2025年高考数学一轮复习教学课件第4章 第4课时　简单的三角恒等变换

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第四章三角函数与解三角形 第4课时　简单的三角恒等变换对应学生用书第91页 考试要求能运用公式进行简单的三角恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)． 链接教材　夯基固本第4课时　简单的三角恒等变换1．降幂公式(1)sin2α＝；(2)cos2α＝；(3)tan2α＝.2．辅助角公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝. [常用结论]公式的常用变式(万能公式)(1)sin2α＝＝；(2)cos2α＝＝；(3)1＋cosα＝2cos2；(4)1－cosα＝2sin2；(5)1＋sinα＝；(6)1－sinα＝；(7)tan＝＝. 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．()(2)cosθ＝2cos2－1＝1－2sin2．()(3)当α是第一象限角时，sin＝．()×√× 二、教材经典衍生1．(多选)(人教A版必修第一册P220练习T4(1)改编)cosα－sinα化简的结果可以是()A．cosB．2cosC．sinD．2sinBD[cosα－sinα＝2＝2＝2cos＝2sin.]2．(人教A版必修第一册P226练习T1改编)已知sinα＝，cosα＝，则tan＝()A．2－B．2＋C．－2D．±(－2)C[∵sinα＝，cosα＝，∴tan＝＝－2．]√√√ 3．(人教A版必修第一册P226练习T2改编)已知θ∈且sinθ＝，则sin＝____________；cos＝________．－－[∵θ∈，且sinθ＝.∴cosθ＝－∈，∴sin＝－＝－，cos＝－＝－.]4．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T13(2)改编)在等式(tan10°－)·sin(*)＝－2cos40°的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是________．80°[因为等式(tan10°－)·sin(*)＝－2cos40°可以转化为sin(*)＝＝＝＝＝cos10°＝sin80°.又因为所求的是锐角，故答案为80°.]－－80° 典例精研　核心考点第4课时　简单的三角恒等变换考点一　三角函数式的化简[典例1]化简：(1)－2cos(α＋β)；(2)(0<α<π)．[解](1)原式＝＝＝＝＝＝. (2)因为tan＝，所以(1＋cosα)tan＝sinα.又因为cos＝－sinα，且1－cosα＝2sin2，所以原式＝＝－.因为0<α<π，所以0<<.所以sin>0.所以原式＝－2cos. 名师点评三角函数式的化简要遵循“三看”原则 [跟进训练]1．已知0<θ<π，化简：＝________．－cosθ[原式＝＝cos·＝.因为0<θ<π，所以0<<，所以cos>0，所以原式＝－cosθ.]－cosθ 考点二　三角函数式的求值考向1给角求值[典例2](1)cos20°·cos40°·cos100°＝________．(2)求值：.(1)－[cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－＝－＝－＝－＝－＝－.](2)解：原式＝＝－2.－ 考向2给值求值[典例3](1)(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cosα＝，则sin＝()A．B．C．D．(2)已知0＜x＜，sin＝，则＝________.(1)D(2)[(1)因为cosα＝1－2sin2＝，而α为锐角，解得sin＝＝＝.故选D.√ (2)法一(先化简后求值)：＝＝(cosx＋sinx)＝2cos.由0＜x＜，得0＜－x＜，∴cos＝＝＝，∴原式＝2×＝.法二(先局部后整体)：cos＝cos＝sin＝，由0＜x＜，得0＜－x＜，∴cos＝＝＝，∴cos2x＝sin＝2sincos＝2×＝.∴＝＝.] 考向3给值求角[典例4](1)已知sinα＝，且α为锐角，tanβ＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为()A．B．C．D．(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，则2α－β的值为_______．(1)B(2)－[(1)由题意知，cosα＝＝.∵tanβ＝－3，且β为钝角，sin2β＋cos2β＝1，∴sinβ＝，cosβ＝－，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝＝.又0＜α＜＜β＜π，∴＜α＋β＜，∴α＋β＝.故选B.√－ (2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝＞0，∴0＜α＜.又∵tan2α＝＝＝＞0，∴0＜2α＜，∴tan(2α－β)＝＝＝1.∵tanβ＝－＜0，∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－.]名师点评三角函数式求值的三种题型(1)给角求值：一般给出的角都不是特殊角，需先仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，然后结合公式转化为特殊角，最后消除特殊角三角函数而得解．(2)给值求值：解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．(3)给值求角：一般先求角的某一个三角函数值，再求角的范围，最后确定角． [跟进训练]2．(1)化简为()A．B．1C．2sin9°D．2(2)已知sin2θ＝－，若<θ<，则tanθ＝___________．(3)已知α，β均为锐角，cosα＝，sinβ＝，则cos2α＝___，2α－β＝____．(1)B(2)－3－2(3)[(1)原式＝＝＝＝1.故选B.√－3－2 (2)∵<θ<，且sin2θ＝2sinθcosθ＝－<0，∴sinθ>0，cosθ<0，∴<θ<，tanθ<－1，∵sin2θ＝2sinθcosθ＝－，∴＝－，解得tanθ＝－3－2或－3＋2(舍)．(3)因为cosα＝，所以cos2α＝2cos2α－1＝.又因为α，β均为锐角，sinβ＝，所以sinα＝，cosβ＝，因此sin2α＝2sinαcosα＝，所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝＝.因为α为锐角，所以0<2α<π.又cos2α>0，所以0<2α<，又β为锐角，所以－<2α－β<，又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.] 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(二十六)简单的三角恒等变换 THANKS