2025年高考数学一轮复习教学课件第5章 第1课时　平面向量的概念及线性运算

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第五章平面向量、复数 【教师备选资源】新高考卷三年考情图解高考命题规律把握1．常考点：复数、向量的模及夹角．主要考查复数的概念及运算，向量的模及夹角的运算，难度较小．2．轮考点：向量的线性运算及数量积．数量积侧重数量积的运算和其几何意义的理解；线性运算侧重于共线向量的应用． 第1课时　平面向量的概念及线性运算对应学生用书第116页 考试要求理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.了解向量线性运算的性质及其几何意义．掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义. 链接教材　夯基固本第1课时　平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有____的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称__)．(2)零向量：长度为_的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于_______长度的向量．(4)平行向量(共线向量)：方向____或____的非零向量．规定：0与任意向量____．(5)相等向量：长度相等且方向____的向量．(6)相反向量：长度相等且方向____的向量．方向模01个单位相同相反平行相同相反 2．向量的线性运算提醒：λ，μ为实数．3．向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使______．提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一．向量运算法则(或几何意义)运算律加法三角形法则平行四边形法则交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法几何意义a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|；当λ>0时，λa的方向与a的方向____；当λ<0时，λa的方向与a的方向____；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb相同相反b＝λa [常用结论]1．P为线段AB的中点，O为平面内任意一点⇔＝)．2．若＝v＋μ(μ，v为常数)，O不在直线AB上，则P，A，B三点共线的充要条件是μ＋v＝1．3．若G为△ABC的重心，则有(1)＝0；(2)＝)．4．对于任意两个向量a，b，都有(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|(向量三角不等式)；(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关．()(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．()(3)若a∥b，b∥c，则a∥c．()(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()√××× 二、教材经典衍生1．(人教A版必修第二册P10练习T4改编)下列各式化简结果正确的是()A．＝B．＝C．＝0D．＝2．(人教A版必修第二册P23习题6.2T13改编)设e是单位向量，＝3e，＝－3e，||＝3，则四边形ABCD是()A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形B[∵＝3e，＝－3e，∴＝－，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵||＝3，∴四边形ABCD是菱形，故选B.]√√ 3．(人教A版必修第二册P16例8改编)设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝________．[∵λa＋b与a＋2b共线，∴存在实数μ，使得λa＋b＝μ(a＋2b),∴∴]4．(人教A版必修第二册P23习题6.2T10(1)改编)若a，b满足|a|＝3，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________．82[|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8，当且仅当a，b同向时取等号，所以|a＋b|max＝8.又|a＋b|≥||a|－|b||＝|3－5|＝2，当且仅当a，b反向时取等号，所以|a＋b|min＝2．]82 典例精研　核心考点第1课时　平面向量的概念及线性运算考点一　平面向量的概念[典例1](1)(2024·江苏南京模拟)下列说法正确的是()A．单位向量都相等B．平行向量不一定是共线向量C．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|D．若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b(2)(多选)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论正确的是()A．＝B．与共线C．与是相反向量D．＝||√√√√ (1)C(2)ABC[(1)对于A，单位向量的模都相等，方向不一定相同，故错误；对于B，平行向量就是共线向量，故错误；对于C，若a，b同向共线，|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b反向共线，|a＋b|<|a|＋|b|，若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及三角形中两边之和大于第三边，知|a＋b|<|a|＋|b|.