2025年高考数学一轮复习教学课件第6章 第1课时　数列的概念与简单表示法

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第六章　数列 【教师备选资源】新高考卷三年考情图解高考命题规律把握1．常考点：数列的通项与求和．以解答题为主，常以数列递推关系为载体，考查数列通项公式的求法、数列求和的方法以及与不等式的交汇等．2．轮考点：等差(比)数列的性质、基本量的运算．以小题为主，主要是借助等差(比)数列的定义、公式考查通项公式的求法及数列求和的方法． 第1课时　数列的概念与简单表示法对应学生用书第131页 考试要求了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法、函数解析式法).了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 链接教材　夯基固本第1课时　数列的概念与简单表示法1．数列的定义一般地，把按照__________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．提醒：数列是特殊的函数，其自变量为正整数集N*或{1，2，…，n}．确定的顺序 2．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数____无穷数列项数____项与项间的大小关系递增数列an＋1__an递减数列an＋1__an其中n∈N*常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有限无限＞＜ 3．数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是______、______和____________．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项__与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．5．数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．列表法图象法函数解析式法an一个式子 6．数列的前n项和(1)表示：在数列{an}中，Sn＝______________叫做数列{an}的前n项和．(2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝提醒：若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．[常用结论]在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则a1＋a2＋…＋an 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列1，2，3与数列3，2，1是相同数列．()(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列．()(3)任何一个数列都有唯一的通项公式．()(4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．()×××√ √二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第二册P5例2改编)数列－1，，－，－，…的一个通项公式为()A．an＝±B．an＝(－1)n·C．an＝(－1)n+1·D．an＝243题号1B[由a1＝－1，代入检验可知选B.] √2．(人教A版选择性必修第二册P8练习T3改编)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋，则a5＝()A．2B．C．D．243题号1D[由题意，令n＝1，可得a2＝1＋＝2；令n＝2，可得a3＝1＋＝1＋＝；令n＝3，可得a4＝1＋＝1＋＝；令n＝4，可得a5＝1＋＝1＋＝.故选D.] 3．(人教A版选择性必修第二册P8练习T4改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝_________________________．243题号1[当n＝1时，a1＝S1＝2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1.显然当n＝1时，不满足上式，故an＝] 4．(人教A版选择性必修第二册P8练习T1改编)下列从左到右排列的图形中，小正方形个数构成的数列的一个通项公式为an＝________．243题号1n2[由题图可知，从中间一行向上、向下每经过一行，小正方形数量减少1个，直至减少到1，所以an＝n＋2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×1，所以an＝n＋2·＝n2．]n2 典例精研　核心考点第1课时　数列的概念与简单表示法考点一　由an与Sn的关系求通项公式[典例1](1)(2024·山东菏泽模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若满足Sn＝4an－3，则Sn＝()A．4B．4C．3D．4(3n－1)(2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝__________________．√ (1)C(2)[(1)当n＝1时，S1＝4a1－3，S1＝4S1－3，得S1＝1，当n≥2时，Sn＝4(Sn－Sn－1)－3，3Sn＝4Sn－1＋3，Sn＝Sn－1＋1，Sn＋3＝(Sn－1＋3)，又S1＋3＝4，所以{Sn＋3}是首项为4，公比为的等比数列，所以Sn＋3＝4×，Sn＝4×－3＝3.故选C.(2)当n＝1时，a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n-1(n≥2，n∈N*)，②由①－②得nan＝2n－2n-1＝2n-1，∴an＝(n≥2，n∈N*)．显然当n＝1时不满足上式，∴an＝] 名师点评1．已知Sn求an的三个步骤(1)利用a1＝S1求出a1.(2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1求出an的表达式．(3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写，否则应写成分段的形式，即an＝2．Sn与an关系问题的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．提醒：注意an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2，转化后往往能构造等差或等比数列或用累加、累乘等方法求解． [跟进训练]1．(1)(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是()A．an＝B．an＝C．Sn＝－D．数列是等差数列(2)若数列{an}是正项数列，且＋…＋＝n2＋n，则a1＋＋…＋＝________．√√√2n2＋2n (1)BCD(2)2n2＋2n[(1)∵an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，两边同除以Sn＋1·Sn，得＝－1.∴是以－1为首项，－1为公差的等差数列，即＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，又a1＝－1不适合上式，∴an＝故选BCD.