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0平行 [常用结论]1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．三点共线＝λ(λ≠0)．2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面．()(2)在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)．()(3)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c．()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．()√√×× 二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第一册P33练习T1改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不对C[∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直．]√ 2．(人教A版选择性必修第一册P10习题1.1T5改编)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝()A．3B．2C．D．1√C[＝x＋y＋z＝x()＋y()＋z()＝(x＋y)＋(y＋z)＋(z＋x)，而＝，所以x＋y＝1，y＋z＝1，z＋x＝1，所以x＋y＋z＝.故选C.] 3．(多选)(人教A版选择性必修第一册P22练习T3改编)已知点A(1，2，2)，B(1，－3，1)，点C在Oyz平面上，且点C到点A，B的距离相等，则点C的坐标可以为()A．(0，1，－1)B．(0，－1，4)C．(0，1，－6)D．(0，2，10)√BC[依题意，点C在Oyz平面上，设C(0，y，z)，由于|AC|＝|BC|，|AC|2＝|BC|2，所以12＋(y－2)2＋(z－2)2＝12＋(y＋3)2＋(z－1)2，整理得5y＋z＋1＝0，通过验证可知，(0，－1，4)，(0，1，－6)符合，所以BC选项正确．故选BC.]4．(人教A版选择性必修第一册P27思考改编)O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________．[∵P，A，B，C四点共面，∴＋t＝1，∴t＝.]√ 典例精研　核心考点第6课时　空间向量的运算及其应用考点一　空间向量的线性运算[典例1](1)(2023·辽宁大连双基测试)已知向量a＝(－2，1，4)，b＝，若a∥b，则|b|＝()A．5B．C．4D．(2)(2024·山东济南模拟)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，＝，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是()A．＝a＋b＋cB．＝a＋b＋cC．＝－a＋b－cD．＝b－c√√ (1)D(2)A[(1)由题意＝＝，解得x＝－1，即b＝，|b|＝＝.故选D.(2)因为＝＝a，＝b，＝c，所以＝＝＝＝b＋c－a，B错误；因为＝＝＝－a＋b＋c，C错误；因为＝)＝b＋c，D错误；因为＝＝a＋b＋c＝a＋b＋c，A正确．故选A.] 名师点评空间向量线性运算中的三个关键点 [跟进训练]1．(1)在空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则＝()A．a＋b－cB．c－a－bC．a－b－cD．b－a＋c(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．①化简＝________；②用表示，则＝___________________．√(1)B(2)①②[(1)如图所示，＝＝＋()＝－b＋c－a＝c－a－b.故选B.(2)①＝)＝＝＝.②因为＝＝)，所以＝＝)＋＝.] 【教师备选资源】以下四组向量在同一平面的是()A．(1，1，0)，(0，1，1)，(1，0，1)B．(3，0，0)，(1，1，2)，(2，2，4)C．(1，2，3)，(1，3，2)，(2，3，1)D．(1，0，0)，(0，0，2)，(0，3，0)B[对于A，设(1，1，0)＝m(0，1，1)＋n(1，0，1)，所以无解；对于B，因为(2，2，4)＝0(3，0，0)＋2(1，1，2)，故B中的三个向量共面；对于C，设(1，2，3)＝x(1，3，2)＋y(2，3，1)，所以无解；对于D，设(1，0，0)＝a(0，0，2)＋b(0，3，0)，所以无解．故选B.]√ 考点二　空间向量数量积的应用[典例2]如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1⊥BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值．[解](1)记＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝.＝a＋b＋c，∴||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，∴||＝，即AC1的长为. (2)证明：∵＝a＋b＋c，＝b－a，∴＝(a＋b＋c)·(b－a)＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c＝b·c－a·c＝|b||c|cos60°－|a||c|cos60°＝0.∴⊥，∴AC1⊥BD.(3)＝b＋c－a，＝a＋b，∴||＝，||＝＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.∴cos〈〉＝＝.∴AC与BD1夹角的余弦值为. 名师点评空间向量数量积的应用 [跟进训练]2．(1)(多选)空间直角坐标系中，已知O(0，0，0)，＝(－1，2，1)，＝(－1，2，－1)，＝(2，3，－1)，则()A．||＝2B．△ABC是等腰直角三角形C．与平行的单位向量的坐标为或D．在方向上的投影向量的坐标为(2)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是________．√√[0，1] (1)AC(2)[0，1][(1)根据空间向量的线性运算，＝＝(－1，2，－1)－(－1，2，1)＝(0，0，－2)，∴||＝＝2，A正确；＝＝(2，3，－1)－(－1，2，1)＝(3，1，－2)，∴||＝＝，＝＝(2，3，－1)－(－1，2，－1)＝(3，1，0)，∴||＝＝，计算可得，△ABC三条边不相等，B错误；与平行的单位向量为e＝±＝±＝±＝±，C正确；在方向上的投影向量与向量共线，而＝(－1，2，1)与向量不共线，D错误，故选AC.(2)由题意，设＝λ，其中λ∈[0，1]，＝·()＝·(＋λ)＝＋λ＝＋λ·()＝＝1－λ∈[0，1]，因此的取值范围是[0，1].] 考点三　利用向量证明平行与垂直[典例3]如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角，求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD. [证明](1)由题意知，CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4，∴D(0，1，0)，B(2，0，0)，A(2，4，0)，P(0，0，2)，M，∴＝(0，－1，2)，＝(2，3，0)，＝.设n＝(x，y，z)为平面PAD的法向量，由即令y＝2，则n＝(－，2，1)是平面PAD的一个法向量．∵n·＝－＋2×0＋1×＝0，∴n⊥.又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD. (2)法一：由(1)知＝(0，4，0)，＝(2，0，－2)，设平面PAB的法向量为m＝(x0，y0，z0)，由即令x0＝1，则m＝(1，0，)是平面PAB的一个法向量．又∵平面PAD的一个法向量n＝(－，2，1)，∴m·n＝1×(－)＋0×2＋×1＝0，∴平面PAB⊥平面PAD.法二：取AP的中点E，连接BE，则E(，2，1)，＝(－，2，1)．∵PB＝AB，∴BE⊥PA.∵＝(－，2，1)·(2，3，0)＝0，∴⊥，∴BE⊥DA.又PA∩DA＝A，DA，PA⊂平面PAD，∴BE⊥平面PAD.∵BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD. 名师点评1．利用向量法证明平行问题(1)线线平行：方向向量平行．(2)线面平行：平面外的直线的方向向量与平面的法向量垂直．(3)面面平行：两平面的法向量平行．2．利用向量法证垂直问题(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．(2)线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直．(3)面面垂直：两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直． [跟进训练]3．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．[解]以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a.(1)证明：A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E，B1(a，0，1)，故＝(0，1，1)，＝.因为＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，因此⊥，所以B1E⊥AD1. (2)存在满足要求的点P，理由如下：假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)(0≤z0≤1)，使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)，设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．＝(a，0，1)，＝.因为n⊥平面B1AE，所以n⊥，n⊥，得取x＝1，则y＝－，z＝－a，则平面B1AE的一个法向量n＝.要使DP∥平面B1AE，需满足n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.所以存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝. 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(四十七)空间向量的运算及其应用 THANKS