综上可知，对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故正确；对于D，两个向量不能比较大小，故错误．故选C.(2)＝，故D错误，其余均正确．] 名师点评向量有关概念的四个关注点(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的．(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量不可以比较大小，但向量的模可以比较大小．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)是与非零向量a同方向的单位向量． [跟进训练]1．(2024·北京大兴模拟)设a，b是非零向量，“＝”是“a＝b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[由＝表示单位向量相等，得a，b同向，但不能确定它们的模是否相等，即不能推出a＝b，由a＝b表示a，b同向且模相等，则＝，所以“＝”是“a＝b”的必要不充分条件．故选B.]√ 【教师备选资源】(2023·湖南雅礼中学一模)下列说法正确的是()A．若a∥b，则a与b的方向相同或相反B．若a，b为非零向量，且＝，则a与b共线C．若a∥b，则存在唯一的实数λ使得a＝λbD．若e1，e2是两个单位向量，且＝1，则＝B[对于A，当a＝0时，a与b的方向可以既不相同也不相反，所以该选项错误；对于B，a，b为非零向量，表示与a方向相同的单位向量，表示与b方向相同的单位向量，因为＝，所以a与b共线，所以该选项正确；对于C，当b＝0，a为非零向量时，λ不存在，所以该选项错误；对于D，由＝1，得＝1，所以＝1，所以＝＝＝，所以该选项错误．故选B.]√ 考点二　平面向量的线性运算考向1向量的线性运算[典例2](1)如图，O是▱ABCD两条对角线的交点，则下列等式成立的是()A．＝B．＝C．＝D．＝(2)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝()A．a＋bB．a＋bC．a－bD．a－b√√ (1)D(2)A[(1)由向量减法的运算可得＝，又因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝.故选D.(2)法一：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以＝，因为＝，所以＝＝，所以＝＝a＋b，故选A.法二：＝＝＝)＝＝a＋b，故选A.法三：由＝，得＝)，所以＝)＝＝a＋b，故选A.] 考向2根据向量的线性运算求参数[典例3](2024·山西大同模拟)在△ABC中，D为BC的中点，M为AD的中点，＝m＋n，则m＋n＝()A．－B．C．1D．－1√A[因为D是BC的中点，所以＝＝＝.又因为M是AD的中点，所以＝＝－)＝－，又＝m＋n，所以m＝－，n＝，所以m＋n＝－.故选A.] 名师点评平面向量线性运算的求解策略(1)共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用向量减法的几何意义，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的线性运算将目标向量表示出来，再进行比较，求参数的值． [跟进训练]2．(1)已知单位向量e1，e2，…，e2024，则|e1＋e2＋…＋e2024|的最大值是________，最小值是________．(2)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若＝x＋y(x，y∈R)，则x－y＝____．202402(1)20240(2)2[(1)当单位向量e1，e2，…，e2024方向相同时，|e1＋e2＋…＋e2024|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2024|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2024|＝2024；当单位向量e1，e2，…，e2024满足e1＋e2＋…＋e2024＝0时，|e1＋e2＋…＋e2024|的最小值为0. (2)由题意得＝＝，＝＝，因为＝x＋y，所以＝，所以解得所以x－y＝2．] 考点三　向量共线定理的应用[典例4](1)已知＝a＋5b，＝－3a＋6b，＝4a－b，则()A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线(2)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与边AB，AC交于M，N两点，设＝x＝y，则的值为()A．3B．4C．5D．6√√ (1)A(2)A[(1)由题意得＝＝a＋5b＝，又有公共点B，所以A，B，D三点共线．故选A.(2)延长AG交BC于点H(图略)，则H为BC的中点，∵G为△ABC的重心，∴＝＝)＝)＝＝.∵M，G，N三点共线，∴＝1，即＝3.故选A.]名师点评利用向量共线定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量是否共线的主要依据．(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔共线． [跟进训练]3．(1)(2023·广东广州二模)在△ABC中，M是AC边上一点，且＝，N是BM上一点，若＝＋m，则实数m的值为()A．－B．－C．D．(2)设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积之比是()A．B．C．D．(1)D(2)B[(1)由＝，得＝3，由＝＋m，得＝＋m()＝－m＝－m，因为B，N，M三点共线，所以＋(－m)＝1，解得m＝.故选D.(2)∵＝2，∴P为边AC靠近A点的三等分点，∴△PAB与△PBC的面积之比为.]√√ 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(三十二)平面向量的概念及线性运算 THANKS