(2)由题意得当n≥2时，＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，∴an＝4n2；当n＝1时，＝2，∴a1＝4，符合上式，∴an＝4n2，＝4n，∴a1＋＋…＋＝n(4＋4n)＝2n＋2n2.] 【教师备选资源】1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________．4n－5[a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5．]2．已知数列{an}，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________．－2n-1[当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.当n≥2时，Sn＝2an＋1，①Sn－1＝2an－1＋1．②①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，∴{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列．∴an＝a1·qn-1＝－2n-1．]4n－5－2n-1 考点二　由数列的递推关系求通项公式[典例2](1)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．(3)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝___________．(4)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．2·3n-1－1 (1)(2)(3)2·3n-1－1(4)[(1)由题意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，∴an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．∵当n＝1时也满足此式，∴an＝.(2)∵an＝an－1(n≥2)，∴an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1.以上(n－1)个式子相乘得，an＝a1··…·＝＝.当n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝. (3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n-1，∴an＝2·3n-1－1.(4)∵an＋1＝，a1＝2，∴an≠0，∴＝，即＝，又a1＝2，则＝，∴是以为首项，为公差的等差数列．∴＝＋(n－1)×＝，∴an＝.] 名师点评由递推关系求数列的通项公式的常用方法 [跟进训练]2．(1)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则数列{an}的通项公式为an＝________．(2)已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式为an＝________．(3)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n+1，则数列{an}的通项公式为an＝_____________．4－·2n (1)4－(2)(3)·2n[(1)∵an＋1－an＝＝，∴当n≥2时，an－an－1＝，an－1－an－2＝，…，a2－a1＝1－，∴以上各式相加得an－a1＝1－，又a1＝3，∴an＝4－(n≥2)，a1＝3适合上式，∴an＝4－. (2)∵＝2n，∴当n≥2时，＝2n-1，＝2n-2，…，＝22，＝2，∴an＝·…··a1＝2n-1·2n-2·…·22·2·2＝21+2+3+…＋(n-1)·2＝，又a1＝2满足上式，∴an＝. (3)∵an＋1＝2an＋2n+1，∴两边同除以2n+1，得＝＋1.又a1＝1，∴是首项为，公差为1的等差数列，∴＝＋(n－1)×1＝n－，即an＝·2n.] 考点三　数列的函数特性考向1数列的周期性[典例3]在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝，Sn是数列{an}的前n项和，则S2024＝________．[因为a1＝0，an＋1＝，所以a2＝＝，a3＝＝－＝－，a4＝＝0，所以数列{an}的取值具有周期性，且周期为3，又a1＋a2＋a3＝0，所以S2024＝S3×674＋2＝a1＋a2＝.] 考向2数列的单调性[典例4]已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为()A．(3，＋∞)B．(2，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)D[因为an＋1－an＝＝，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an＋1－an＝<0，所以k>3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．]点拨：{an}是递增数列⇔an＋1＞an，{an}是递减数列⇔an＋1＜an.√ 考向3数列的最值[典例5]已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)·，则数列{an}的最大项为()A．a8或a9B．a9或a10C．a10或a11D．a11或a12B[结合f(x)＝(x＋1)的单调性，设数列{an}的最大项为an，则所以解不等式组可得9≤n≤10.所以数列{an}的最大项为a9或a10．]√ 名师点评1．解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求解．2．判断数列单调性的两种方法(1)作差(商)法．(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．3．求数列中最大(小)项的两种方法(1)根据数列的单调性求解．(2)利用不等式组求出n的值，进而求得an的最值． [跟进训练]3．(1)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2024的值为()A．2B．－3C．－D．(2)(2024·湖北武汉模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则使得Sn取得最小值的n的值为________．√(1)D(2)16[(1)因为a1＝2，an＋1＝，所以a2＝＝－3，同理可得a3＝－，a4＝，a5＝2，a6＝－3，a7＝－，a8＝，…，可得an＋4＝an，则a2024＝a506×4＝a4＝.(2)由an＝得an＝，当n≤16时，单调递减，且<0，当n＝1时，a1<0，故当n≤16时，an<0，当n≥17时，>0，且an>0，所以当n＝16时，Sn最小．]16 【教师备选资源】1．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是()A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列√A[∵an＋1－an＝＝＞0，∴an＋1＞an，故选A.]2．已知数列{an}满足a1＝28，＝2，则的最小值为________．[由an＋1－an＝2n，a1＝28，可得an＝n2－n＋28，∴＝n＋－1，设f(x)＝x＋，可知f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，又n∈N*，且＝<＝.故的最小值为.] 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(三十六)数列的概念与简单表示法 THANKS